裂紋齒輪時變嚙合剛度與傳動系統(tǒng)振動機理

莫帥，王檑，胡慶森，周長鵬，高瀚君，岑國建

(1. 天津工業(yè)大學 機械工程學院，天津，300387；2. 廣西大學 機械工程學院，廣西 南寧，530004；3. 華中科技大學 數(shù)字制造裝備與技術國家重點實驗室，湖北 武漢，430074；4. 江蘇萬基傳動科技有限公司，江蘇 泰州，225400；5. 北京航空航天大學 虛擬現(xiàn)實技術與系統(tǒng)國家重點實驗室，北京，100191；6. 寧波中大力德智能傳動股份有限公司，浙江 寧波，315301)

對齒輪系統(tǒng)進行健康監(jiān)測對于防止系統(tǒng)突然失效至關重要。裂紋是齒輪主要故障之一，裂紋齒輪的時變嚙合剛度會受到裂紋變化的影響[1-3]。許德濤等[4]基于有限元研究了裂紋的擴展路徑對時變嚙合剛度的影響；WU等[5]建立了齒輪裂紋分析模型，計算了不同齒根裂紋深度下的時變嚙合剛度，并研究了裂紋擴展路徑對齒輪傳動系統(tǒng)的振動響應；CHEN 等[6-7]提出了不同齒輪裂紋長度下時變嚙合剛度的計算模型，研究了沿齒寬方向的裂紋對齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)響應及統(tǒng)計指標的影響；MA 等[8]考慮了真實的過渡曲線，對能量法求解時變嚙合剛度的方法進行修正，同時將齒輪裂紋的擴展路徑和限制線假設為不同形式的曲線，并用有限元求解時變嚙合剛度以驗證裂紋擴展路徑和有效厚度的限制線分別假設為直線和拋物線的合理性；REZAEI 等[9]對斜齒輪中裂紋位置的檢測原理進行了研究，提出了一種檢測方法；孟宗等[10]研究了沿齒厚方向擴展的齒輪裂紋對時變嚙合剛度影響；YU等[11]對齒輪齒根裂紋的系統(tǒng)動力學特性進行了分析。

如上所述，研究者致力于裂紋齒輪時變嚙合剛度建模和動力學特性研究，本文在已有的研究基礎上，建立精確齒輪齒廓模型和構建包含裂紋位置、裂紋深度和裂紋長度的裂紋齒輪時變嚙合剛度計算模型，定量研究裂紋齒輪的時變嚙合剛度變化。最后,根據(jù)六自由度齒輪動力學振動模型，仿真求解得到裂紋齒輪的振動特征和幅頻特性，通過小波變換分析法研究裂紋故障下的齒輪振動特征，采用統(tǒng)計指標的方法對齒輪傳動系統(tǒng)故障振動的敏感度進行研究，為齒輪傳動系統(tǒng)的裂紋故障檢測提供理論基礎。

1 裂紋齒輪副時變嚙合剛度計算建模

1.1 健康齒輪副時變嚙合剛度計算建模

本文將輪齒考慮為懸臂梁結構，通過對齒輪齒廓的精確建模和受力變形情況的分析，修正時變化嚙合剛度的計算模型。齒輪齒廓模型如圖1所示。齒輪齒廓為標準漸開線齒廓，包括過渡圓角曲線AB段和漸開線齒廓BD段，其中，BC段為漸開線齒廓的非嚙合區(qū)，α為壓力角，αp為嚙合角；α1和α2分別為點A和B的齒基角；F為嚙合力；hx為嚙合點有效厚度；xA、xB、xC和xp分別為點A、B、C、p的橫坐標。

圖1 齒輪齒廓模型Fig. 1 Gear tooth profile model

根據(jù)文獻[12]，漸開線部分可以用齒輪轉角θ來表達，過渡曲線AB段由齒輪加工制造過程中刀具確定，AB段的方程如式(1)所示：

式中，?為過渡曲線的參變量，α≤?≤π/2；R為分度圓半徑；c*為頂隙系數(shù)；h*為齒頂高系數(shù)；m為齒輪模數(shù)；A0為刀具圓角圓心到輪齒中線的距離；B0為刀具圓角圓心到齒槽中線的距離；R1為刀具圓角半徑；φ為刀具圓角圓心與刀具圓心的連線和中心距延長線的夾角。

由變截面彈性懸臂梁理論[13]可知，將齒輪考慮為懸臂梁結構，則齒輪的赫茲剛度kh、軸向壓縮剛度ka、彎曲剛度kb和剪切剛度ks的計算公式如式(2)所示。

式中：E為彈性模量；L為齒輪齒寬；G為剪切模量；v為泊松比；yp為p點縱坐標；I為齒廓任意處的截面慣性矩[14]。

式中：h為有效厚度。

在齒輪嚙合過程中，一般假設其受到的力為線性變化，此時，基體剛度kf計算公式如式(4)所示。

式中：uf=Rb/cosα-Rf；Sf為齒根圓弧長Sf=2θfRf；θf為齒根圓弧對應圓心角的一半，hf=rf/rint；rint為輪轂半徑；rf為齒根圓半徑；P*、Q*、M*和L*為計算參數(shù)，可由式(5)計算得到。

式中：Ai～Fi為擬合系數(shù)；X*代表基體剛度計算參數(shù)P*，Q*，M*和L*。

基體剛度計算參數(shù)的擬合系數(shù)如表1所示。綜上所述，時變嚙合剛度的計算公式如式(6)所示。

表1 基體剛度計算參數(shù)的擬合系數(shù)Table 1 Fit coefficient of parameters of matrix stiffness calculation

1.2 齒輪裂紋沿齒厚分布計算建模

齒輪在嚙合過程中受彎曲應力作用，導致齒輪裂紋會沿2個不同方向擴展，分別為沿齒厚擴展和沿齒寬擴展。當齒輪裂紋沿齒厚擴展時，通常將齒輪裂紋的擴展路徑假設為直線，有效厚度的限制線假設為拋物線，通過有效厚度來計算有效截面積和截面慣性矩。

沿齒厚的裂紋幾何模型如圖2所示，其中，αc為裂紋擴展角，q為裂紋深度，qmax為裂紋起始點與裂紋擴展最左端點之間的距離，S為裂紋終止點。過S點與齒廓齒頂點D的拋物線作為有效厚度的限制線，此時，輪齒上任意位置有效厚度的計算公式如式(7)所示。

圖2 沿齒厚的裂紋幾何模型Fig. 2 Geometric model of crack along tooth thickness

式中：hcrack為裂紋齒輪的有效厚度；y為齒輪齒廓上任意一點的縱坐標；xS和yS分別為裂紋終止點S的橫坐標和縱坐標。

裂紋沿齒厚通過齒中線后，裂紋深度q=qmax+qS，qS的最大值等于qmax。而實際上，在裂紋擴展到整個齒厚之前，輪齒就會發(fā)生斷裂，當裂紋通過齒中線以后，輪齒上任意位置有效厚度的計算公式如式(8)所示。

1.3 齒輪裂紋沿齒寬分布計算建模

為了研究裂紋沿齒寬不均勻擴展對時變嚙合剛度的影響，用微元法將整個齒寬分成許多獨立的薄片，薄片的裂紋深度為qx，且薄片沿齒寬方向的裂紋為貫穿狀態(tài)，故可將薄片假設為裂紋沿齒厚擴展模型進行分析。沿齒寬方向的裂紋幾何模型如圖3所示。

圖3 沿齒寬方向的裂紋幾何模型Fig. 3 Geometric model of crack along tooth width

當沿齒寬的裂紋沒有貫穿時，沿齒寬裂紋的長度q(x)計算公式如式(9)所示。

當沿齒寬的裂紋貫穿時，沿齒寬裂紋的長度q(x)計算公式如式(10)所示。

式中：q0為初始裂紋深度；q1為齒輪非工作側貫穿裂紋深度。

2 齒輪裂紋對時變嚙合剛度和載荷分配的影響機理

為了研究不同裂紋深度、裂紋長度和裂紋擴展角對時變嚙合剛度的影響，采用如表2所示的齒輪傳動系統(tǒng)基本參數(shù)。

表2 齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)Table 2 Parameter of transmission system

2.1 齒輪裂紋對時變嚙合剛度的影響機理

初始裂紋深度q0=2.4 mm，不同裂紋擴展角下的時變嚙合剛度如圖4(a)所示。假設裂紋沿齒寬方向貫穿，隨著裂紋擴展角αc的增大，時變嚙合剛度出現(xiàn)減小的現(xiàn)象。

圖4 不同裂紋情況下時變嚙合剛度的變化Fig. 4 Variation of time-varying meshing stiffness under different cracks

裂紋擴展角為αc=60°，裂紋深度q=0～5.6 mm，間隔為0.8 mm，不同裂紋深度下的時變嚙合剛度如圖4(b)所示。假設裂紋沿齒寬方向貫穿，當齒輪出現(xiàn)裂紋時，剛度就會減小，當齒輪裂紋較小時，剛度的減小量不大；隨著裂紋深度的增大，剛度的減小程度加劇，特別是當裂紋接近4.8 mm 時，嚙合剛度大幅降低，因為裂紋穿過齒中線輪齒變形會突然加??；隨著q的增大，輪齒有斷裂的趨勢，嚙合剛度大幅下降。

初始裂紋深度q0=4.0 mm，裂紋擴展角αc=60°，不同裂紋長度下的時變嚙合剛度如圖4(c)所示。從圖4(c)可見：隨著裂紋的產(chǎn)生和加劇，會出現(xiàn)與圖4(b)中一樣的變化趨勢，但剛度減小的幅度與初始裂紋深度有關。

2.2 齒輪裂紋對載荷分配的影響機理

在齒輪嚙合過程中，裂紋齒輪受到的接觸載荷會隨著嚙合位置的改變而改變，通過計算載荷分配比來研究齒輪受力情況，載荷分配系數(shù)Lsri計算公式如式(11)所示。

式中：Fi為第i對齒的接觸力；Rbp為主動輪的基圓半徑；T0為主動輪轉矩。

裂紋齒輪接觸載荷的變化如圖5 所示。從圖5可見：初始裂紋q0=2 mm；在單齒嚙合區(qū)，只有裂紋齒輪參與嚙合，其載荷比為1；在雙齒嚙合區(qū)，裂紋齒輪副接觸載荷減少，而其相鄰的健康齒輪副接觸載荷增大，導致裂紋齒副的承載能力下降。

圖5 裂紋齒輪接觸載荷的變化Fig. 5 Variation of contact load of Cracked Gear

3 含裂紋的齒輪傳動系統(tǒng)故障振動響應

3.1 含裂紋的齒輪傳動系統(tǒng)故障動力學建模

齒輪系統(tǒng)動力學模型如圖6所示。圖6中，mp主動輪質量，mg從動輪質量，Km為時變嚙合剛度，Cm為齒間嚙合阻尼，r1和r2為分度圓半徑，J1和J2輪轉動慣量，T1和T2為施加的扭矩，Kp1和Kp2為徑向支撐剛度，Cp1和Cp2為徑向支撐阻尼，下標1表示主動輪，下標2 表示從動輪。該模型考慮x方向、y方向和θ方向的自由度。根據(jù)圖6 建立的動力學方程如式(12)所示。

圖6 齒輪系統(tǒng)動力學模型Fig. 6 Dynamic model of primary gear system

裂紋齒輪的動態(tài)特性計算流程圖如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)動力學計算流程圖Fig. 7 System dynamics calculation flow chart

3.2 齒輪裂紋對傳動系統(tǒng)故障振動響應的影響

為了研究裂紋對齒輪傳動系統(tǒng)振動的影響，將裂紋齒輪的時變嚙合剛度代入動力學方程，得到不同裂紋深度和長度下的振動位移和副頻特性。裂紋參數(shù)分為4 種情況，即case1，q0=0 mm，q1=0 mm；case2，q0=2.4 mm，q1=0 mm；case3，q0=2.4 mm，q1=2.4 mm； case4，q0=4.0 mm，q1=4.0 mm，圖8所示為不同情況下沿齒輪接觸線y方向的振動位移和頻域響應圖。從圖8可見：健康齒輪的振動位移比較平穩(wěn)，而裂紋齒輪會產(chǎn)生振動沖擊，當裂紋較小時，這種振動沖擊信號并不明顯，而隨著裂紋的加深，振動沖擊會逐漸加劇。

圖8 主動輪y方向的振動位移和頻域圖Fig. 8 Vibration displacement and frequency domain diagrams of driving wheel in y direction

采用小波變換的方法對振動位移進行時頻分析。動態(tài)特性的時頻分析結果如圖9 所示。從圖9可見：在裂紋處，顏色明顯變亮，其振動幅值變大；隨著裂紋深度的增加，其裂紋的振動位移越明顯，振動幅值越大。

圖9 動態(tài)特性的時頻分析Fig. 9 Time frequency analysis of dynamic characteristics

3.3 齒輪裂紋對傳動系統(tǒng)振動響應靈敏性分析

許多基于時域波形的簡單信號度量在機械故障診斷中廣泛使用，統(tǒng)計指標均方根、峭度和Sr函數(shù)常用于總體振動水平評估，其中，Sr 函數(shù)表達式為

式中：N為振動位移數(shù)據(jù)點總數(shù)；為振動位移的平均值；x(n)為振動位移中第n個幅值；n=1，2，3，…，N。

每個統(tǒng)計指標的數(shù)量級存在差異，為了綜合評價各統(tǒng)計指標的敏感性，對統(tǒng)計指標按式(14)進行轉換。

式中：YS為轉化后的裂紋齒輪振動位移統(tǒng)計指標；Yj為轉化前的裂紋齒輪振動位移統(tǒng)計指標，j=2，3，4，分別對應不同裂紋擴展角、裂紋長度和裂紋深度的裂紋；Y1為轉化后的健康齒輪振動位移統(tǒng)計指標。振動位移的統(tǒng)計指標如圖10 所示。從圖10可見：隨著裂紋深度的增大，3種統(tǒng)計指標都表現(xiàn)出增大的趨勢，但峭度對齒輪裂紋的振動信號更敏感。

圖10 振動位移的統(tǒng)計指標Fig. 10 Statistical index of vibration displacemen

4 結論

1) 對齒廓過渡曲線部分進行精確建模，考慮裂紋沿齒厚和齒寬2個方向擴展，將裂紋擴展路徑和有效厚度限制線分別假設為直線和拋物線，根據(jù)建立剛度計算模型，求解裂紋齒輪的時變嚙合剛度曲線，發(fā)現(xiàn)沿齒厚方向和齒寬方向上有著相同的變化趨勢，隨著裂紋深度或長度的增加，時變嚙合剛度減小，且時變嚙合剛度的減小量隨著裂紋程度的加劇而增大。對齒輪嚙合過程中的接觸載荷進行分析，當裂紋增大時，裂紋齒上的載荷減小，相鄰齒輪副的接觸載荷增大，即裂紋齒輪副承載能力下降，相鄰齒輪副易產(chǎn)生裂紋故障。

2) 為了研究齒輪裂紋對齒輪動力學系統(tǒng)的影響，建立六自由度裂紋齒輪故障動力學模型，同時對其振動特性和幅頻特性采用小波變換原理進行分析。當裂紋程度加劇時，時變嚙合剛度減小，振動幅值增大，會引起齒輪傳動系統(tǒng)出現(xiàn)更大的噪聲和沖擊。

3) 隨著裂紋深度的增大，振動位移的均方根、峭度和Sr 函數(shù)都增大，但峭度對齒輪裂紋的振動信號最敏感。