集值優(yōu)化問題E-Henig有效解的穩(wěn)定性

曾 靜,胡瑞婷,彭家玉,丁若文

重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400067

1 引 言

集值優(yōu)化問題包含了向量優(yōu)化、數(shù)值優(yōu)化等多種優(yōu)化問題,具有豐富的實(shí)際背景,是優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。有關(guān)這一問題的研究涉及變分分析、數(shù)理經(jīng)濟(jì)、博弈論等多個(gè)學(xué)科分支,它與學(xué)科間的密切聯(lián)系極大程度上拓寬了集值優(yōu)化問題理論研究和實(shí)際應(yīng)用的范圍。近年來,學(xué)者們已取得了一系列的研究成果[1-6]。2012年,Gutiérrez等[7]基于改善集給出了E-有效解的定義,不僅對數(shù)值優(yōu)化問題的解進(jìn)行了進(jìn)一步推廣,還把向量優(yōu)化問題的幾個(gè)解(有效解、近似有效解、弱有效解、近似弱有效解)進(jìn)行了統(tǒng)一;2015年,趙克全和楊新民[8]首次定義了E-Benson真有效解,它是經(jīng)典真有效解和近似真有效解概念的合理推廣; 2017年,林佩靜[3]在研究中給出E-Henig真有效點(diǎn)的定義、等價(jià)刻畫、解的特征等。目前關(guān)于Henig有效解的最優(yōu)性條件[9]、連通性[10-11]、對偶性[12-13]等方面的研究已經(jīng)比較成熟,但鮮有文獻(xiàn)研究集值優(yōu)化問題改善集下Henig有效解的穩(wěn)定性。由上述文獻(xiàn)可以看出:以往學(xué)者聚焦于集值優(yōu)化問題Henig有效解的存在性、最優(yōu)性、對偶性等方面的研究,大大豐富了集值優(yōu)化問題有效解性質(zhì)的研究,進(jìn)一步推動了優(yōu)化問題的發(fā)展。而改善集下的Henig有效解統(tǒng)一了Henig有效解和近似Henig有效解,其穩(wěn)定性分析是數(shù)值計(jì)算中必不可少的環(huán)節(jié),因此研究集值優(yōu)化問題E-Henig有效解的穩(wěn)定性具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。但基于改善集下的集值優(yōu)化問題E-Henig有效解的研究還少之又少,文獻(xiàn)[3]雖然對其進(jìn)行了研究,但其主要研究改善集下集值優(yōu)化問題E-Henig有效解的存在性、鞍點(diǎn)、對偶性。本文致力于改善集下集值優(yōu)化問題E-Henig有效解的穩(wěn)定性研究。值得一提的是,2004年,Lucchetti和Miglierina[14]在目標(biāo)映射和約束條件均擾動的情形下研究了凸向量優(yōu)化問題有效點(diǎn)集和解集的穩(wěn)定性;2014年,李小兵等[15]在擾動問題序列Painlevé-Kuratowski收斂到目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí),建立了嚴(yán)格真擬C-凸向量優(yōu)化問題Henig有效點(diǎn)集和解集的穩(wěn)定性。隨后幾年,李小兵等[16]討論了當(dāng)近似問題的數(shù)據(jù)Painlevé-Kuratowski收斂到原問題的數(shù)據(jù)時(shí),擬凸集值優(yōu)化問題3種解(有效解、弱有效解、Henig有效解)的點(diǎn)集和解集的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[14,15]為向量優(yōu)化問題有效解的穩(wěn)定性研究做出了貢獻(xiàn),本文擬借助文獻(xiàn)[16]的研究方法,將文獻(xiàn)[14,15]的結(jié)果進(jìn)一步推廣至集值優(yōu)化問題中。因此,本文擬在目標(biāo)映射和約束條件都擾動的情況下,獲得嚴(yán)格真擬C-凸集值優(yōu)化問題E-Henig有效點(diǎn)集和解集的穩(wěn)定性結(jié)果,推廣文獻(xiàn)[14-16]中的相關(guān)結(jié)果,為集值優(yōu)化問題E-Henig有效解的實(shí)際數(shù)值計(jì)算分析提供重要的穩(wěn)定性理論分析依據(jù)。

2 預(yù)備知識

本節(jié)主要介紹集值映射的一些相關(guān)概念和性質(zhì)。

設(shè)C為Rl中非空的集合,若x∈C,λ≥0能推出λx∈C,則稱集合C為錐;若C≠{0}且C≠Rl,則稱C為真錐;若C∩(-C)={0},則稱C為尖錐;若cl(C)是尖錐,則稱C為銳錐;若C既是尖錐,又是銳錐,則稱C為尖銳錐。設(shè)有非空集合S?Rm,稱集合{λs|λ≥0,s∈S}是由集合S生成的錐,記為cone(S);定義?S是非空集合S的邊界;設(shè)C為Rl中內(nèi)部非空的尖閉凸錐,Rl中C誘導(dǎo)的偏序如下:y≤Cx?x-y∈C,y

設(shè)F:S→2Rl是從S到Rl的集值映射,考慮如下集值優(yōu)化問題:

(S,F):minx∈SF(x)

首先回顧集值優(yōu)化問題(S,F)的幾種解的定義、改善集的定義、改善集下解的定義以及相關(guān)性質(zhì)。從現(xiàn)在起,總假設(shè)非空集合S?Rm,F(S)=∪x∈SF(x),C為Rl中內(nèi)部非空的尖閉凸錐。

定義1[11,15]設(shè)y∈F(S),ε∈intC,若存在滿足C{0}?intC1的內(nèi)部非空尖閉凸錐C1,使得(F(S)-{y}+ε)∩(-C1{0})=?,則稱點(diǎn)y為集合F(S)的ε-近似Henig有效點(diǎn); 記集合F(S)中所有ε-近似Henig有效點(diǎn)構(gòu)成的集合為ε-HMinF(S);若x0∈S,存在y0∈F(x0),使得y0∈ε-HMinF(S),則稱點(diǎn)x0為集值優(yōu)化問題(S,F)的近似Henig有效解;記集值優(yōu)化問題(S,F)所有近似Henig有效解構(gòu)成的集合為ε-HEff(S,F)。

定義2[15]設(shè)y∈F(S),若存在滿足C{0} ?intC1的內(nèi)部非空尖閉凸錐C1,使得(F(S)-{y})∩(-C1{0})=?,則稱點(diǎn)y為集合F(S)的Henig有效點(diǎn);記集合F(S)所有Henig有效點(diǎn)構(gòu)成的集合為HMinF(S);若x0∈S,存在y0∈F(x0),使得y0∈HMinF(S),則稱點(diǎn)x0為集值優(yōu)化問題(S,F)的Henig有效解;記集值優(yōu)化問題(S,F)所有Henig有效解構(gòu)成的集合為HEff(S,F)。

定義3[8]設(shè)E為Rl中的一個(gè)非空子集,C為Rl中內(nèi)部非空尖閉凸錐,若滿足0?E且E+C=E,則稱E為關(guān)于C的一個(gè)改善集,記Rl中關(guān)于C的改善集全體為ξY。

定義4[8]設(shè)E∈ξY,y∈F(S),若點(diǎn)y滿足(F(S)-{y})∩(-intE)=?,則稱點(diǎn)y為集合F(S)的E-弱有效點(diǎn);記F(S)所有E-弱有效點(diǎn)構(gòu)成的集合為EWMinF(S);若x0∈S,存在y0∈F(x0),使得y0∈EWMinF(x0),則稱點(diǎn)x0為集值優(yōu)化問題(S,F)的E-弱有效解;記集值優(yōu)化問題(S,F)所有E-弱有效解構(gòu)成的集合為EWEff(S,F)。

定義5[8]設(shè)E∈ξY,y∈F(S),若點(diǎn)y滿足(F(S)-{y})∩(-E-C{0})=?,則稱點(diǎn)y為集合F(S)的E-有效點(diǎn);記F(S)所有E-有效點(diǎn)構(gòu)成的集合為EMin (S); 若x0∈S,存在y0∈F(x0),使得y0∈EMinF(x0),則稱點(diǎn)x0為集值優(yōu)化問題(S,F)的E-有效解;記集值優(yōu)化問題(S,F)所有E-有效解構(gòu)成的集合為EEff(S,F)。

定義6 設(shè)E∈ξY,y∈F(S),若存在滿足C{0}?intC1的內(nèi)部非空的尖閉凸錐C1,使得(F(S)+E-{y})∩(-C1{0})=?,則稱點(diǎn)y為集合F(S)的E-Henig有效點(diǎn);記F(S)所有E-Henig有效點(diǎn)構(gòu)成的集合為EHMinF(S);若x0∈S,存在y0∈F(x0),使得y0∈EHMinF(S),則稱點(diǎn)x0為集值優(yōu)化問題(S,F)的E-Henig有效解;記集值優(yōu)化問題(S,F)所有E-Henig有效解構(gòu)成的集合為EHEff(S,F)。

注1 若取E=ε+C{0},其中ε∈C{0},此時(shí)E-Henig有效點(diǎn)退化為ε-近似Henig有效點(diǎn);若取E=C{0},此時(shí)E-Henig有效點(diǎn)退化為Henig有效點(diǎn)。因此E-Henig有效點(diǎn)統(tǒng)一了Henig有效點(diǎn)及ε-近似Henig有效點(diǎn)概念。

命題1[7,17]若E∈ξY,intE≠?,A?Rl為非空子集,則以下性質(zhì)成立:

(1) intE∈ξY,intE=E+intC,intE=cl(E)+intC。

(2) 若E?C,則E+E?E,E+intE?E,且coneE為凸的。

(3) 若intC?E?C{0},則有clcone(A+C) =clcone(A+E)。

(4)clcone(A+E)=clcone(A+intE),clcone(A+E)+C=clcone(A+E)。

注2 結(jié)合命題1中(1)易得,EWMinF(S)? EMinF(S)?EHMinF(S)。

下面介紹緊集值映射、集值映射凸性、集合Painlevé-Kuratowski(簡記P.K.)收斂,以及集值映射序列Painlevé-Kuratowski收斂的概念及相關(guān)性質(zhì)。

定義7[16]設(shè)F:S→2Rl為集值映射,若對任意x1,x2∈S,λ∈[0,1],有

λF(x1)+(1-λ)F(x2)?F(λx1+(1-λ)x2)+C

則稱集值映射F為C-凸集值映射。

定義8[16]設(shè)F:S→2Rl為集值映射,若對任意x1,x2∈S,x1≠x2和任意λ∈(0,1),有

λF(x1)+(1-λ)F(x2)?F(λx1+(1-λ)x2)+intC

則稱集值映射F為嚴(yán)格C-凸集值映射。

定義9[18]設(shè)F:S→2Rl為集值映射,若對任意x1,x2∈S,λ∈[0,1],有下式之一一定成立:

F(x1)?F(λx1+(1-λ)x2)+C

F(x2)?F(λx1+(1-λ)x2)+C

則稱集值映射F為真擬C-凸集值映射。

定義10[18]設(shè)F:S→2Rl為集值映射,若對任意x1,x2∈S,x1≠x2和任意λ∈(0,1),有下式之一一定成立:

F(x1)?F(λx1+(1-λ)x2)+intC

F(x2)?F(λx1+(1-λ)x2)+intC

則稱集值映射F為嚴(yán)格真擬C-凸集值映射。

定義11[18]設(shè)F:S→2Rl為集值映射,若對任意x1,x2∈S,y1∈F(x1),y2∈F(x2)和任意λ∈[0,1],存在η∈[0,1],使得ηy1+(1-η)y2∈F(xλ)+C,則稱F為自然擬凸集值映射。

定義12[18]設(shè)F:S→2Rl為集值映射,若對任意x1,x2∈S,x1≠x2,y1∈F(x1),y2∈F(x2)和任意λ∈(0,1),存在η∈[0,1],使得ηy1+(1-η)y2∈F(xλ)+intC,則稱F為嚴(yán)格自然擬凸集值映射。

注3[18]若F是嚴(yán)格真擬C-凸集值映射,則F也是真擬C-凸集值映射;若F是真擬C-凸集值映射,則F也是自然擬凸集值映射。然而真擬C-凸性與C-凸性沒有必然聯(lián)系。

定義13[16]設(shè)α∈Rl,F:S→2Rl為集值映射;F在高度α下的水平集Fα定義為Fα={x∈S:α∈F(x)+C}。

注4[16]1) 對任意α∈Rl,當(dāng)F是自然擬凸集值映射時(shí),Fα是凸集; 2) 結(jié)合注3可知,當(dāng)F是嚴(yán)格真擬C-凸集值映射或真擬C-凸集值映射時(shí),Fα也是凸集。

定義14[14]設(shè)S?Rm是閉凸集合,S的回收錐集合定義為0+(S)={d∈X:x+td∈S,?x∈S,?t≥0}。

注5 顯然,對于閉凸集合S?Rm,0+(S)= {0},當(dāng)且僅當(dāng)S為有界集。

定義15[19]設(shè)F:S→2Rl為集值映射,若對任意x∈S,F(x)是Rl上的緊子集,則稱集值映射F在S上是緊值的。

定義16[20]若Rm中非空凸集S的邊界(簡記為?S)不包含線段,則稱S是rotund的,即對任意x,x′∈S,x≠x′,有]x,x′[∩(?S)c≠?,其中,]x,x′[={λx+(1-λ)x′:λ∈[0,1]}。

定義17[16]設(shè)F:S→2Rl為凸值映射,若對任意x∈S,F(x)是rotund子集,則稱F在S上是rotund值的。

注6[16]若F是單值映射,則F在S上既是rotund值,又是緊值。

引理1[19]設(shè)F:S→2Rl是集值映射,x0∈S,若F在S上是緊值的,F在x0處上半連續(xù)(簡記u.s.c),則對任意S中的序列{xn}有xn→x0,且對任意yn∈F(xn),存在y0∈F(x0)和{yn}中的子序列{ynk},使得ynk→y0。

3 穩(wěn)定性結(jié)果

本節(jié)在集值優(yōu)化問題可行域和目標(biāo)映射均擾動的情況下,建立了集值優(yōu)化問題E-Henig有效解點(diǎn)集和解集的穩(wěn)定性結(jié)果。從下面開始,總假設(shè)E∈ξY。

引理2 設(shè)S?Rm是非空閉凸子集,F在S上是上半連續(xù)的真擬C-凸緊值集值映射,若α∈Rl,Fα≠?,則有Fα是閉凸集。

證 明結(jié)合注4可知,對α∈Rl,若Fα≠?,則顯然有Fα是凸集。下證Fα是閉集:令xn∈Fα且xn→x,因?yàn)閤n∈S,S為閉集,所以x∈S;由xn∈Fα可知,存在yn∈F(xn),使得α∈yn+C;又由引理1可知,{yn}中存在子序列{ynk},使得ynk→y且y∈F(x),從而有α∈F(x)+C。因此x∈Fα,即Fα為閉集。

d(xnk,Fα)>r

(1)

當(dāng){xnk}無界時(shí),不妨設(shè)(如果有必要可選擇合適的子序列)

‖xnk‖→∞

(2)

設(shè)對任意t≥0,有

(3)

(4)

因?yàn)棣胣k→α,所以對任意ε∈intC,存在kε∈N,使得

α+ε∈γnk+C,?k≥kε

(5)

由Fnk的真擬C-凸性可知,對任意λ∈[0,1],下式之一一定成立

Fnk(xnk)?Fnk(znk)+C

(6)

(7)

綜上,式(1)不成立,求證成立。

命題3 設(shè)S?Rm為非空閉凸子集,F:S→2Rl為S上的上半連續(xù)真擬C-凸集值緊值映射,epiF為閉集,則以下命題等價(jià):

1)α∈Rl,當(dāng)Fα≠?時(shí),0+(Fα)={0}。

2)α∈Rl,當(dāng)Fα≠?時(shí),Fα有界。

證 明2)?1)。用反證法:若存在x∈0+(Fα)且x≠0,則有

a+tx∈Fα,?a∈Fα,?t≥0

(8)

因?yàn)镕α≠?,取l∈Fα,由式(8)可知,l+tx∈Fα,?t≥0,這意味著Fα無界。

α∈y+C

(9)

α∈yn+C

(10)

由F的真擬C-凸性可知,y∈F(zn)+C或yn∈F(zn)+C一定成立。當(dāng)y∈F(zn)+C時(shí),由式(9)可知,α∈F(zn)+C,即zn∈Fα;當(dāng)yn∈F(zn)+C時(shí),由式(10)可知,α∈F(zn)+C,即zn∈Fα;因此存在F(zn)中的序列{wn},使得α-wn∈C。由引理1可知,存在{wn}中的子序列{wnk},使得wnk→w且w∈F(z),從而有α-w∈C,這意味著α∈F(z)+C,即z∈Fα。因此x0≠0且x0∈0+(Fα),這與0+(Fα)={0}相矛盾。

xk∈Snk,γk∈Fnk(xk)+C

(11)

(xk,γk)→(x,γ)

(12)

由式(12)可知,γk→γ,所以對任意ε∈intC,存在kε∈N,使得

γ+ε∈γk+C,?k≥kε

(13)

結(jié)合式(11)和式(13)可知,γ+ε∈Fnk(xk)+C,?k≥kε。這意味著,當(dāng)k充分大時(shí),有

(14)

接下來,在集值優(yōu)化問題的可行域和目標(biāo)映射均擾動的情況下,建立集值優(yōu)化問題E-弱有效點(diǎn)集和E-Henig有效點(diǎn)集的穩(wěn)定性結(jié)果。

命題5 設(shè)E=C1{0},(F(S)-{y})∩(-C1 {0})=?,則(F(S)-{y}+E)∩(-C1{0})=?。

證 明任取x∈F(S)-{y},由(F(S)-{y})∩ (-C1{0})=?,可知x?-C1{0},即x∈Rl (-C1{0}),從而

F(S)-{y}+C1{0}?Rl(-C1{0})+C1{0}?

Rl(-C1{0})

即(F(S)-{y}+C1{0})∩(-C1{0})=?。因?yàn)镋=C1{0},所以(F(S)+E-{y})∩(-C1{0}) =?。

注7 由命題5可知,當(dāng)E=C1{0}時(shí),Henig有效解一定是E-Henig有效解。

定理2 設(shè)F:S→2Rl和Fn:Sn→2Rl為上半連續(xù)嚴(yán)格真擬C-凸的緊值集值映射,且滿足命題2中其余的條件,若C是滿足C{0}?intC1的尖閉凸錐,epiF為閉集,intC?intE,E=C1{0},F在S上為rotund值映射,則有l(wèi)imnsupEHMinFn(Sn)?EHMinF(S)。

證 明任取y∈limnsupEHMinFn(Sn),下證y∈EHMinF(S)。因?yàn)?/p>

limnsupEHMinFn(Sn)?limnsupEWMinFn(Sn)?

EWMinF(S)?F(S)

-C1{0}-C1{0}?

-C1{0}-C1?

-C1{0}

(15)

(16)

(17)

若xnk≠unk,由Fnk的嚴(yán)格真擬C-凸性可知,有Fnk(xnk)?Fnk(sk)+intC或Fnk(unk)?Fnk(sk)+intC之一成立。因?yàn)閥nk∈Fnk(xnk)且ynk∈EHMinFnk(Snk),所以

(Fnk(Snk)+E-{ynk})∩(-C1{0})=?

(18)

又因?yàn)镃{0}?intC1,所以由式(18),可知(Fnk(Snk)+E-{ynk})∩(-intC)=?;進(jìn)一步,有

ynk?Fnk(Snk)+E+intC

(19)

由命題1中(1)可知,E+intC=intE,結(jié)合intC?intE和式(19),可知

ynk?Fnk(Snk)+intC

(20)

(21)

(22)

由命題1中(1) 可知,E+intC=intE,從而有y′-ε∈y-intE;又由y′-ε∈F(x)可知,有y′-ε∈F(x)∩(y-intE),這與y∈EWMinF(S)相矛盾。

綜上由(1)和(2)可知,y∈EHMinF(S),limnsupEHMinFn(Sn)?EHMinF(S)。

其次,建立擾動真擬C-凸集值優(yōu)化問題E-Henig有效解集的穩(wěn)定性結(jié)果。

(23)

(24)

(25)

由式(24)和式(25)可得,當(dāng)k充分大時(shí),有

(26)

Fnk(xk)?Fnk(vk)+intC

(27)

Fnk(uk)?Fnk(vk)+intC

(28)

(29)

由命題1中(1)可知,E+intC=intE,從而有y′-ε∈y-intE;又由y′-ε∈F(x)可知,有y′-ε∈F(x)∩(y-intE),因?yàn)镋HMinF(S)?EWMinF(S),所以y∈EWMinF(S),這與y′-ε∈F(x)∩(y-intE)相矛盾。因此x∈EHEff(S,F)。

4 結(jié) 論

有關(guān)集值優(yōu)化問題“解”的研究一直是最優(yōu)化理論與方法的研究熱點(diǎn)之一,關(guān)于集值優(yōu)化問題E-Henig有效解的性質(zhì)和穩(wěn)定性研究較少。本文利用Painlevé-Kuratowski收斂性,建立集值映射水平集的閉凸性、有界性及回收錐的相關(guān)性質(zhì),然后借助所獲得的集值映射水平集的閉凸性、有界性及回收錐的性質(zhì),在集值優(yōu)化問題目標(biāo)映射和約束條件均擾動的情況下,分別建立嚴(yán)格真擬C-凸集值優(yōu)化問題E-弱有效點(diǎn)集、E-Henig有效點(diǎn)集和E-Henig有效解的穩(wěn)定性結(jié)果。該結(jié)論大大完善了集值優(yōu)化問題Henig有效解理論,并為數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性分析提供了方法和技巧。