基于權(quán)重控制的齒面重構(gòu)技術(shù)及有限元分析

張凱杰,岳坤明,薛 浩

上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,上海 200093

1 引 言

螺旋錐齒輪由于重合系數(shù)大、承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)效率高、傳動(dòng)平穩(wěn)[1]等優(yōu)勢(shì)被廣泛應(yīng)用于各種交錯(cuò)軸傳動(dòng)的機(jī)械設(shè)備中。近幾年來,數(shù)字化虛擬技術(shù)[2]被廣泛應(yīng)用于螺旋錐齒輪的設(shè)計(jì)中,用來指導(dǎo)螺旋錐齒輪的實(shí)際加工。由于螺旋錐齒輪的齒面形狀復(fù)雜,因此,很多學(xué)者針對(duì)齒面重構(gòu)進(jìn)行了研究,其中NURBS擬合函數(shù)得到廣泛應(yīng)用。Rui等[3]利用最小二乘法對(duì)NURBS擬合后的齒面進(jìn)行二次優(yōu)化逼近,相比于CAD/CAM中立方體非均勻有理B樣條曲線和曲面的擬合技術(shù),齒面的精度明顯提高;林家春等[4]對(duì)齒面測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行NURBS曲面擬合,并建立真實(shí)齒面的三維參數(shù)化模型,將建立的參數(shù)化模型與理論模型比較得出齒廓偏差,解決了特大型齒輪特征線的測(cè)量問題;丁撼等[5]結(jié)合三次NURBS曲線曲面造型技術(shù)的在CAD/CAM中的優(yōu)勢(shì)完成球面漸開線齒面的精確擬合,利用蒙皮法構(gòu)造的NURBS齒面基礎(chǔ)上提出相關(guān)優(yōu)化方案,為齒面接觸分析提供了齒面數(shù)據(jù)與基礎(chǔ)模型;鄧辰等[6]通過循環(huán)高斯核的Kriging模型得到齒面控制頂點(diǎn),進(jìn)而對(duì)雙重螺旋法加工的齒面進(jìn)行重構(gòu),再通過數(shù)值測(cè)量驗(yàn)證了重構(gòu)齒面的整體精度高,最后通過蒙面法實(shí)現(xiàn)了齒面的重構(gòu);馬力全等[7]詳細(xì)介紹了雙二次NURBS曲線及曲面權(quán)重系數(shù)的計(jì)算方法,去掉了傳統(tǒng)方法中對(duì)相關(guān)矩陣的求逆,并增加了一項(xiàng)頂點(diǎn)系數(shù),該方法能夠快速計(jì)算出每一個(gè)控制頂點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)。大部分齒面重構(gòu)的研究都只是確保了擬合曲面的最大誤差以及平均誤差,卻忽視了誤差的整體分布情況以及是否存在局部過擬合等問題;王笑一等[8]基于齒面誤差的3D表達(dá)提出了特征數(shù)據(jù)集的定義方法以及基于統(tǒng)計(jì)的齒面誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算方法。因此,利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法詮釋齒面誤差將更好地反映整體齒面擬合情況。

進(jìn)行刀傾法虛擬切齒時(shí),小輪齒面呈現(xiàn)碎片式現(xiàn)象,不利于后續(xù)的網(wǎng)格劃分與有限元分析,因此需要對(duì)加工后的齒面進(jìn)行重構(gòu)處理。由于接觸斑點(diǎn)分布是作為螺旋錐齒輪接觸性能以及判斷其承載能力的一個(gè)重要指標(biāo),而接觸斑點(diǎn)分布直接取決于重構(gòu)齒面的情況,因此在進(jìn)行有限元分析時(shí),齒面誤差的隨機(jī)性可能會(huì)導(dǎo)致接觸斑點(diǎn)歧義,從而使設(shè)計(jì)者為達(dá)良好接觸區(qū)域而錯(cuò)誤地調(diào)整機(jī)床參數(shù),從而降低齒輪傳動(dòng)性能。本文采用Newton-Raphson方法確定齒面的中央控制頂點(diǎn),通過虛擬切齒技術(shù)確定齒面的邊界,從而實(shí)現(xiàn)齒面分區(qū),再基于雙二次NURBS曲面權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法計(jì)算各控制頂點(diǎn)的權(quán)重分布,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)各控制頂點(diǎn)間自適應(yīng)分配插值節(jié)點(diǎn)數(shù),使重構(gòu)齒面的誤差在各齒面劃分區(qū)域上均勻分布,避免了重構(gòu)齒面的局部失真而降低齒輪接觸仿真分析的準(zhǔn)確性。

2 基于權(quán)重控制的曲面重構(gòu)

曲面重構(gòu)方法分為以下4個(gè)步驟,如圖1所示:

圖1 曲面重構(gòu)流程圖Fig.1 Flowchart of surface reconstruction

以一對(duì)準(zhǔn)雙曲面齒輪副為研究對(duì)象,基于格里森制的HFT計(jì)算卡解析[9]刀傾法加工的小輪以及成形法加工的大輪,通過Visual Basic程序?qū)喤鬟M(jìn)行參數(shù)計(jì)算,并利用CATIA二次開發(fā)進(jìn)行參數(shù)化建模。根據(jù)螺旋錐齒輪的切齒加工原理,推導(dǎo)出輪坯與刀具之間的初始相對(duì)位置以及運(yùn)動(dòng)關(guān)系,通過CATIA中的VBA宏程序控制刀具與輪坯的運(yùn)動(dòng)。因此先根據(jù)小輪加工參數(shù)使刀具相對(duì)于輪坯進(jìn)行空間定位,再通過CATIA中的宏命令進(jìn)行連續(xù)切削50次,從而得出小輪齒面上完整的刀痕線,但是這種做法會(huì)大大降低齒面精度,故需對(duì)小輪齒面進(jìn)行重構(gòu)。一般而言,型值點(diǎn)越多,曲面擬合越精確,但是其計(jì)算成本也會(huì)線性增加,故在保證擬合精度的前提下,應(yīng)盡量提取較少型值點(diǎn)。

為了使重構(gòu)后的齒面更好貼合理論齒面,通過引入理論點(diǎn)作為齒面上的面控制頂點(diǎn),從而進(jìn)行曲面擬合。由于螺旋錐齒輪的齒面相當(dāng)復(fù)雜,其齒面方程不能通過顯示函數(shù)進(jìn)行表達(dá),故本節(jié)通過齒面共軛原理[10-11],由Newton-Raphson方法計(jì)算表面點(diǎn)的坐標(biāo)值,這個(gè)方法包括坐標(biāo)變換方程、運(yùn)動(dòng)方程以及齒坯邊界方程,如式(1)所示:

式(1)中,Rg(s,θ,φ)表示齒輪在運(yùn)動(dòng)過程中的位置向量;Rc(s,θ)表示刀具在運(yùn)動(dòng)過程中的位置向量;Mcg(Xb,Xd,E0,δj,Sj,qa,θq,θz,φ)表示坐標(biāo)變換矩陣;fgc表示齒輪嚙合方程;fm(δm,δg,Om,Og,b,de)表示由設(shè)計(jì)參數(shù)定義的齒輪邊界方程。

其中,s為刀刃頂距(mm),θ為刀轉(zhuǎn)角(°),φ為床位(mm),Xb為機(jī)床基點(diǎn)到背部的距離(mm),Xd為機(jī)床基點(diǎn)到底座的距離(mm),E0為偏移量(mm),δj為機(jī)床根角(°),Sj為徑向輪位(mm),qa為安裝角(°),θq為刀傾角(°),δm為面錐角(°),δg為根錐角(°),Om為面錐頂點(diǎn)到交叉點(diǎn)距離(mm),Og為根錐頂點(diǎn)到交叉點(diǎn)距離(mm),b為齒寬(mm),de為外端直徑(mm)。

由上述方程組求解得到曲面上3×7的點(diǎn)陣坐標(biāo),計(jì)算共軛齒面型值點(diǎn)示意圖如圖2所示。

圖2 齒面型值點(diǎn)的計(jì)算Fig. 2 Calculation of points on tooth surface

2.1 權(quán)重計(jì)算及曲率調(diào)整

2.1.1計(jì)算權(quán)重系數(shù)

雙二次NURBS曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)式[7]:

(2)

式(2)中,t為規(guī)范后的參數(shù)變量,t∈[0,1];ωi,j為控制頂點(diǎn)的權(quán)重系數(shù);Ni,2(t)為2次B樣條基函數(shù)。

雙二次NURBS曲面擬合的研究中,建立一組合適的權(quán)重系數(shù)能有效提高曲面擬合精度。由于權(quán)重系數(shù)能調(diào)節(jié)曲面形狀與控制頂點(diǎn)之間的關(guān)系,故調(diào)節(jié)各點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)會(huì)影響該點(diǎn)自身及其相鄰點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲面形狀。當(dāng)權(quán)重系數(shù)增大,曲面就會(huì)逼近控制頂點(diǎn),反之則會(huì)遠(yuǎn)離控制頂點(diǎn)。一個(gè)控制頂點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)由其自身和周圍的鄰點(diǎn)共同確定,對(duì)于雙二次NURBS曲面而言,計(jì)算一個(gè)控制頂點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)需要9個(gè)頂點(diǎn)。

根據(jù)圖3的齒面分區(qū)示意圖,將各區(qū)域的頂點(diǎn)作為權(quán)重計(jì)算的控制頂點(diǎn)。

圖3 齒面分區(qū)示意圖Fig. 3 The sketch of tooth surface partition

由控制頂點(diǎn)本身及其周圍的9個(gè)點(diǎn)計(jì)算出各頂點(diǎn)的權(quán)重系數(shù),表達(dá)式如式(3)所示:

(3)

式(3)中,ri為相關(guān)矢量,Ri,j為相關(guān)矩陣,bi,j為頂點(diǎn)系數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知,ωmin為0.1,ωmax為1.0,ri,Ri,j,bi,j的計(jì)算公式如式(4)、式(6)、式(7)所示:

(4)

(5)

式(5)中,C為相關(guān)系數(shù),一般取2[13];nc為控制頂點(diǎn)數(shù)目,故這里nc等于45。

(6)

bi,j=zi,j-zmin

(7)

式(7)中,zi,j為控制頂點(diǎn)在z方向上的坐標(biāo)值,zmin為45個(gè)控制頂點(diǎn)中最小的z值。

上述式(2)—式(7)中的i,j分別表示控制頂點(diǎn)在齒長和齒高方向的下標(biāo),i=0,1,…,8;j=0,1,…,4。

曲面控制頂點(diǎn)權(quán)重系數(shù)傳遞示意圖如圖4所示:

圖4 權(quán)重系數(shù)傳遞示意圖Fig. 4 The schematic diagram of weight coefficient

(8)

由式(8),計(jì)算得小輪凹面的各控制頂點(diǎn)權(quán)重系數(shù),其權(quán)重分布如圖5所示。

圖5 小輪凹面控制頂點(diǎn)的權(quán)重分布Fig. 5 Weight distribution of points on pinion concave

2.1.2曲率調(diào)整

通過在兩兩控制頂點(diǎn)間插值,可改變各區(qū)域曲面曲率,從而間接影響整體曲面精度。若插值點(diǎn)數(shù)量偏少可能導(dǎo)致曲面精度達(dá)不到預(yù)期要求,而插值數(shù)量偏多又會(huì)產(chǎn)生“過擬合”現(xiàn)象,反而導(dǎo)致整體或局部曲面精度下降,因此,需要得出各分區(qū)控制點(diǎn)間的最優(yōu)插值點(diǎn)數(shù)量。本節(jié)將兩兩控制頂點(diǎn)間的權(quán)重系數(shù)差值之比轉(zhuǎn)化為各控制點(diǎn)間的插值節(jié)點(diǎn)數(shù)之比,通過同比例增加各區(qū)域插值節(jié)點(diǎn)數(shù),直至開始出現(xiàn)局部“過擬合”現(xiàn)象為止,重構(gòu)齒面的誤差均值隨插值節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加而呈現(xiàn)“先降低后上升”的趨勢(shì),如圖6所示,其原因就在于插值點(diǎn)數(shù)過多而導(dǎo)致的“過擬合”現(xiàn)象。通過同比例增加插值點(diǎn)數(shù)進(jìn)行曲率調(diào)整之后,最終擬合曲面的誤差均值僅為0.79 μm。

圖6 誤差均值變化趨勢(shì)Fig. 6 Variation trend of average error

2.2 曲面重構(gòu)

通過MATLAB軟件,根據(jù)上述控制頂點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)對(duì)各齒面區(qū)域進(jìn)行自適應(yīng)插值,再通過擬合構(gòu)成的數(shù)值點(diǎn)陣實(shí)現(xiàn)小輪凹面的重構(gòu),如圖7所示。通過編寫的程序?qū)⒅貥?gòu)后的曲面圖像生成“.scr”的腳本文件,在Windows操作系統(tǒng)中,它將被默認(rèn)當(dāng)作屏保腳本程序。通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),可以借助AutoCAD中“script”命令將此腳本文件打開,實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)文件的格式轉(zhuǎn)換,使得曲面圖像在三維軟件中得以呈現(xiàn),由此方法,同樣可以將小輪的凸面圖像導(dǎo)入,以小輪凹凸齒面作為輪齒重構(gòu)的邊界條件,實(shí)現(xiàn)輪齒包絡(luò),進(jìn)而可以重構(gòu)出齒面誤差比較小的一對(duì)齒輪,再將其導(dǎo)入HyperMesh中進(jìn)行網(wǎng)格的劃分,以便進(jìn)行后續(xù)的齒面接觸分析。

圖7 齒面重構(gòu)Fig. 7 Tooth surface reconstruction

3 誤差測(cè)量與誤差分布

為了將統(tǒng)計(jì)學(xué)原理運(yùn)用于齒面測(cè)量數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)齒面評(píng)價(jià),需要建立數(shù)學(xué)模型來表達(dá)三維齒面誤差。從本質(zhì)上將,齒面誤差評(píng)價(jià)是對(duì)一系列誤差數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)運(yùn)算,從而獲得具有代表性的統(tǒng)計(jì)量。本節(jié)通過Newton-Raphson方法[10-11]計(jì)算小輪凹面近似點(diǎn)坐標(biāo),得到齒高方向25點(diǎn)、齒長方向81點(diǎn)的特征數(shù)據(jù)集,所謂齒面誤差是指數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合齒面的法向偏差,以增加實(shí)體材料方向?yàn)檎?減少實(shí)體材料方向?yàn)樨?fù)[8]。

再對(duì)一系列數(shù)據(jù)點(diǎn)偏差X1,X2,…,Xn進(jìn)行均值和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,并將其作為重構(gòu)齒面的精度統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。

其均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別定義為

(9)

(10)

3.1 基于Catia曲面重構(gòu)的誤差測(cè)量

利用Catia的多截面擬合算法進(jìn)行齒面重構(gòu)時(shí),齒面的精度依賴于輔助截面的數(shù)量,輔助截面數(shù)量越多,齒面精度也越高,但計(jì)算成本也因此線性增長。誤差測(cè)量使用的是Catia中的測(cè)量模塊,將81*25特征數(shù)據(jù)集導(dǎo)入,測(cè)量其到重構(gòu)齒面的法向距離,如圖8所示,數(shù)據(jù)點(diǎn)到重構(gòu)齒面之間的法向距離,隨著輔助截面的數(shù)量增加,齒面的誤差均值不斷減小,并逐漸趨于穩(wěn)定,最終穩(wěn)定值為2.62 μm,齒長誤差均值為3.29 μm,齒高誤差均值為1.95 μm,表明齒長方向的誤差敏感度更大,此時(shí)的誤差分布情況如圖9(a)所示,并通過在齒長與齒高方向上等距選擇誤差點(diǎn)陣,表示齒長與齒高誤差,如圖10(a)、圖10(b)所示。

圖8 基于Catia的誤差測(cè)量Fig. 8 Error measurement by Catia

(a) 基于Catia擬合的曲面誤差分布

(a) 基于Catia擬合的齒長誤差

3.2 基于插值法曲面擬合的誤差測(cè)量

MATLAB中有一些快速插值的擬合算法,本節(jié)以分段三次樣條插值(Spline)為例,如果直接對(duì)控制頂點(diǎn)間進(jìn)行均勻插值擬合,則會(huì)非常容易出現(xiàn)局部“過擬合”現(xiàn)象,從而導(dǎo)致局部區(qū)域的齒面誤差偏大。為了驗(yàn)證直接插值的擬合度優(yōu)劣性,本節(jié)依舊使用控制頂點(diǎn)進(jìn)行插值擬合,得出重構(gòu)曲面,再將計(jì)算的81*25的特征數(shù)據(jù)點(diǎn)陣導(dǎo)入,測(cè)量點(diǎn)陣到擬合曲面之間的法向距離。得出結(jié)論:由分段三次樣條直接插值擬合的齒面,其齒面誤差均值為1.94 μm,齒長誤差均值為1.76 μm,齒高誤差均值為2.12 μm,表明齒高方向的誤差敏感度更大,其齒面誤差分布情況如圖9(b)所示,其齒長與齒高誤差分別如11(a)、圖11(b)所示。而先通過控制頂點(diǎn)權(quán)重系數(shù)自適應(yīng)分配各控制頂點(diǎn)間的插值節(jié)點(diǎn)數(shù)之后再進(jìn)行數(shù)值擬合曲面操作,其曲面誤差均值僅為0.79 μm,比之前的3種擬合效果更佳,其齒長誤差均值為0.76 μm,齒高誤差均值為0.82 μm,相比之下,誤差相差較小,則可表明誤差敏感度基本一致,從均值誤差的角度來看,通過控制頂點(diǎn)權(quán)重系數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)插值這一擬合方法更有意義。其齒面誤差分布情況如圖9(c)所示,其齒長與齒高誤差分別如圖12(a)、圖12(b)所示。

(a) 基于Spline直接插值的齒長誤差

(a) 基于權(quán)重控制自適應(yīng)插值的齒長誤差

通過這3種擬合方式下的齒面誤差分布情況對(duì)比,可以看出:通過Catia進(jìn)行多截面擬合的齒面,其誤差分布整體上比較凌亂;基于Spline進(jìn)行直接插值擬合的齒面,其誤差分布相對(duì)來說呈現(xiàn)一定的規(guī)律性,但是存在局部“過擬合”現(xiàn)象;而通過控制頂點(diǎn)權(quán)重系數(shù)自適應(yīng)分配各區(qū)域插值節(jié)點(diǎn)數(shù)后,再進(jìn)行齒面的插值擬合,其誤差分布整體上具有均勻性,并且不存在局部“過擬合”現(xiàn)象。此外,通過計(jì)算3種擬合方式下的數(shù)據(jù)點(diǎn)偏差的標(biāo)準(zhǔn)差,得出:圖9(a)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.795 μm,圖9(b)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.549 μm,圖9(c)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.083 μm,由此再次證明基于權(quán)重控制自適應(yīng)插值的曲面擬合效果最好。

4 重構(gòu)齒面的有限元分析

4.1 輪齒重構(gòu)及網(wǎng)格劃分

將上述重構(gòu)的齒面分別導(dǎo)入Catia中,與輪坯齒頂面和齒根面形成包絡(luò)體,通過封閉曲面并實(shí)體化得出單個(gè)輪齒,再由陣列得出重構(gòu)全齒模型。由于網(wǎng)格質(zhì)量直接影響有限元分析結(jié)果的可靠性,故將全齒模型導(dǎo)入Hypermesh中,進(jìn)行手動(dòng)劃分網(wǎng)格,這樣比在Abaqus中進(jìn)行自動(dòng)劃分的網(wǎng)格質(zhì)量高,由于本節(jié)研究的是大小齒輪正轉(zhuǎn)過程中的齒面接觸斑點(diǎn)分布情況,故需對(duì)小輪凹面及大輪凸面進(jìn)行網(wǎng)格加密,因?yàn)槿X模型呈中心對(duì)稱結(jié)構(gòu),故可先切割出單齒進(jìn)行網(wǎng)格劃分,在陣列單齒網(wǎng)格過程中,為了確保每個(gè)輪齒的左右端面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),故需預(yù)先在單齒的一端面劃分2D過渡網(wǎng)格,再將其復(fù)制旋轉(zhuǎn)到另一端面,這樣陣列出全齒網(wǎng)格模型在兩兩單齒之間無縫銜接,有效地保證了網(wǎng)格劃分的正確性。

4.2 重構(gòu)模型的有限元分析

4.2.1Abaqus分析前處理

將Hypermesh中劃分的網(wǎng)格模型導(dǎo)入Abaqus中進(jìn)行有限元分析,定義材料為20CrMnTi,模型材料參數(shù)如表1所示。這里采用Static、General求解器[14],將齒面設(shè)置為通用接觸,接觸面的切向摩擦因子為0.15,法向摩擦為硬接觸,將齒坯內(nèi)表面耦合至其軸線上的一點(diǎn),對(duì)此耦合點(diǎn)施加位移和載荷可間接控制齒坯運(yùn)動(dòng)。為了求解的收斂性以及結(jié)果的正確性,設(shè)置3個(gè)分析步驟:第1步大輪固定,旋轉(zhuǎn)小輪0.005 rad,使其接觸上大輪,消除裝配之間的間隙 ;第2步放開大輪旋轉(zhuǎn)自由度,并添加阻力矩,同時(shí)旋轉(zhuǎn)小輪0.2 rad,使其受力逐漸穩(wěn)定;第3步為主要的接觸分析步,大輪的設(shè)置繼承第2步,待力平衡關(guān)系建立后,旋轉(zhuǎn)小輪3.14 rad,設(shè)置完成,最后提交作業(yè),完成接觸分析。

表1 模型材料參數(shù)Table 1 Material parameters of model

4.2.2重構(gòu)齒面的接觸斑點(diǎn)對(duì)比

將小輪作為主動(dòng)輪,大輪作為從動(dòng)輪,在從動(dòng)輪的內(nèi)圈耦合點(diǎn)上施加100 N·m的阻力矩。選擇小輪某一輪齒的凹面作為觀察對(duì)象,觀察從嚙入到嚙出這一周期內(nèi)不同時(shí)刻的齒面接觸斑點(diǎn)分布情況,其中,以小輪和大輪剛嚙合的時(shí)刻定為起始0 °轉(zhuǎn)角,選取小輪轉(zhuǎn)角為5 °、10 °、15 °、20 °、25 °、30 °,得出一個(gè)嚙合周期內(nèi)不同時(shí)刻的齒面接觸斑點(diǎn),如表2所示。從表2中可以看出,這3種重構(gòu)方法下的齒面接觸線形狀基本都為橢圓形,滿足赫茲理論,說明這對(duì)螺旋錐齒輪副的接觸情況符合一般規(guī)律。但由于通過不同的擬合方法進(jìn)行輪齒的重構(gòu),故導(dǎo)致這3種方法下的齒面接觸情況略有差異。

表2 重構(gòu)齒面的接觸斑點(diǎn)Tabel 2 Contact spots of refactoring tooth surface

由表2中3種重構(gòu)方式下的齒面接觸斑點(diǎn)情況可以看出:首先這3種重構(gòu)齒面的接觸斑點(diǎn)具有相似之處,當(dāng)小輪轉(zhuǎn)過25 °時(shí),在靠近小輪齒頂位置均有接觸斑點(diǎn)的分布,則可說明這是由于加工參數(shù)的設(shè)計(jì)誤差導(dǎo)致的齒頂不良接觸,而并非是由于齒面重構(gòu)方法導(dǎo)致的,因此為了確保齒輪的接觸強(qiáng)度,可以通過反調(diào)加工參數(shù)[15]或者齒面修形[16]來消除齒頂接觸。基于Catia重構(gòu)的齒面由于其齒面誤差的隨機(jī)性造成接觸斑點(diǎn)不連續(xù)以及部分齒面區(qū)域存在應(yīng)力歧義的問題;基于Spline直接插值法進(jìn)行重構(gòu)的齒面因?yàn)辇X長方向的“龍格”問題導(dǎo)致剛嚙入時(shí)的接觸線偏長,并且因?yàn)槠X根處的齒面誤差偏大而導(dǎo)致在整個(gè)嚙合周期內(nèi)均有疑似齒根接觸現(xiàn)象;基于權(quán)重控制的重構(gòu)齒面,其瞬時(shí)接觸斑點(diǎn)具有唯一性,則可說明這種齒面重構(gòu)方法具有良好的魯棒性與準(zhǔn)確性,可為齒輪的有限元接觸分析提供正確的指導(dǎo)。

5 結(jié) 論

通過數(shù)值擬合技術(shù)與有限元分析相結(jié)合,對(duì)螺旋錐齒輪曲面重構(gòu)進(jìn)行了以下研究:

通過Catia對(duì)螺旋錐齒輪進(jìn)行高精度切齒,可有效保證切齒文件的可讀性與切齒的精度,同時(shí)為避免從齒面直接選取的數(shù)據(jù)點(diǎn)出現(xiàn)異常值,故而根據(jù)“牛頓-拉夫遜”方法對(duì)齒面近似理論點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算,并結(jié)合切齒后的齒坯輪廓點(diǎn)進(jìn)行齒面分區(qū),有效避開從“碎片式”表面上取點(diǎn)的隨機(jī)性。

基于雙二次NURBS曲面權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法得出各控制頂點(diǎn)的權(quán)重分布,由此自適應(yīng)分配各控制頂點(diǎn)間的插值節(jié)點(diǎn)數(shù),從而實(shí)現(xiàn)齒面的重構(gòu),可有效避免隨機(jī)插值的“過擬合”現(xiàn)象,并保證齒面擬合誤差在各齒面分劃區(qū)域中均勻分布。

將統(tǒng)計(jì)方法運(yùn)用于齒面測(cè)量數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)重構(gòu)齒面的評(píng)價(jià),并比較了基于Catia重構(gòu)齒面的方法、基于直接插值擬合齒面的方法以及基于權(quán)重控制的重構(gòu)齒面方法下的齒面誤差。其中,利用Catia重構(gòu)的齒面整體誤差均值為2.62 μm,標(biāo)準(zhǔn)差為0.795 μm,齒長方向誤差為3.29 μm,齒高方向誤差為1.95 μm,表明在Catia軟件中進(jìn)行的曲面擬合,擬合誤差在齒長方向更為敏感;利用Spline進(jìn)行直接均布插值重構(gòu)的齒面整體誤差均值為1.94 μm,標(biāo)準(zhǔn)差為0.549 μm,齒長方向誤差為1.76 μm,齒高方向誤差為2.12 μm,表明通過直接插值法進(jìn)行的曲面擬合,擬合誤差在齒高方向更為敏感;基于權(quán)重控制重構(gòu)的齒面整體誤差均值為0.79 μm,標(biāo)準(zhǔn)差為0.083 μm,齒長方向誤差為0.76μm,齒高方向誤差為0.82 μm,表明根據(jù)控制頂點(diǎn)權(quán)重系數(shù)自適應(yīng)分配插值節(jié)點(diǎn)數(shù)進(jìn)行的曲面擬合,誤差分布相對(duì)比較均勻,齒長方向與齒高方向的擬合誤差敏感度基本一致,相比于另外兩種方法,齒面的重構(gòu)情況得到了較大的改善。

基于有限元法,對(duì)比了不同重構(gòu)方式下的齒面瞬時(shí)接觸斑點(diǎn),發(fā)現(xiàn)經(jīng)Catia重構(gòu)的齒面上接觸斑點(diǎn)存在歧義,其原因在于齒面誤差的隨機(jī)性;通過Spline直接插值擬合的齒面上有偏向齒根側(cè)接觸斑點(diǎn),是由于齒長方向的“過擬合”而導(dǎo)致偏齒根處的齒面誤差偏大所造成;而基于權(quán)重控制的重構(gòu)齒面上的瞬時(shí)接觸斑點(diǎn)具有唯一性,為技術(shù)人員觀察有限元結(jié)果來反調(diào)加工參數(shù)或齒面修形提供正確指導(dǎo)。