在線優(yōu)化參數(shù)的多變量非線性預(yù)測函數(shù)控制

侯小秋

(黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院, 哈爾濱 150022)

0 引 言

多變量非線性控制是一個廣泛的問題,周瑞敏等[1]給出了基于對角遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的PID控制算法。耿睿等[2]提出一種非線性未建模動態(tài)與線性模型相組合的集成模型,采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識未建模動態(tài)項,設(shè)計了多變量非線性廣義預(yù)測控制。黃帥等[3]研究非線性多變量系統(tǒng)的多模型自適應(yīng)控制,控制方法由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器與線性自適應(yīng)控制器切換組成。姜雪瑩等[4]給出基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多變量非線性內(nèi)部迭代預(yù)測控制算法。文獻(xiàn)[1-4]為非線性多變量控制的最新研究,但不是關(guān)于實用隨機多變量NARMAX模型的控制研究。侯曉秋等[5]分析隨機NARMAX模型中隨機干擾量在模型中描述的形式難以確定的問題,將隨機干擾量從函數(shù)中分離出來,等效在模型的輸出端,基于濾波器提出實用隨機NARMAX模型。侯小秋[6]研究其可克服算法病態(tài)的非線性遞推最小二乘法,提出其在線修正參數(shù)的預(yù)測濾波PID控制算法。侯小秋[7]提出實用隨機多變量NARMAX模型,給出可克服算法病態(tài)的多變量非線性遞推最小二乘法進行參數(shù)估計,未研究其控制問題。筆者研究其在線優(yōu)化輸入輸出加權(quán)系數(shù)的多變量非線性預(yù)測函數(shù)控制算法。

1 改進隨機多變量NARMAX模型

1.1 實用隨機多變量NARMAX模型

文獻(xiàn)[7]提出的實用隨機多變量NARMAX模型為

y(t+d)=F[Y(t+d-1),Y(t),

u(t),U(t-1),θ]+ω(t+d),

(1)

式中:y(t)——輸出向量;

u(t)——輸入向量;

d——時滯;

θ——待估參數(shù)集合;

ω(t)——隨機干擾向量;

F(…)——向量函數(shù)。

YT(t+d-1)=[y(t+d-1),

y(t+d-2),…,y(t+1)],

YT(t)=[y(t),

y(t-1),…,y(t-ny)],

UT(t-1)=[u(t-1),

u(t-2),…,u(t-nu)]。

干擾模型

(2)

且

C(q-1)=I+C1q-1+…+Cncq-nc,

式中:e(t)——白噪聲向量;

I——單位矩陣;

C1(q-1)——矩陣多項式;

A(q-1)——矩陣多項式;

q-1——單位后移算子。

1.2 參數(shù)估計

1.3 時變多變量CARMAX模型的逼近

將文獻(xiàn)[5]的四個假設(shè)條件和時變CARMAX模型逼近方法推廣到多變量情形。

動態(tài)工作點為

y0(t+d-2),…,y0(t+1)],

u0(t)=[u10(t),u20(t),…,un0(t)],

y0(t+d-1)=y0(t+d-2)=…=y0(t+1)=y0(t)。

y0(t)和u0(t)可表示為

y0(t)=(I-α)y0(t-1)+αy(t),

u0(t)=(I-β)u0(t-1)+βu(t-1),

式中:α=diag[α1,α2,…,αn],0≤αi≤1,i=1,2,…,n;β=diag[β1,β2,…,βn],0≤βi≤1。

對式(1)在動態(tài)工作點處一階泰勒展開,采用動態(tài)切平面逼近

y(t+d)=F[Y0(t+d-1),Y(t),u0(t),

i)-y0(t+d-i)]+φu(t)[u(t)-

u0(t)]+ω(t+d),

整理得:A(q-1)y(t)=q-dφu(t)u(t)+

D(t)+ω(t),

(3)

D(t)=F[Y0(t+d-1),Y(t),u0(t),U(t-1),θ]-

(4)

A(q-1)=I+A1q-1+…+A(d-1)q-(d-1),

且Ai=φyi(t)。

由式(4)可知,D(t)在t時刻已知,將式(2)代入式(3)得

C(q-1)e(t),

(5)

2 遞推預(yù)測模型

式(5)忽略噪聲項C(q-1)e(t),可得

(6)

由式(5)、(6)可得

(7)

由式(7)遞推可得:

(8)

(9)

(10)

(11)

將式(9)～(11)代入式(8)得

yf(t+d+j),

(12)

式中,yf(t+d+j)——自由響應(yīng)。

由式(12)令j=0,1,…,p,整理矩陣形式為

(13)

UT(t)=[uT(t),uT(t+1),…,uT(t+p)],

3 預(yù)測函數(shù)控制

3.1 基函數(shù)的選取

控制器算法為

i=0,1,…,p;l=1,2,…,n,

(14)

式中:μl,k(t)——加權(quán)系數(shù);

fl,k(i)——基函數(shù)在t+i時刻的值;

Nl——基函數(shù)的維數(shù);

n——系統(tǒng)維數(shù)。

3.2 參考軌跡

yr(t+i)=r(t+i)-γi[r(t)-yp(t)],

式中:yr(t+i)——參考軌跡向量;

r(t)——設(shè)定值向量;

yp(t)——實際輸出向量;

γ——衰減因子矩陣。

yr,n(t+i)],

rT(t)=[r1(t),r2(t),…,rn(t)],

γ=diag[γ1,γ2,…,γn]。

3.3 預(yù)測誤差校正

預(yù)測誤差向量為

i=0,1,…,p,

校正的預(yù)測輸出向量

j=d,d+1,…,d+p,

式中,ym(t+j)——校正的預(yù)測輸出向量。

矩陣形式為

(15)

3.4 預(yù)測函數(shù)控制算法

將式(14)整理成矩陣形式為

(16)

式中:μT(t)=[μ1,1,μ1,2,…,μ1,N1,

μ2,1,μ2,2,…,μ2,N2,…,

μn,1,μn,2,…,μn,Nn],

目標(biāo)函數(shù)為

(17)

式中:ρ(t)——輸出加權(quán)對角矩陣;

λ(t)——輸入加權(quán)對角矩陣;

ρ(t)=diag(ρ1,ρ2,…,ρn×(p+1)),

λ(t)=diag(λ1,λ2,…,λw)。

由式(15)(13)可得

(18)

式(18)的矩陣求逆使用文獻(xiàn)[7]的算法計算。

4 梯度表達(dá)式

輸入輸出加權(quán)對角矩陣ρ(t)和λ(t)影響系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性,文中對其在線優(yōu)化,控制算法可調(diào)參數(shù)向量為

ηT=[ρ1,ρ2,…,ρn×(p+1),λ1,λ2,…,λw],

則

式(18)對ρi求偏導(dǎo)

(19)

(20)

將式(18)對λi求偏導(dǎo)得:

(21)

(22)

將式(16)對ηi求偏導(dǎo)

(23)

式(13)對ηi求偏導(dǎo)

(24)

式(15)對ηi求偏導(dǎo)

(25)

5 在線優(yōu)化參數(shù)

文獻(xiàn)[6]改進目標(biāo)函數(shù)為

式中:μ——遺忘因子;

τj——加權(quán)因子;

λη(t)——權(quán)重對角矩陣;

εj(i,η)=ym,j(i+d+p)-yr,j(i+d+p)。

(26)

文獻(xiàn)[6]給出輸入輸出加權(quán)系數(shù)的在線優(yōu)化算法,算法無需提供二階導(dǎo)數(shù)矩陣,算法簡單,計算量小,應(yīng)用表明其收斂快,穩(wěn)健性高。

式(26)兩邊對η求偏導(dǎo)得

6 仿真研究

被控對象是關(guān)于輸出非線性,輸入線性的,其表達(dá)式為

設(shè)定r1(t)=(-1)＾r(nóng)ound(t/100),r2(t)=0.6(-1)＾r(nóng)ound(t/100),

基函數(shù)分別為階躍函數(shù)f1,1(i)=0.3×1(t),f2,1(i)=0.75×1(t)。 斜坡函數(shù)f1,2(i)=0.2(1+i),f2,2(i)=0.15(1+i)。

加權(quán)系數(shù)初始值μ1,1(0)=0.9,μ1,2(0)=0.7,μ2,1(0)=0.7,μ2,2(0)=0.6。衰減因子γ1=0.1,γ2=0.1。

算法優(yōu)化時非線性遞推最小二乘法采用P(-2)=10-6I,τ1=τ2=1,μ=0.98,預(yù)測時域長度p+1=2。

采用Matlab7語言編制m文件程序進行仿真研究,仿真結(jié)果如圖1和2所示。

圖1 響應(yīng)曲線Fig. 1 Response curve

圖2 加權(quán)系數(shù)的優(yōu)化曲線Fig. 2 Optimization curve of weighting coefficient

7 結(jié) 論

(1)采用動態(tài)切平面逼近實用隨機多變量NARMAX模型,等效為時變多變量CARMAX模型,提出遞推預(yù)測模型,將非線性控制問題轉(zhuǎn)化為已知時變參數(shù)的線性控制問題。

(2)提出在線優(yōu)化輸入輸出加權(quán)系數(shù)的實用隨機多變量NARMAX模型的預(yù)測函數(shù)控制,在線優(yōu)化調(diào)整系數(shù),優(yōu)于試湊法確定系數(shù)的算法。

(4)因多變量雙線性系統(tǒng)和多變量Hammerstein模型及多變量Wiener模型等非線性性模型為隨機多變量NARMAX模型的特例,故均可采用文中的控制算法,避免了控制輸入向量尋優(yōu)的多變量非線性最優(yōu)化問題。