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    “幾何直觀”
    ——小學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的法寶

    2017-01-10 01:50:42童紅波
    新課程研究 2016年27期
    關(guān)鍵詞:幾何直觀點(diǎn)子倍數(shù)

    □ 童紅波

    “幾何直觀”
    ——小學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的法寶

    □ 童紅波

    “幾何直觀”是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律與解題思路的一個(gè)極其重要的策略。文章通過找尋教材里數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中應(yīng)用幾何直觀的例子,把抽象的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為形象的數(shù)學(xué)的基本思路有:轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)”的直觀、轉(zhuǎn)化為“線”的直觀、轉(zhuǎn)化為“面”的直觀。從圖形的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系,以達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱為顯的目的。

    幾何直觀;點(diǎn);線;面

    一、點(diǎn)的直觀

    點(diǎn)是圖形的最基本元素,用點(diǎn)作基本單位得到的圖也稱為點(diǎn)子圖。在數(shù)學(xué)中,點(diǎn)子是應(yīng)用一一對(duì)應(yīng)的思想對(duì)實(shí)物進(jìn)行計(jì)數(shù)的一種方法,點(diǎn)子實(shí)際是對(duì)實(shí)物的一種抽象。點(diǎn)的直觀,就是把數(shù)學(xué)思維的抽象性轉(zhuǎn)化成點(diǎn)子圖的形象性,幫助學(xué)生更好地理解。

    1.應(yīng)用點(diǎn)的直觀,利于數(shù)的認(rèn)識(shí)

    例如,人教版一年級(jí)上冊(cè)《6和7的認(rèn)識(shí)》中的點(diǎn)子圖,就是用一個(gè)點(diǎn)子表示一個(gè)單位(這里指一個(gè)人),進(jìn)而抽象出數(shù)6與7,見圖1。

    圖1

    四年級(jí)下冊(cè)“數(shù)的產(chǎn)生”中介紹這樣的例子,在古代小石子、繩結(jié)、刻痕等都是一種點(diǎn)子的實(shí)物原型,見圖2。

    圖2

    2.應(yīng)用點(diǎn)的直觀,計(jì)算化繁為簡(jiǎn)

    例如,計(jì)算“1+2+3+4+…+99+100+99+98+…+3+2+ 1=?”時(shí),很多學(xué)生看到題目無從入手,一個(gè)一個(gè)加太麻煩了,一時(shí)又找不出好的方法。這時(shí),可以引導(dǎo)學(xué)生利用表象,用聯(lián)系的觀點(diǎn)把每個(gè)加數(shù)想象成一個(gè)個(gè)點(diǎn),通過點(diǎn)陣的分布來找規(guī)律,最后求解。教師首先出示圖3,請(qǐng)學(xué)生從上往下一層一層數(shù),學(xué)生馬上列出算式:1+2+3+4+5+6+7+8+ 9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

    教師把圖3旋轉(zhuǎn)45°得到圖4,學(xué)生馬上想到總數(shù)為10× 10=100。通過找規(guī)律,發(fā)現(xiàn)上題的計(jì)算方法是100×100= 10000。

    圖3

    圖4

    3.應(yīng)用點(diǎn)的直觀,模糊變?yōu)榍逦?/p>

    點(diǎn)子可以表示數(shù)值,如果加上點(diǎn)子色彩或形狀變化,可以表示更加豐富的數(shù)量關(guān)系。例如,有一種溶液,加1杯水后,含鹽量變?yōu)?5%,再加1杯鹽后,含鹽量變?yōu)?0%,求原來這種溶液的含鹽量。

    分析:這道題條件中沒有原來溶液的容量,含鹽量一會(huì)兒是25%,一會(huì)兒又是40%,數(shù)量關(guān)系看似十分繁雜,難以理解。用下面形象的點(diǎn)子表示其數(shù)量關(guān)系來引導(dǎo)學(xué)生思考就方便多了。

    由上圖很容易得出:1份鹽、1份水剛好也是1杯鹽、1杯水,如不加1杯水和1杯鹽,原含鹽量由圖示應(yīng)為○○●●●-○-●=○●●即原溶液的含鹽量為也即33.3%。

    應(yīng)用點(diǎn)的直觀特點(diǎn),可以把一些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化,把難以理解的數(shù)量關(guān)系變得一目了然,并激發(fā)學(xué)生解題的興趣,提高解題能力。

    二、線的直觀

    線的直觀,也叫作畫線段圖,用線段表示某一種數(shù)量,線段的長(zhǎng)度表示數(shù)量的大小,線段長(zhǎng)度間的關(guān)系表示數(shù)量關(guān)系,從而直觀地顯示題意,以便尋求已知條件和問題之間的聯(lián)系。

    1.應(yīng)用線的直觀,促進(jìn)算理理解

    學(xué)生根據(jù)已學(xué)過的數(shù)量關(guān)系“路程÷時(shí)間=速度”,正確列出算式:由此自然引出學(xué)習(xí)內(nèi)容。

    師(畫出一條線段):如果把這條線段看作1小時(shí)行的千米數(shù),那么怎樣表示小時(shí)行的千米數(shù)?

    教師根據(jù)學(xué)生的回答畫出線段圖,見圖5。

    圖5

    師:觀察線段圖,想一想怎樣求摩托車1小時(shí)行的千米數(shù)呢?

    (學(xué)生根據(jù)線段圖進(jìn)行思考,很快發(fā)現(xiàn)這道題的解題思路。)

    根據(jù)問題畫出線段圖,學(xué)生在線段圖的幫助下很快發(fā)現(xiàn)了這道題的解決思路:先求出摩托車小時(shí)行多少千米,再求1小時(shí)行多少千米,列出算式18÷3×10。然后,教師對(duì)這一算式進(jìn)行適當(dāng)?shù)男问交幚恚怪蔀榧葘?duì)學(xué)生具有啟發(fā)作用又能體現(xiàn)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)一般算法的典型模型,學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)了理解基礎(chǔ)上的算法建構(gòu)。這一教學(xué)事實(shí)表明:線段圖是溝通實(shí)際問題與數(shù)學(xué)算式之間的重要“橋梁”,利用線段圖的直觀效果,有效降低了學(xué)生探究算理、理解算理的難度。

    2.應(yīng)用線的直觀,復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單

    新教材提出“淡化數(shù)量關(guān)系、聯(lián)系生活實(shí)際”的要求,很多教師卻曲解了本身的內(nèi)涵,因而很少講題目中的數(shù)量關(guān)系,片面追求解決問題過程中的生活化,生怕被扣上教育理念陳舊的帽子。這樣導(dǎo)致的結(jié)果就是,學(xué)生遇到稍有變化的題目就無從下手,更不用說舉一反三了。其實(shí),應(yīng)用傳統(tǒng)的線段圖能很好地幫助師生理清數(shù)量之間的關(guān)系,清晰呈現(xiàn)解題思路,變復(fù)雜為簡(jiǎn)單。

    方法一:

    師:你覺得怎樣可以使題目中的條件更直觀?

    生:畫出線段圖。

    學(xué)生嘗試畫圖,教師整理后得到圖6。

    圖6

    方法二:

    生:既然兩個(gè)分?jǐn)?shù)的單位“1”不一樣,可以將全長(zhǎng)統(tǒng)一為單位“1”,因?yàn)橛嘞碌氖侨L(zhǎng)的所以用去余下的就是用去全長(zhǎng)的現(xiàn)在我們知道全長(zhǎng)的是3.6米,見圖7。

    圖7

    線段圖是解決問題的思維“工具”。畫線段圖的過程是以問題的文字表述為“藍(lán)本”,以已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的構(gòu)造性活動(dòng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,運(yùn)用線段圖的目的不僅是幫助學(xué)生解決某些具體問題,提高分析問題、解決問題的能力,更重要的是使學(xué)生學(xué)會(huì)用“數(shù)學(xué)思考”。

    三、面的直觀

    點(diǎn)是0維空間,一個(gè)點(diǎn)可以表示一個(gè)單位數(shù)量;線表示一維空間,可以反映數(shù)量的多少;面是二維空間,它既可以表示大小,又可以表示數(shù)量關(guān)系。面的直觀是指把抽象的數(shù)學(xué)概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的平面圖形,幫助學(xué)生建立概念,避免繁雜的計(jì)算,理清數(shù)量之間的關(guān)系。

    1.應(yīng)用面的直觀,建立數(shù)學(xué)概念

    許多數(shù)學(xué)概念比較抽象,教學(xué)中常采用化歸、分類、比較的數(shù)學(xué)思想方法,也可運(yùn)用圖形提供數(shù)學(xué)問題情景。通過對(duì)圖形中的情景進(jìn)行分析,抽象出數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延,幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念。教學(xué)“因數(shù)與倍數(shù)”時(shí),教師應(yīng)用面的直觀創(chuàng)設(shè)如下情景:

    (1)擺長(zhǎng)方形。

    師:這里有12個(gè)正方形,你能擺成不同的長(zhǎng)方形嗎?

    生:每排4個(gè),擺3排;每排6個(gè),擺2排;每排12個(gè),擺1排。

    圖8

    圖9

    圖10

    師:請(qǐng)看圖8,每排4個(gè),擺3排,一共12個(gè)正方形。像這樣,可以說4是12的因數(shù),3也是12的因數(shù)。反過來,12是4的倍數(shù),也是3的倍數(shù)。那么,根據(jù)圖9、圖10能說一說誰是誰的因數(shù),誰是誰的倍數(shù)嗎?

    學(xué)生反饋……

    師:那么,圖8能用算式表示嗎?

    4×3=12 12÷3=4 12÷4=3

    師:現(xiàn)在能結(jié)合算式,說說誰是誰的因數(shù)?誰是誰的倍數(shù)嗎?

    學(xué)生反饋……

    師:圖9、圖10能列出算式嗎?誰是誰的因數(shù)?誰是誰的倍數(shù)?

    (2)辨析。

    師:仍有12個(gè)正方形,每排5個(gè),這是5的倍數(shù)嗎?擺擺看,為什么?(見圖11)

    圖11

    生:12個(gè)正方形,每排5個(gè),會(huì)多出2個(gè),所以12不是5的倍數(shù)。如果用算式表示12÷5=2.4,出現(xiàn)小數(shù)。即使不是小數(shù),也會(huì)出現(xiàn)余數(shù)。

    師:為了研究方便,以后探討因數(shù)和倍數(shù)都是自然數(shù),0除外。

    根據(jù)面的直觀,從數(shù)中想到形,通過不同擺法搭建不同的數(shù)學(xué)模型,從本質(zhì)上理解因數(shù)與倍數(shù)的概念。

    2.應(yīng)用面的直觀,避免繁雜計(jì)算

    圖12

    3.應(yīng)用面的直觀,理清數(shù)量關(guān)系

    在面的直觀中,可以用平面內(nèi)所包含的元素?cái)?shù)量及其面與面的關(guān)系來理清數(shù)量間的關(guān)系。

    例如,有30個(gè)桃子,3只猴子吃了2天,平均每只猴子每天吃幾個(gè)?

    學(xué)生嘗試解決時(shí),列出了好幾個(gè)算式,但好多學(xué)生不明白其中的含義。為此,要求學(xué)生在長(zhǎng)方形中表示各種算式的意義。學(xué)生經(jīng)過思考交流,給出各種答案。

    (1)先平均分成2份,再將獲得的每一份平均分成3份,列算式30÷2÷3,見圖13。

    圖13

    (2)先平均分成3份,再將獲得的每一份平均分成2份,列算式30÷3÷2,見圖14。

    圖14

    (3)先平均分成6份,再將獲得的每一份平均分成2份,列算式30÷(3×2),見圖15。

    圖15

    用長(zhǎng)方形表示數(shù)量之間的關(guān)系,是在畫線段圖基礎(chǔ)上的演變和創(chuàng)造。長(zhǎng)方形是二維的,通過在二維圖中的表達(dá),讓學(xué)生很容易理清猴子數(shù)量、天數(shù)與桃子數(shù)量之間的關(guān)系。

    又如,望湖社區(qū)居委會(huì)舉行“社區(qū)趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)”,共有42人參加,其中28人參加飛鏢項(xiàng)目,14人參加沙包項(xiàng)目,有10人同時(shí)參加這兩個(gè)項(xiàng)目。這兩個(gè)項(xiàng)目都沒有參加的有多少人?

    分析:用矩形平面部分表示全體運(yùn)動(dòng)員的集合,兩個(gè)圓面表示參加飛鏢項(xiàng)目和沙包項(xiàng)目運(yùn)動(dòng)員的集合,見圖16。

    圖16

    兩個(gè)圓面的重疊部分表示同時(shí)參加這兩個(gè)項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員的集合,根據(jù)已知條件,這個(gè)集合有10人。由此可知:參加飛鏢項(xiàng)目而沒有參加沙包項(xiàng)目的有28-10=18(人);參加沙包項(xiàng)目而沒有參加飛鏢項(xiàng)目的有14-10=4(人)。因此,兩個(gè)項(xiàng)目都沒有參加的有42-(18+10+4)=10(人)。當(dāng)然,還可以這樣理解,28+14-10=32(人),42-32=10(人)。要求學(xué)生畫出圖形,并說說每個(gè)算式所表示的意思。

    通過直觀演示,讓抽象的數(shù)量關(guān)系、思考路徑形象外顯,非常直觀,易于學(xué)生理解。在此基礎(chǔ)上,如果教師要教學(xué)三三重疊,學(xué)生理解也就并不困難了。

    [1]教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2009.

    [2]王菘舟.王菘舟教學(xué)思想與經(jīng)典課堂[M].太原:山西教育出版社,2005.

    [3]徐旭,邵漢民.中小學(xué)數(shù)學(xué)銜接讀本[M].杭州:浙江科學(xué)技術(shù)出版社,2009.

    [4]陳旭遠(yuǎn).新課程 新理念[M].長(zhǎng)春:東北師范大學(xué)出版社,2002.

    [5]姜榮富.圖形直觀對(duì)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題影響的研究[J].小學(xué)青年教師(教學(xué)版),2006,(11).

    (編輯:易繼斌)

    G623.56

    A

    1671-0568(2016)27-0083-04

    童紅波,浙江省淳安縣威坪鎮(zhèn)小教師。

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