數(shù)形結(jié)合 讓思維可視化
——以《數(shù)與形》教學為例

文|胡冬南

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。數(shù)學來源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數(shù)學的研究對象及其關系。由于小學生心理的發(fā)展特點，小學數(shù)學課堂教學以直觀和具象為主，這樣更適合學生對數(shù)的感知和認識。因此，數(shù)學課堂教學需要讓學生能從具象中抽象出數(shù)和關系，使學生獲得良好的數(shù)學教育，得到知識、技能，進而逐步形成適應終身發(fā)展的核心素養(yǎng)?？梢姡谝还?jié)課中，促進學生的思維進階就尤為重要。下面筆者以《數(shù)與形》一課教學為例，談談怎樣通過“數(shù)形結(jié)合”的方法進行圖解數(shù)學，引領學生在讀圖、畫圖、說圖等過程中將思維可視化，進而促進學生的思維進階。

一、《數(shù)與形》一課中的思維路徑分析

在人教版數(shù)學廣角《數(shù)與形》一課中，教材從兩道例題出發(fā)，讓學生從例1 的一組圖形中完成填空發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過例2 畫圖解決算式中的問題。但在以往的實際教學中發(fā)現(xiàn)，學生很難在兩道例題的解決中理解和感悟“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想，不同學生在學習這節(jié)課后的思維水平差異很大，且例2 中“無限”的概念非常抽象。因此，分析清楚這節(jié)課學生的思維發(fā)展路徑對教學的開展尤為重要。

（一）教材中的教學路徑

（二）學生學習的思維路徑

教材是靜態(tài)地呈現(xiàn)學生需要學習的內(nèi)容，而學生在課堂上學習數(shù)學是動態(tài)的。所以，有經(jīng)驗的數(shù)學教師不僅要“吃透”教材，而且更重要的是“吃透”學情。在教學前，通過讓學生進行簡單的預習和試做課后習題，發(fā)現(xiàn)學生存在“觀察——找規(guī)律——應用”簡單地套用“方法”，而不是真正內(nèi)化方法、掌握方法并學會應用。因此，教師必須對學生學習的思維路徑進行調(diào)整和優(yōu)化，在進行教學設計中，我把本課的教學分為兩大塊內(nèi)容，即“以數(shù)助形”和“以形解數(shù)”。

在“用形想數(shù)”中通過學生自己舉例子，以自己的例子畫出對應的圖形，把自己的思維通過“畫圖”進行可視化，不同的例子對應不同的圖形，進而形成一組學生“思維可視化”的作品，引導學生發(fā)現(xiàn)和內(nèi)化其中的規(guī)律。預設如下：

在“用數(shù)想形”中通過學生選用“正方形”或“圓”，用不同的畫圖方法來表示算式：把自己對這個算式計算過程的思維進行“可視化”，然后通過對自己的“作品”進行上臺講解，深化學生對數(shù)形結(jié)合方法的認識，擴展方法多樣性，突出數(shù)形結(jié)合方法的妙用。預設如下：

這樣，學生學習的思維路徑就變?yōu)椋?/p>

例1：學生讀圖——算式對照——猜想規(guī)律——舉例寫算式并畫圖——得出規(guī)律

例2：學生觀察——試著計算——畫圖表示——說圖解題——直觀理解——感受極限

正是基于以上分析，我認為本節(jié)課的核心不是得出規(guī)律和結(jié)論，而是讓學生通過“數(shù)形結(jié)合”的方法，運用“讀圖”“畫圖”“說圖”把自己的思維可視化，通過不同的“圖形”解決方案來感知和體會數(shù)形結(jié)合的思想，而且在解決數(shù)學問題中真正提高學生運用數(shù)形結(jié)合的意識和能力。此外，通過本節(jié)課的教學，讓學生真正感受到學習數(shù)學最重要的不是“套用”方法，而是真正地把數(shù)學中的知識和方法進行內(nèi)化并應用，從而做到舉一反三。

二、利用數(shù)形結(jié)合，在課堂中使學生的思維可視化

數(shù)形結(jié)合使抽象的數(shù)據(jù)形象化，使直觀的圖形數(shù)學化，從而把握圖形背后的數(shù)學本質(zhì)。

片斷（一）：數(shù)形結(jié)合，“以數(shù)助形”

1.從圖形歸納出算式

師：出示3 個正方形，觀察它們有什么共同特點？

生：都是由若干個小正方形拼成的。

師：你能用一個算式表示小正方形的個數(shù)嗎？

生1：乘法算式：2×2（或22） 3×3（或32） 4×4（或42）

師：你還能用其他算式來表示嗎？

生2：加法算式：1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋7

師：（追問）“1”在哪里？“3”在哪里？請學生上來指一指。這兩種算式有什么關系嗎？

生：它們是相等的。

教師小結(jié)并形成板書：1＋3=221＋3＋5=321＋3＋5＋7=42

2.由算式聯(lián)想出圖形

學生感知規(guī)律，教師啟發(fā)：我們由這3 個正方形想到了3 組這樣的等式。如果讓你繼續(xù)加上小正方形，像這樣的等式你能寫嗎？試著寫一個并畫出來。

預設如下：1＋3＋5＋7＋9=521＋3＋5＋7＋9＋11=62

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13=72

師：現(xiàn)在我們一邊回憶一下這幾個圖形，一邊說一下它們所代表的算式。

3.歸納小結(jié)

師：這樣，我們就把算式和圖形對應起來啦！其實，這樣的算式還有很多。請大家一起來觀察它們，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

學生四人小組交流討論，組間補充，得出規(guī)律：“從1 開始，幾個連續(xù)奇數(shù)相加的和等于奇數(shù)個數(shù)的平方?！?/p>

師生小結(jié)：通過剛才“讀圖”和“畫圖”，我們發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“形”是真的有聯(lián)系的，用形想數(shù)、用數(shù)想形、用數(shù)形結(jié)合的方法在探索形的過程中找到了數(shù)的內(nèi)在特點，幫助我們很快地找到了規(guī)律。

教學片斷（二）：數(shù)形結(jié)合，“以形解數(shù)”

1.了解學情

生1：后面一個加數(shù)是前面一個的二分之一，也就是“一半”。

生2：加數(shù)越來越小了。

師：（追問）這個算式你在哪里看到過嗎？會算嗎？

學生交流討論發(fā)言說出自己遇到的困難。

2.自主畫圖，展示說圖

教師出示：一個正方形和還有一個圓，都表示“1”。

要求：任選一個圖形，畫一畫、算一算，記錄你的想法。

預設如下：

生2 敘述畫法：同一個圓的大小取決于圓心角的大小，于是每次取剩下圓心角的一半，第一次是180度，第二次是90 度，第三次是45 度……

3.歸納小結(jié)（略）

三、思維可視化幫助學生思維進階

（一）利用圖解數(shù)學，數(shù)形結(jié)合，深刻體會“數(shù)與形”之間的緊密聯(lián)系

在課前，通過簡單的課前談話調(diào)查，了解學生對于“數(shù)與形”的認識，發(fā)現(xiàn)學生比較有代表性的兩個觀點:一種是把數(shù)與形分隔開來看待，數(shù)就是數(shù)，形就是形，約占65%；另一種認為“數(shù)與形”是有一定聯(lián)系的，但具體聯(lián)系在哪，學生并不能很好地說明和舉例，約占35%。而在這節(jié)課后，我讓學生舉例說明數(shù)與形之間的具體聯(lián)系（課本中的例子除外），95%的學生能舉出各種各樣的例子，植樹問題中的線段圖、扇形統(tǒng)計圖的百分數(shù)、分數(shù)乘除法等。

這就說明本節(jié)課的教學讓學生深刻地經(jīng)歷了“數(shù)形結(jié)合”。通過讓學生深刻經(jīng)歷數(shù)學知識和方法形成的過程，利用圖解數(shù)學、數(shù)形結(jié)合的方法，使學生從圖形中歸納出算式，由算式來聯(lián)想出圖形，再自己舉例畫圖，從而體會到數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系，使學生感受圖解數(shù)學、數(shù)形結(jié)合的思維方式，把學生課堂上整個學習思維的過程進行了可視化，促進了學生解決此類問題思維的形成和發(fā)展。

（二）通過思維可視化，畫圖說圖，感悟數(shù)學思想方法，促使思維進階

“思維可視化”是為了促進認知結(jié)構的建構、優(yōu)化，進一步提升思維能力及思維品質(zhì)。在《數(shù)與形》的教學過程中，利用圖解數(shù)學、數(shù)形結(jié)合的方法，首先讓學生認識到了“數(shù)與形”之間密切的聯(lián)系，但并不足以建構和優(yōu)化學生的認知結(jié)構，也無法一下子提升學生的思維能力及思維品質(zhì)。所以，在建構和優(yōu)化學生的認知結(jié)構和提升學生的思維能力及思維品質(zhì)這兩個方面，都需要更好的“抓手”。通過讓學生從算式出發(fā)畫圖，就是在幫助學生把“數(shù)形結(jié)合”這個方法在自己的認識體系中建構起來，而不同的“畫圖方案”既是學生個體思維可視化的圖解表達，也拓展了群體解題方法的多樣性，從而完成本課知識的內(nèi)化和方法的建構。

通過個體學生對自己“畫圖作品”的闡述，說圖展示讓群體學生了解不同個體學生思維上的一致性。雖然他們的“畫圖作品”略有不同，但利用圖解數(shù)學、數(shù)形結(jié)合解決問題的思維路徑卻是類似的。而學生個體通過群體學習，在解決同一個問題時，能利用“數(shù)形結(jié)合”進行方法多樣的圖解來表達，本身就是思維品質(zhì)的提升，即思維的進階。

這節(jié)課在思維進階上，學生從學習《數(shù)與形》這一課對知識點的記憶，進而理解數(shù)形結(jié)合的方法，到應用數(shù)形結(jié)合的方法去解決問題的低階思維，發(fā)展到學生利用“數(shù)形結(jié)合”的方法去分析問題，用“圖解數(shù)學”讓思維可視化去評價，最后自己提出和創(chuàng)造數(shù)學問題進行思考的高階思維。