基于Vague集模糊熵和D-S證據(jù)理論的多屬性群決策方法

鄒 圓,楊道理,王立威

1.重慶工商大學 經(jīng)濟學院,重慶 400067 2.重慶工商大學 管理科學與工程學院,重慶 400067 3.六盤水師范學院 物理與電氣工程學院,貴州 六盤水 553004

1 引 言

多屬性群決策指多人共同參與決策分析,在各屬性下對方案進行評估,通過將不同決策者提供的帶有各自偏好的決策信息進行集結,據(jù)此對備選方案排序并選優(yōu)的過程[1]。由于經(jīng)濟社會等領域中現(xiàn)實決策問題的復雜性、人們自身知識的有限性及認識事物的局限性,專家們往往難以給出精確的評估值而使決策問題通常帶有不確定特征。Gau等[2]于1993年首次提出Vague集概念,其特點在于同時包含了支持隸屬度、反對隸屬度和未知度3方面信息;Mishra等[3]認為相比于單一隸屬度的Zadeh模糊集,Vague集對事物的刻畫更為細膩,可視為Zadeh模糊集概念的推廣。以Vague值表征的專家評價信息可很好契合人類思維“亦此亦彼、非此非彼”的模糊特性,因而引起了研究者們的極大關注并在不確定多屬性群決策問題中獲得了廣泛的應用[4-6]。

對Vague多屬性群決策的現(xiàn)有研究主要聚焦于兩個方面:一是方案排序及選優(yōu)。Liu[7]、Zhou[8]、 Gao[9]等將TOPSIS方法引入Vague集,通過算出各備選方案與正負理想解之間的差距以對方案進行排序;Wang[10]、 Guo[11]、 Lin[12]、 許昌林等[13]各自定義Vague集記分函數(shù),將Vague值轉(zhuǎn)化為精確數(shù),從而計算各方案的得分,分數(shù)越高表示方案越優(yōu);Gui[14]提出了基于Vague集的灰色關聯(lián)分析排序方法。二是個體決策信息集結到群體判斷。一些學者通過定義Vague集的基本運算諸如實數(shù)與Vague值乘積[15]、Vague值間的交并運算[16]、Vague值間的乘積[17]、Vague集間的相似度[18]等將評價信息集結,獲得方案的最終評價值。上述操作均未涉及Vague集未知度的合理分配,融合結果存在不同程度的偏差。Wang[19]將Vague值轉(zhuǎn)化為Fuzzy值后進行信息融合以篩選方案,但在轉(zhuǎn)換時易造成信息損失。后續(xù),Wang等[20]定義了Vague集的極小和極大信心度,并利用線性規(guī)劃模型求出群體最優(yōu)綜合信心度,以此作為唯一依據(jù)進行決策,其缺陷在于未考慮其他影響因素。鑒于傳統(tǒng)方法對Vague 信息集結時未知度分配不合理以及將Vague信息轉(zhuǎn)化為其他類型信息處理所導致的信息損失問題,崔春生等[21]提出了基于證據(jù)理論的Vague多屬性群決策方法。證據(jù)理論作為一種被廣泛運用的不確定信息處理方法,在信息融合中不需要先驗概率[22],且在證據(jù)合成過程中可對未知度進行重新分配,在不確定信息的表達與融合上具有優(yōu)勢,有效地解決了 Vague多屬性群決策的信息集結難題。

通過對現(xiàn)有文獻的研究梳理發(fā)現(xiàn),學者們往往關注Vague信息轉(zhuǎn)化和信息集結,較少探討Vague多屬性群決策問題中的專家評分可信度獲取規(guī)則,通常是直接先驗給定可信度點值,這缺乏客觀依據(jù),也未考慮專家在不同屬性下評分可信度的差異,影響評價結果的內(nèi)在一致性。模糊熵是對Vague信息模糊不確定性的客觀度量,熵值越大,表示模糊不確定性越高,專家評價信息的可信度越低,可用來客觀反映專家在決策中的評分可信性。本文在前人工作的基礎上,將模糊熵的思想引入Vague決策環(huán)境中,結合證據(jù)理論和Vague集記分函數(shù),提出了一種新的完全由數(shù)據(jù)驅(qū)動的Vague多屬性群決策方法。該方法基于專家群體的原始評價信息,利用模糊熵獲取各專家在不同屬性下的評分可信度,從而構建起專家評價信息與其可信度之間的一一映射關系,降低了由于可信度賦值的主觀性對最終決策結果產(chǎn)生的影響。引入證據(jù)理論來解決Vague多屬性群決策的信息集結問題,以及利用記分函數(shù)進行Vague值轉(zhuǎn)化及排序,最后以一個決策實例驗證了該方法的可行性和有效性。

2 問題描述及方法基礎

2.1 問題描述

(1)

考慮各屬性對決策方案的重要性,假定專家ek對屬性Cj給出的Vague權重值為wkj,其中wkj=[tkj,1-fkj],tkj,fkj,πkj=(1-fkj)-tkj分別表示重要度、不重要度與對屬性影響的未知度,則可構建屬性權重矩陣W為

(2)

基于專家評分可信度、決策矩陣與屬性權重矩陣對各方案進行集成評價,最終篩選出最優(yōu)決策方案。本文主要解決的問題在于:傳統(tǒng)方法一般事先給定專家評分可信度,往往帶有一定的主觀性,且對所有屬性均相同,缺乏客觀依據(jù)與針對性,并影響方案的最終評價結果。而本質(zhì)上造成專家評分可信度不一的來源在于其在Vague決策過程中的未知性、不確定性與模糊性。模糊熵作為上述特征的度量工具,可據(jù)此來計算評分可信度。首先,通過計算各專家Vague決策矩陣中的模糊熵獲得其在各屬性上的評分可信度;其次,基于D-S證據(jù)理論對各專家關于每一個方案的Vague評價值進行信息集結;再次,確定各屬性權重并計算決策方案的最終評價值;最后根據(jù)評價值進行方案的排序與擇優(yōu)。

2.2 Vague集模糊熵

Vague集的模糊熵通常被用來度量Vague集的未知性、不確定性以及二者交叉時形成的模糊性。其公理化要求為[23]

定義1 假設A是論域U上的一個Vague集,記為A(x)=[tA(x),1-fA(x)],其中tA(x),fA(x)及πA(x)=1-tA(x)-fA(x)分別為x在A中的支持度、反對度和未知度。稱函數(shù)VE:U→[0,1]為Vague集A的模糊熵,若其滿足如下條件:

(1)VE(A)=0當且僅當對?x∈U,A(x)=[0,0]或[1,1];

(2)VE(A)=1當且僅當對?x∈U,tA(x)=fA(x);

(4) 若Ac是A的補集,Ac(x)=[fA(x),1-tA(x)],則VE(A)=VE(Ac)。

基于上述公理化定義,楊永偉[23]、范平[24]等分別獨立提出了Vague 集上模糊熵的具體計算公式。

定義2 設論域U={x1,x2,…,xn},A是U上的一個Vague集,A(x)=[tA(x),1-fA(x)]。

(1-yA(xi))log2(1-yA(xi))]

(3)

(2) 令πA(xi)=1-tA(xi)-fA(xi),Vague集A的模糊熵定義為[24]

(4)

上述關于模糊熵的兩個計算公式均體現(xiàn)了Vague信息的未知度、不確定度及二者交叉的模糊度。當A變成Fuzzy集時,前者退化成Fuzzy集上的模糊熵,因而與Fuzzy集上的模糊熵定義相容;后者按照Vague集模糊熵的度量來源直接表示,其測算過程符合人們直覺。

2.3 D-S證據(jù)理論

D-S證據(jù)理論通過定義信任函數(shù),并以Dempster合成規(guī)則為核心來綜合不同數(shù)據(jù)源或?qū)＜胰后w的數(shù)據(jù)或知識,勿需先驗概率信息,在證據(jù)合成過程中可對未知度進行重新分配,表征和融合不確定性信息更為有效直觀。在信息融合方面的突出優(yōu)勢使其在專家系統(tǒng)、情報分析、多屬性決策分析等領域均獲得了廣泛應用。D-S 證據(jù)理論的相關基本概念定義如下:

定義4 在識別框架Θ上,假定基本概率分配函數(shù)m:2Θ→[0,1],有

定義5 對于?A?Θ,定義識別框架Θ上的有限個mass函數(shù)m1,m2,…,mk,焦元(證據(jù))分別為A1,A2,…,Ak,則Dempster證據(jù)合成規(guī)則為

m(A)=(m1⊕m2⊕…⊕mk)(A)=

(5)

3 模型設計

3.1 評價信息處理

專家評分可信度受制于其在對目標方案的Vague決策中表現(xiàn)出來的未知性、不確定性及二者兼具時的模糊性影響,可由模糊熵來客觀度量。

(6)

(7)

(3) 屬性權重計算。通常采用記分函數(shù)表示決策方案對決策者要求的滿足程度。對于方案Ai,根據(jù)評價函數(shù)E,獲得Ai的Vague評價值E(Ai)=[tAi,1-fAi],將記分函數(shù)定義如下:

(8)

基于上述記分函數(shù)計算屬性權重矩陣W中Vague權重的得分,獲得屬性權重得分矩陣:

(9)

結合考慮專家的評分可信度,在各個屬性上將所有專家的意見進行加權綜合,計算出各個屬性的綜合權重值,并構建屬性綜合權重序列W*:

(10)

3.2 決策矩陣證據(jù)信息集結

在Vague多屬性群決策中,對于每個決策方案,在各屬性下均有多位專家給出的Vague值評價信息,利用證據(jù)理論將各專家經(jīng)修正后的Vague評價值進行信息集結,獲得每個方案在各屬性下的綜合Vague評價值。其流程如下:

(11)

其中,dij=[tij,1-fij],并滿足:

(12)

(13)

(14)

3.3 確定最優(yōu)決策方案

3.4 算法步驟

根據(jù)上述分析,給出基于Vague集模糊熵和D-S證據(jù)理論的多屬性群決策方法。具體步驟如下:

步驟1 將各專家給出的方案的屬性評價值以及屬性權重值用Vague值表示,構建決策矩陣與屬性權重矩陣。

步驟2 根據(jù)決策矩陣計算各專家在各屬性下的Vague集模糊熵,得到每位專家的評分可信度序列,并以此修正各專家的決策矩陣。

步驟3 針對每個方案,利用證據(jù)合成式(12)—式(14),對各專家在各屬性下經(jīng)修正后的每一方案Vague評價值進行信息集結,相應構建得到專家群體決策矩陣。

步驟4 針對屬性權重矩陣,使用記分函數(shù)式(8)計算屬性權重得分矩陣,并利用各專家的評分可信度序列進行調(diào)整,獲得屬性綜合權重序列。

步驟5 基于專家群體決策矩陣與屬性綜合權重序列,計算各方案的加權平均Vague評價值,再利用記分函數(shù)式(8)算出各方案的綜合得分。其值越大,所對應的決策方案越優(yōu)。

綜上所述,進行多屬性群決策的具體流程如圖1所示。

圖1 Vague值多屬性群決策算法流程圖Fig.1 The algorithm flow chart of Vague valued multi-attribute group decision making

4 算例分析

為了解釋上述算法,并與崔春生等[21]提出的基于證據(jù)理論與Vague集的多屬性群決策方法進行比較分析,本文繼續(xù)沿用崔春生等[21]文中的案例,假設方案集為A={A1,A2,A3},方案評價的標準為屬性集C={C1,C2,C3,C4},3位專家記為e1、e2、e3,基于各屬性分別對各個方案進行評價。

步驟1 專家e1、e2、e3考慮各屬性后對各決策方案進行Vague評價,構建原始決策矩陣D1、D2、D3分別為

專家e1、e2、e3設定各屬性的權重,構建屬性權重矩陣W為

步驟2 根據(jù)各專家決策矩陣,運用Vague集模糊熵式(3),計算各專家的評分可信度序列,得到可信度矩陣r為

5 結束語

探討了Vague集信息下的多屬性群決策問題,提出了一種基于Vague集模糊熵和D-S證據(jù)理論的多屬性群決策方法。主要工作及特點包括:根據(jù)專家在考慮各屬性下對各方案的Vague評價,運用模糊熵值確定各專家的評分可信度序列,彌補了傳統(tǒng)方法對可信度主觀統(tǒng)一設定上的不足,其由具體數(shù)據(jù)驅(qū)動,并隨具體決策問題不同而不同,因而更具客觀性與靈活性,其評價結果也能保持內(nèi)在一致性;利用專家可信度序列修正原始評價信息,分別運用Vague記分函數(shù)與專家可信度序列計算出各屬性的綜合權重值,使之更貼合實際;結合Vague集模糊熵在刻畫模糊不確定性上的優(yōu)勢以及D-S證據(jù)理論在信息融合上的優(yōu)勢,運用證據(jù)合成公式將各位專家在屬性集下每個方案的Vague評價值進行信息集結,并經(jīng)屬性綜合權重的加權與記分函數(shù)計算得分后,獲得各個方案的最終評分。本文提出的多屬性群決策方法可以進行程式化設計,具有較強的可操作性,易于實踐。

本文是基于崔春生等[21]一文基礎上的后續(xù)研究,所提出的方法在該文基礎上有兩個改進:一是以Vague集模糊熵為依據(jù)來獲得專家的評分可信度,摒棄了主觀設定的傳統(tǒng)思路;二是僅對專家評價證據(jù)進行信息集結,減少了對屬性集證據(jù)信息的二次集結,原因在于證據(jù)合成次數(shù)較多,尤其是存在高沖突的證據(jù)時,易造成信息失真,產(chǎn)生與直覺相悖的結果。通過算例驗證了提出的多屬性群決策方法的合理性和實用性。如何降低Vague證據(jù)信息合成中可能存在的高沖突性以拓寬應用場景,以及如何在專家的方案評價信息或?qū)傩詸嘀匦畔⒋嬖诓糠秩笔闆r下進行群決策有待后續(xù)進一步的研究。