“問題提出”引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)探究活動

李沐慧

摘? 要：以“正方體的截面”教學(xué)為例，借助“問題提出”引領(lǐng)學(xué)生展開數(shù)學(xué)探究活動. 在動手實(shí)踐、幾何實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上啟思明理，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出一系列關(guān)于正方體截面的探究問題，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論、作圖表達(dá)、推理論證等能力，在具體的數(shù)學(xué)情境中提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)探究活動；問題提出；正方體截面；任務(wù)單

數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究和合作研究，并最終解決問題的過程. 具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索和合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論. 為落實(shí)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的教學(xué)要求，探究活動的設(shè)計(jì)需要抓住探究特點(diǎn)，明確方向、整體設(shè)計(jì)、突出問題導(dǎo)向、任務(wù)驅(qū)動、合作交流、把握過程，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

問題是探究活動的核心，相較于教師設(shè)計(jì)一套完整、優(yōu)良的“問題串”，引導(dǎo)學(xué)生自己提出一系列探究問題更能讓其體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，進(jìn)而有層次地整體理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和邏輯. 下面以《標(biāo)準(zhǔn)》附錄中的案例11“正方體截面的探究”為例，探討“問題提出”引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)探究活動教學(xué).

一、教學(xué)前期分析

1. 內(nèi)容分析

滬教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第三冊（以下統(tǒng)稱“教材”）關(guān)于正方體截面的內(nèi)容出現(xiàn)在第11章“簡單幾何體”的課后習(xí)題部分，第11章主要包括多面體與旋轉(zhuǎn)體、柱體、錐體、球等內(nèi)容，而第10章主要研究的是“空間直線與平面”. 由于本節(jié)課的研究對象為正方體，因此安排在多面體內(nèi)容之后進(jìn)行學(xué)習(xí).

本活動包含的知識內(nèi)容有正方體、截面形狀，以及空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系等. 蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法包括從特殊到一般、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等. 可以發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理.

2. 學(xué)情分析

正方體截面的探究中包含了跨度很大的探究問題，針對不同學(xué)生可以設(shè)計(jì)不同的教學(xué)方案，通過多種方法實(shí)施探究. 本次探究活動安排在高二年級進(jìn)行，學(xué)生具備一定的自主探究和合作學(xué)習(xí)能力. 在認(rèn)知基礎(chǔ)方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間幾何體及點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，掌握了相關(guān)的性質(zhì)和定理，具備一定的空間想象能力和推理論證能力. 然而，由于數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗(yàn)不足，學(xué)生在探究正方體截面的過程中可能難以系統(tǒng)地提出一系列探究問題，對于多面體截面的分類討論意識也不足.

3. 教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

首先，讓學(xué)生在經(jīng)歷實(shí)物操作、幾何實(shí)驗(yàn)后能夠作出正方體的截面. 其次，用樣例問題引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、提出一系列探究問題并嘗試解決，通過觀察猜想和抽象推理，了解正方體截面的圖形特征. 再次，用“問題提出”引領(lǐng)學(xué)生理解探究正方體截面的基本方法，并在探究過程中提升學(xué)生的提出問題、分類討論、作圖表達(dá)、推理論證等能力. 最后，幫助學(xué)生回顧反思提出數(shù)學(xué)問題的一般思路，在具體的數(shù)學(xué)情境中提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等素養(yǎng).

本活動的教學(xué)重點(diǎn)是掌握正方體截面的圖形特征，并能按要求作正方體的截面；教學(xué)難點(diǎn)主要是引導(dǎo)學(xué)生提出一系列探究問題，分類找出所有正方體截面的圖形特征并推理論證部分結(jié)論.

4. 教學(xué)策略和流程設(shè)計(jì)

本活動設(shè)計(jì)了包含課前、課中、課后三個階段的開放式探究活動，主要圍繞正方體截面作圖、正方體所有截面形狀、正方體截面相關(guān)性質(zhì)展開探究，內(nèi)容比較豐富.

課前，采用自主研學(xué)的方式，讓學(xué)生利用教師設(shè)計(jì)好的“課前任務(wù)單”嘗試作出正方體的截面，通過分析、解決、反思相對簡單的例題提出新問題，展開進(jìn)一步探究.

課中，展示學(xué)生的課前研究成果，并以學(xué)生提出的探究問題為例，圍繞正方體截面的作圖、形狀、周長、面積、截面所分幾何體的體積，以及空間中點(diǎn)、直線、平面之間的距離、角度計(jì)算或位置關(guān)系的證明等展開“以點(diǎn)帶面”式的系統(tǒng)探究.

課后，學(xué)生結(jié)合所學(xué)完成相應(yīng)的基礎(chǔ)練習(xí)，并自主思考課中引申出的深層次、高難度的探究問題.

整個活動主要借助幾何畫板、GeoGebra等軟件，讓學(xué)生在直觀的動態(tài)展示和實(shí)踐操作中探究正方體截面的形狀. 完整的探究活動流程如圖1所示.

二、課前：依據(jù)各項(xiàng)任務(wù)，實(shí)踐自主探究

1. 動手實(shí)踐

活動1：切割正方體模型（如土豆塊、花泥模具、泡沫塑料等），盡可能切割出不同形狀的截面，并拍照記錄截面圖形的邊數(shù)，判斷截面圖形的特征并說明原因.

活動2：利用網(wǎng)絡(luò)資源，學(xué)習(xí)幾何畫板、GeoGebra等軟件的使用方法，繪制正方體截面的動態(tài)演示動畫，截圖記錄截面圖形的邊數(shù)，判斷截面圖形的特征并說明原因.

【設(shè)計(jì)意圖】在動手實(shí)踐中直觀感知正方體截面形狀的多種可能. 針對軟件操作和直觀想象能力較強(qiáng)的學(xué)生，讓其在制作動態(tài)動畫的過程中，更準(zhǔn)確、全面地判斷正方體截面的多種可能，并準(zhǔn)確分析圖形特征，促進(jìn)思考.

2. 幾何實(shí)驗(yàn)

活動3：給出截面概念. 要求學(xué)生在課前任務(wù)單中作出一個正方體，選擇正方體棱或面上的3個點(diǎn)，嘗試作出經(jīng)過這3個點(diǎn)截正方體所得的截面.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生脫離活動1和活動2中的實(shí)物操作，在直觀體驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)入幾何抽象和空間想象的階段.

3. 提出問題

活動4：在活動1、活動2和活動3的基礎(chǔ)上，嘗試回答或證明課前任務(wù)單中的例1和例2，隨后獨(dú)立提出3 ～ 5個關(guān)于正方體截面的數(shù)學(xué)問題，并盡可能給出每道題目的解答.

例1? 用一個平面截正方體.

（1）截面是否可以為一個三角形？

（2）如果截面可以是一個三角形，這個三角形可以是直角三角形嗎？為什么？

（3）如果截面可以是一個三角形，還可能是什么樣的三角形？試說明原因.

例2? 如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P，Q，R分別是棱AB，BC，D1C1的中點(diǎn)，試作出過P，Q，R三點(diǎn)的平面截正方體所得到的截面.

【設(shè)計(jì)意圖】例1探究正方體截面是三角形時的圖形特征；例2解決簡單正方體截面作圖問題. 此外，兩道例題也可以作為提出問題的樣例.

課前活動主要通過“課前任務(wù)單”鼓勵學(xué)生邁出探究的第一步. 數(shù)學(xué)探究活動是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的一類綜合實(shí)踐活動，因此從設(shè)計(jì)到實(shí)施通常始于課前，且不止于課堂. 本節(jié)課通過設(shè)計(jì)課前探究活動及相應(yīng)任務(wù)單，引導(dǎo)學(xué)生從動手實(shí)踐到幾何實(shí)驗(yàn)，再從中提出可以探究的數(shù)學(xué)問題. 在動手實(shí)踐中，針對操作水平不同的學(xué)生分別設(shè)計(jì)了“切割模型”和“軟件繪圖”兩個活動，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生嘗試抽象并作出正方體截面. 課前自主探究活動的設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生在真實(shí)的情境中參與活動、體驗(yàn)成功，通過“做數(shù)學(xué)”，手腦協(xié)同，經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象、從簡單到復(fù)雜的逐漸深入的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.

三、課中：分析探究思路，歸納截面作法

問題1：什么是“截面”？

問題2：要從哪些方面探究正方體的截面？

通過師生共同探究，學(xué)生明確“截面”的本質(zhì)是空間中的平面多邊形，并指明要從形狀、周長、面積、截面所分幾何體的體積，以及空間中點(diǎn)、直線、平面之間的距離、角度和位置關(guān)系等方面展開對正方體截面的探究，并在教師的引導(dǎo)下，確定基于學(xué)生提出的截面作圖問題開始探究.

題目? 如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在棱AB，BC，DD1上，求過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的截面.

解：如圖4，連接EF并延長，交DC的延長線于點(diǎn)N. 延長FE，交DA的延長線于點(diǎn)M.

連接GM，GN，分別交AA1，CC1于點(diǎn)P，Q.

連接EP，QF，則五邊形EFQGP即為所求截面.

問題3：例2和上述題目中給定的三點(diǎn)的位置有什么共同特征？

學(xué)生得出結(jié)論：三個點(diǎn)都在棱上，且其中兩個點(diǎn)的連線在正方體的外表面上.

問題4：如何改變?nèi)齻€點(diǎn)的位置，提出比例2簡單或復(fù)雜的新問題？

學(xué)生得出結(jié)論：變簡單可以把三個點(diǎn)都放在棱上，且兩點(diǎn)的連線中有兩條在正方體的外表面上（如圖5）；變難可以把三個點(diǎn)都放在棱上，但兩點(diǎn)的連線都在正方體的內(nèi)部（如圖6）；最難的則是把兩個點(diǎn)放在棱上，另外一個點(diǎn)放在正方體的外表面上，且任意兩點(diǎn)的連線都在正方體的內(nèi)部（如圖7）.

問題5：能否總結(jié)、歸納正方體截面的作圖方法？

【設(shè)計(jì)意圖】該部分對應(yīng)課前活動3. 首先，通過解決學(xué)生提出的求截面問題，幫助學(xué)生掌握作出比較簡單的正方體截面的方法. 其次，帶領(lǐng)學(xué)生由“條件”反思原始問題，鼓勵學(xué)生提出新的數(shù)學(xué)問題，探究更加復(fù)雜的正方體截面的作法.

四、課中：展示課前成果，討論截面形狀

成果展示：展示學(xué)生課前活動1和活動2的成果，包括動手切實(shí)物模型、GeoGebra軟件作圖、幾何畫板軟件作圖三類.

問題6：能否證明正方體截面是三角形時一定是銳角三角形，并總結(jié)三角形截面的其他可能圖形？

問題7：能否提出關(guān)于正方體截面形狀的兩大類問題？

第一類問題是：正方體截面是否可以為一個n（n ≥ 3，n ∈ N*）邊形？第二類問題是：當(dāng)正方體的截面是n邊形時，是否可能為某種特殊的n邊形？為什么？

問題8：正方體截面最多是幾邊形？正方體截面為什么不會是正五邊形？當(dāng)正方體截面為四邊形時，是否可能為直角梯形？為什么？

總結(jié)歸納：運(yùn)用幾何畫板軟件展示正方體截面圖形的各種情況及細(xì)節(jié)，如表1所示.

【設(shè)計(jì)意圖】展示學(xué)生的活動成果及提出的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)的動力. 類比例1提出兩類新的數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷從三邊形到n邊形的探究過程，幫助學(xué)生逐漸理解探究正方體截面形狀的基本思路.

以上課中的探究過程注重用“問題提出”引領(lǐng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)探究問題.《標(biāo)準(zhǔn)》案例11中給出了關(guān)于“正方體截面”的一系列可探究問題. 誠然，教師可以將這些問題一股腦兒全拋給學(xué)生，但那樣做得到的教學(xué)效果可能只是停留在讓學(xué)生解決了一道又一道數(shù)學(xué)問題的層面. 至于這些問題是從哪里來的，以及這些問題之間有什么關(guān)聯(lián)，學(xué)生很難有更多的思考，未來面對類似“正方體截面”這樣較為復(fù)雜、宏觀的探究主題時，仍然無從下手.

本節(jié)課采用給出樣例問題引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)提出數(shù)學(xué)問題的方式設(shè)計(jì)課前任務(wù)，進(jìn)而在課堂中讓學(xué)生經(jīng)歷“動手實(shí)踐—幾何實(shí)驗(yàn)—提出問題—分析問題—解決問題—反思問題—提出新問題—總結(jié)歸納”的循環(huán)推進(jìn)過程. 課堂教學(xué)中，把學(xué)生自己提出的問題作為分析對象，在不斷提出新問題的過程中引領(lǐng)學(xué)生思考、推理，將探究的主動權(quán)留給學(xué)生.

五、課中：厘清提問思路，理解探究過程

問題9：如何基于一個問題提出新的問題？有哪些策略可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、提出更多的數(shù)學(xué)問題？

學(xué)生基于教師的引導(dǎo)進(jìn)行思考，師生共同總結(jié)提出更多數(shù)學(xué)問題的策略，如圖8所示.

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課是一節(jié)以激發(fā)學(xué)生提出問題為主要目標(biāo)的探究型課例，由于學(xué)生缺乏相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，故教師引導(dǎo)學(xué)生對“提出問題”進(jìn)行更高站位、更全面地思考.

問題10：如何提出更好的數(shù)學(xué)問題？好的數(shù)學(xué)問題有哪些標(biāo)準(zhǔn)？

問題11：關(guān)于正方體的截面，你還能想到哪些有待探究的問題？

【設(shè)計(jì)意圖】嘗試幫助學(xué)生解決“為什么要做這些活動？”“開展自主探究、提出問題的基本思路大概是怎樣的？”等困惑，以便學(xué)生更好地面對未來多變的自主學(xué)習(xí)和教學(xué)方式，開展更多的自主探究.

六、課后：回顧活動歷程，課后補(bǔ)充鞏固

在完成對正方體的截面的探究后，教師通過以下兩個問題引導(dǎo)學(xué)生對探究活動過程進(jìn)行回顧、總結(jié).

（1）通過此次探究活動，你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識？

（2）此次探究活動的探究思路是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】在教學(xué)正方體截面的相關(guān)基礎(chǔ)知識、提升學(xué)生相應(yīng)基本技能的基礎(chǔ)上，本節(jié)課旨在設(shè)計(jì)一條循環(huán)遞進(jìn)、螺旋上升的探究思路，以期幫助學(xué)生更好地積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的能力.

課后作業(yè)：略.

七、教學(xué)反思

在以上課堂教學(xué)活動中，筆者主要幫助學(xué)生分析“問題提出”的底層知識，從認(rèn)知視角幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)上位學(xué)習(xí). 在數(shù)學(xué)探究活動中提出問題，對學(xué)生掌握的經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)能力要求很高. 探究活動的有效性與學(xué)生的站位高度直接相關(guān). 在本節(jié)課中，學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)較少，只有小部分學(xué)生能夠快速領(lǐng)會其中的奧妙. 因此，在本節(jié)課后半段的教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生基于“問題提出”本身討論了三個問題.

首先，“如何基于一個問題提出新的問題？”是關(guān)鍵所在. 面對不同的探究主題，學(xué)生需要盡可能多地羅列與其相關(guān)的知識要素，并在頭腦中快速生成一張關(guān)于此主題的“知識網(wǎng)絡(luò)”，這是提出新問題的基本條件. 就本節(jié)課而言，涉及作圖、形狀、周長、面積、截面所分幾何體的體積，以及空間中點(diǎn)、直線、平面之間的距離、角度的計(jì)算和位置關(guān)系的證明等基礎(chǔ)知識.

其次，教學(xué)需要幫助學(xué)生從認(rèn)知某個主題的多個視角出發(fā)，對不同的問題進(jìn)行歸類思考. 例如，在本節(jié)課的提問探究過程中，學(xué)生大致經(jīng)歷了“直觀—抽象—計(jì)算—推理”的分析過程，還經(jīng)歷了把“三維”的研究對象“二維化”進(jìn)行初步研究后再放回“三維”中繼續(xù)研究的過程. 此外，整個探究還是先對單一“不變”截面的分析，再整體分析截面“動起來”的過程. 在回顧、反思、認(rèn)知正方體截面的不同視角后，學(xué)生對自己提出的數(shù)學(xué)問題會有更加深刻、清晰的理解.

最后，就“提問策略”而言，課堂教學(xué)中總結(jié)了改變問題條件、類比、結(jié)果與條件置換及將在解題過程中得到的新的發(fā)現(xiàn)或結(jié)論作為新問題的出發(fā)點(diǎn)等建議. 關(guān)于“好問題的標(biāo)準(zhǔn)”，學(xué)生通過討論得出了問題的大小要適切、內(nèi)容要豐富、答案要多樣或開放等結(jié)論.

分析數(shù)學(xué)探究活動中的基礎(chǔ)知識和認(rèn)知視角，旨在幫助學(xué)生理解“問題提出”是開展數(shù)學(xué)探究的一種可行方式. 探究活動的設(shè)計(jì)教學(xué)需要給予學(xué)生具體的方法和整體的思考，為學(xué)生指明一條循環(huán)遞進(jìn)、螺旋上升的探究思路，從而輔助其積累活動經(jīng)驗(yàn)，并提升發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的能力及有關(guān)素養(yǎng).

每個人天生就是提問者，發(fā)現(xiàn)和提出問題在生命個體的發(fā)展過程中具有獨(dú)特且重要的意義，是學(xué)生探究能力的發(fā)端. 然而，目前學(xué)生很少有機(jī)會經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程，更缺乏從真實(shí)世界發(fā)現(xiàn)和提出相關(guān)數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)經(jīng)歷. 因此，我們需要從基礎(chǔ)教育改革的大背景出發(fā)，關(guān)注數(shù)學(xué)探究活動的設(shè)計(jì)與教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的各類數(shù)學(xué)與綜合素養(yǎng)，努力實(shí)現(xiàn)新時代下人才的培養(yǎng)目標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.