基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-Monte Carlo法的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析

姜封國, 周玉明, 于 正, 梁 爽, 韓雪松

(黑龍江科技大學(xué) 建筑工程學(xué)院, 哈爾濱 150022)

0 引 言

我國對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性研究開展較晚,但是,隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人們對(duì)美好生活的向往日益增長,建筑結(jié)構(gòu)的安全可靠成為人們關(guān)注的焦點(diǎn),因此工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)必須基于結(jié)構(gòu)安全性與可靠性[1]。目前,常用的傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效模式可靠度分析方法有一次二階矩法、響應(yīng)面法以及Monte Carlo法。

通過對(duì)三種傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析方法對(duì)比分析,總結(jié)出各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍如下。

傳統(tǒng)一次二階矩法[2]求解結(jié)構(gòu)可靠性的優(yōu)點(diǎn)主要是:計(jì)算簡單方便、需要的參數(shù)少,一般就只需已知結(jié)構(gòu)荷載和容許應(yīng)力均值及變異系數(shù),就可求解結(jié)構(gòu)的可靠性指標(biāo)。但是該方法存在的很多缺點(diǎn):局限性大、適用范圍小且計(jì)算結(jié)果誤差較大,它限制結(jié)構(gòu)的安全余量表達(dá)式必須線性很強(qiáng),并且對(duì)隨機(jī)變量的選取必須要服從正態(tài)分布,這就導(dǎo)致該方法應(yīng)用的局限性大,并且與實(shí)際結(jié)構(gòu)變量情況有偏差導(dǎo)致最終的計(jì)算結(jié)果的精度不夠;響應(yīng)面法[3-4]求解結(jié)構(gòu)可靠度比一次二階矩法的限制條件少,響應(yīng)面法可以求解具有非線性功能函數(shù)的結(jié)構(gòu),應(yīng)用范圍更廣。但是通過其計(jì)算原理可知,它是利用帶參數(shù)的顯示函數(shù)去模擬結(jié)構(gòu)的隱式功能函數(shù),再通過大量方程組解出未知參數(shù),因此避免不了和結(jié)構(gòu)的真實(shí)功能函數(shù)存在誤差且計(jì)算量較大?？傊?響應(yīng)面法雖然在應(yīng)用范圍上比傳統(tǒng)一次二階矩法大,但是對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)功能函數(shù)模擬的精度依然不夠,且計(jì)算的工作量也變大;Monte Carlo法是目前結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法中較精確的方法,許多可靠性計(jì)算方法的研究都以Monte Carlo法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,而且Monte Carlo法的理論基礎(chǔ)是概率中的大數(shù)定理,因此其應(yīng)用范圍幾乎沒有限制,它可以計(jì)算安全余量表達(dá)式非線性很強(qiáng)的結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo),并且其隨機(jī)變量可以是各種不同分布[5-6]。該方法存在唯一的缺點(diǎn)就是計(jì)算工作量大,需要通過實(shí)驗(yàn)或模擬得到大量的樣本,因此,限制了Monte Carlo法的實(shí)際應(yīng)用。

通過對(duì)多種結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算方法的對(duì)比剖析,得到目前精度高且應(yīng)用范圍廣的可靠度計(jì)算方法是Monte Carlo法,但需要一種降低其計(jì)算工作量的手段來解除它的實(shí)際應(yīng)用限制。因此,筆者提出一種利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)的方法來降低Monte Carlo法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)的工作量,為實(shí)際工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析提供一種更加高效精確的方法。

1 Monte Carlo法計(jì)算原理

Monte Carlo法可用于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)安全余量表達(dá)式非線性較強(qiáng)的情況,并且可以綜合多個(gè)失效模式計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性[7]。

Monte Carlo法的理論基礎(chǔ)是概率學(xué)中的大數(shù)定理,因此Monte Carlo法也被稱為概率模擬法或統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法,該方法的計(jì)算精度與隨機(jī)變量的抽樣方法有關(guān),抽樣方法分為一般抽樣方法和重要抽樣方法[8],文中主要運(yùn)用基本的一般抽樣方法。

設(shè)X1,X2,…,Xn是由抽樣方法得到的n個(gè)隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)分別為fX1(x1),fX2(x2),…,fXn(xn),結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)表示為

G=gX(X1,X2,…Xn)。

(1)

計(jì)算結(jié)構(gòu)的失效概率為

E{I[gX(X1,X2,…,Xn)]},

(2)

式中,E{I[gX(X1,X2,…,Xn)]}——示性函數(shù)的期望值。

(3)

式中,Nf——N次模擬中結(jié)構(gòu)失效的次數(shù)。

Pf的求解精度與模擬次數(shù)N息息相關(guān),模擬次數(shù)越大得到的失效概率越精確,但是模擬的工作量會(huì)增加,因此,實(shí)際問題需要給出結(jié)構(gòu)失效概率的模擬精度,從而確定模擬次數(shù)N。結(jié)構(gòu)失效概率的模擬精度用變異系數(shù)δPf表示,估算需要的模擬次數(shù)N可表示為

(4)

其中Pf雖是待求量,但實(shí)際工程一般會(huì)給出其大小量級(jí),一般為Pf=10-3～10-5。這樣要達(dá)到δPf=0.1的精度所需要模擬次數(shù)為N=105～107。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型

2.1 基本原理

目前,實(shí)際應(yīng)用中大部分的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)都是基于誤差反向傳播算法(Error back propagation training,BP),BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為最常用的算法模型,具有較強(qiáng)的自適應(yīng)能力和容錯(cuò)能力、明確的學(xué)習(xí)機(jī)制和完備的理論基礎(chǔ)[9]。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種利用BP算法進(jìn)行訓(xùn)練的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),它的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)主要包括輸入層、隱含層和輸出層;它的學(xué)習(xí)過程主要包括向前傳播信息、向后反饋誤差、記憶訓(xùn)練和學(xué)習(xí)收斂四個(gè)過程[10]。第一過程:變量信號(hào)從輸入層進(jìn)入,經(jīng)過隱含層處理后傳遞給輸出層。如果輸出層未得到期望輸出則進(jìn)行第二過程:計(jì)算不滿足精度要求的實(shí)際輸出值與期望輸出值間的誤差,再將誤差向后反饋并分配給各層單元,各層單元通過誤差信號(hào)調(diào)整層間的連接權(quán)值。第三過程:網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行多次正向傳播與反向反饋的相互調(diào)節(jié)與記憶訓(xùn)練。第四過程:通過網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練不斷調(diào)整權(quán)值與閾值,使實(shí)際輸出不斷逼近期望輸出,最終達(dá)到學(xué)習(xí)訓(xùn)練的精度,即網(wǎng)絡(luò)收斂。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有以下主要功能[11]:(1)強(qiáng)大的非線性映射功能,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以通過訓(xùn)練樣本學(xué)習(xí)完成由維輸入得到維輸出的非線性映射;(2)很好的容錯(cuò)性,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)允許輸入樣本有較大誤差,甚至有個(gè)別錯(cuò)誤;(3)較強(qiáng)的泛化能力,訓(xùn)練好的BP網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)陌生的數(shù)據(jù)也能輸出正確的結(jié)果。

基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)良特性和強(qiáng)大功能,文中采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析。

2.2 模型的建立與樣本的產(chǎn)生

2.2.1 網(wǎng)絡(luò)模型的建立

建立三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,其結(jié)構(gòu)組成及信息傳遞過程如圖1所示。

圖1 典型三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig. 1 Typical three-layer BP neural network model

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是對(duì)生物神經(jīng)元的簡化模擬,因此,圖1中每層結(jié)構(gòu)都包含多個(gè)神經(jīng)元,圖示的整個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)由以下5個(gè)部分組成[12]。

(1)輸入層:輸入變量x1,x2,…,xn為輸入層的n個(gè)神經(jīng)元,用輸入向量X表示為

X=[x1,x2,…,xn]T。

(5)

(2)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值與閾值:ωij表示輸入層變量i與隱含層變量j之間的連接權(quán)值,ωjk表示隱含層變量j與輸出層變量k之間的連接權(quán)值,連接權(quán)值的作用就是連接網(wǎng)絡(luò)各層間的神經(jīng)元,保證變量信息傳遞;θj表示隱含層變量j的閾值,θk表示輸出層變量k的閾值;網(wǎng)絡(luò)模型就是通過反復(fù)調(diào)節(jié)權(quán)值與閾值來使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到最佳性能。

(3)轉(zhuǎn)換函數(shù):輸入層與隱含層以及隱含層與輸出層之間的傳遞關(guān)系用轉(zhuǎn)換函數(shù)表示,轉(zhuǎn)換函數(shù)一般采取雙彎曲函數(shù),函數(shù)表達(dá)式為

(6)

式中,-∞

(4)隱含層:由式(6)得隱含層變量輸出值為

(7)

(5)輸出層:由式(7)得輸出層變量輸出值為

(8)

式中,l——隱含層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)。

對(duì)于三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的建立,還需要確定輸入層、輸出層及隱含層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)。

輸入、輸出層神經(jīng)元個(gè)數(shù)由輸入變量和輸出變量的個(gè)數(shù)確定,通常情況下,輸入變量與輸出變量是一一對(duì)應(yīng)的,因此,確定輸入變量的個(gè)數(shù)便可確定輸入、輸出層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)。由于本章是利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分析結(jié)構(gòu)可靠性,因此,輸入變量數(shù)目由結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量數(shù)目確定。

對(duì)于隱含層的神經(jīng)元個(gè)數(shù),本節(jié)采用試湊法確定,確定試湊法的初始值為

(9)

式中:n、m——輸入、輸出層神經(jīng)元個(gè)數(shù);

α——10以內(nèi)的正整數(shù)。

隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)影響著整個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的分析精度與效率,因此,對(duì)每個(gè)試湊值確定的模型進(jìn)行誤差分析,通過誤差對(duì)比最終確定網(wǎng)絡(luò)模型中隱含層神經(jīng)元數(shù)目。

2.2.2 樣本的產(chǎn)生

網(wǎng)絡(luò)模型建立完成后,供給模型訓(xùn)練的樣本是決定網(wǎng)絡(luò)模型精度的關(guān)鍵,樣本的產(chǎn)生步驟如下。

步驟1樣本數(shù)的確定。樣本數(shù)與網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)各層的神經(jīng)元數(shù)的關(guān)系為

(10)

步驟2在開區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生p個(gè)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

步驟3根據(jù)輸入變量X的范圍與特征,將步驟2中的隨機(jī)數(shù)乘以相應(yīng)的系數(shù),得到p組輸入變量X的隨機(jī)數(shù)。

步驟4根據(jù)輸入變量X的隨機(jī)數(shù),采用實(shí)驗(yàn)或有限元模擬等方法求出對(duì)應(yīng)的輸出變量Y。

通過以上步驟產(chǎn)生的樣本供給建立的網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練,最終得到訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型。

3 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析

3.1 分析方法

本節(jié)將利用上節(jié)建立的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在隨機(jī)設(shè)計(jì)變量情況下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測(cè),將預(yù)測(cè)得出的響應(yīng)值收集并記錄,并輸出為MATLAB數(shù)據(jù)文件,再根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的限制條件,運(yùn)用Monte Carlo法分析結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性。該方案總結(jié)為以下步驟。

(1)產(chǎn)生基于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本。根據(jù)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)算例中設(shè)計(jì)參數(shù)及變量范圍,運(yùn)用前節(jié)產(chǎn)生樣本的方法,得到網(wǎng)絡(luò)模型的輸入變量和對(duì)應(yīng)的輸出變量,將輸入與輸出變量收集并整理,并轉(zhuǎn)換為樣本數(shù)據(jù)文件,即得到實(shí)際結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本。

(2)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的建立及模型參數(shù)確定。采用典型三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),首先,利用MATLAB軟件的工具箱建立三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,再由(1)中的樣本得到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)輸入、輸出層神經(jīng)元的個(gè)數(shù),并通過試湊法確定隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù),根據(jù)不同隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)的模型計(jì)算誤差選擇最優(yōu)模型,最后,用確定好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)不同變量的響應(yīng)值。

(3)利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果,采用Monte Carlo法進(jìn)行結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)某種極限狀態(tài)下產(chǎn)生大量隨機(jī)變量,將隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量,并通過網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)出對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)值,根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)對(duì)響應(yīng)值的限值來判斷系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是否失效,并統(tǒng)計(jì)失效的次數(shù),再利用Monte Carlo法進(jìn)行概率分析,得到該狀態(tài)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)。

對(duì)該方案的步驟進(jìn)一步劃分,將樣本的產(chǎn)生、網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練和網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)進(jìn)行細(xì)化,得到基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析流程圖,如圖2所示。

圖2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析流程Fig. 2 Flow chart of structural system reliability analysis based on neural network prediction model

3.2 分析算例

表1 單元截面與隨機(jī)變量特征Table 1 Element section and random variable characteristics

圖3 十五層平面框架計(jì)算簡圖Fig. 3 Calculation diagram of 15th floor plane frame

該結(jié)構(gòu)按正常使用極限狀態(tài)設(shè)計(jì),根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)范要求給出結(jié)構(gòu)的最大允許水平位移[u]=H/550=85 mm(H為結(jié)構(gòu)總高度)。請(qǐng)求在該狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的頂層水平位移u>85 mm的概率,即結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率Pf。

按圖2的流程對(duì)該算例進(jìn)行分析解答。

(1)利用ABAQUS軟件進(jìn)行有限元分析計(jì)算,得到100個(gè)供神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練的樣本數(shù)據(jù)。結(jié)構(gòu)有限元分析的部分計(jì)算結(jié)構(gòu)如圖4所示,部分樣本數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 氣態(tài)水遷移試驗(yàn)方案Table 2 Vaporous water migration test protocol

圖4 十五層平面框架位移計(jì)算云圖Fig. 4 Cloud diagram of displacement calculation of 15th floor plane frame

(2)利用MATLAB軟件建立三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練,用式(9)計(jì)算得到網(wǎng)絡(luò)隱含層神經(jīng)元數(shù)的初始值,試湊法確定隱含層神經(jīng)元數(shù)目n,通過模型誤差對(duì)比分析得到該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型。部分模型誤差分析如圖5所示。

圖5a～c分別表示網(wǎng)絡(luò)模型在訓(xùn)練、驗(yàn)證和測(cè)驗(yàn)過程中的誤差分布情況,通過對(duì)不同隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)下的模型誤差對(duì)比觀察可得,當(dāng)隱含層神經(jīng)元數(shù)目為10時(shí),網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練、驗(yàn)證和測(cè)試誤差更趨向于零誤差線,其中,90%以上的樣本數(shù)據(jù)誤差在0.3以內(nèi),滿足模型精度要求,將其作為試湊法得到的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)模型。

該網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)訓(xùn)練、驗(yàn)證和測(cè)試的擬合相關(guān)系數(shù)R分別為0.999 3、0.998 6和0.994 8,均非常接近于1,說明該預(yù)測(cè)模型精度較高且滿足要求。

(3)根據(jù)Monte Carlo法的原理及精度要求,利用訓(xùn)練好的最優(yōu)預(yù)測(cè)模型產(chǎn)生10 000組新樣本進(jìn)行結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析。最后,通過MATLAB軟件計(jì)算出10 000次結(jié)構(gòu)頂層位移預(yù)測(cè)值大于85 mm的次數(shù)S、失效概率Pf及可靠性指標(biāo)β。

運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型改進(jìn)Monte Carlo法對(duì)十五層框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析,計(jì)算出該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率Pf=0.74%,結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)β=2.437 2;由文獻(xiàn)[13]可得該算例用Monte Carlo法直接對(duì)結(jié)構(gòu)模擬10 000次的結(jié)果為:Pf=0.77%,β=2.425 1;文中采用的方法與Monte Carlo法直接模擬得到的失效概率只相差0.03%,結(jié)果十分接近且滿足精度要求,但該方法只進(jìn)行了100次結(jié)構(gòu)模擬計(jì)算,工作量減少為直接模擬的1%,體現(xiàn)出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型Monte Carlo法計(jì)算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性的優(yōu)越性。

4 結(jié) 論

(1)基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型改進(jìn)Monte Carlo法對(duì)十五層框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析,計(jì)算出該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率Pf為0.74%,結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)β為2.437 2。

(2)文中方法與Monte Carlo法直接計(jì)算的結(jié)果失效概率降低了0.03%,但該方法的計(jì)算工作量減少為直接模擬的1%,該方法的計(jì)算結(jié)果滿足精度要求,且計(jì)算效率大幅提升。