數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

曹雪凝 馬萬

摘要：數(shù)形結(jié)合把相對獨立的“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來，這種思想貫穿于整個數(shù)學(xué)體系.本文通過研究例題，闡述數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題的有效應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；解題

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2023）15-0029-03

課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果形成的過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法[1].數(shù)形結(jié)合就是其中的一個數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合即“數(shù)”與“形”是密不可分的，應(yīng)把二者聯(lián)系起來解決數(shù)學(xué)問題.解決數(shù)學(xué)問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重中之重，而數(shù)形結(jié)合在一定程度上可以快速、簡便地解決數(shù)學(xué)問題.下面通過例題具體分析在解題過程中是否需要使用數(shù)形結(jié)合方法，以及數(shù)形結(jié)合方法在解題中的重要性.

1 數(shù)形結(jié)合在解答“集合”試題中的應(yīng)用

“集合”是人教版數(shù)學(xué)教材第一章的知識，它是學(xué)生升入高中之后首先需要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識.所以，集合是整個高中數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ).在學(xué)習(xí)“集合”的過程中，學(xué)生會接觸到抽象程度較高的概念和運算，這對剛升入高一的學(xué)生而言是一個巨大的挑戰(zhàn)，這就要求在學(xué)習(xí)新知和做題時要用直觀的方式去啟迪思維，將抽象的知識轉(zhuǎn)化為具體的知識.

下面從一道具體的例題來分析數(shù)形結(jié)合方法在解決“集合”問題中的重要性.

例1某學(xué)校高一的一個班級中有40名學(xué)生自愿報名繪畫、書法、圍棋三個選修課，報名情況如下：

①40名學(xué)生每人至少選擇一個選修課；

②在沒有選擇繪畫選修課的學(xué)生中，選擇書法選修課的人數(shù)是圍棋選修課的2倍；

③僅選擇繪畫選修課的人數(shù)比剩余的學(xué)生選擇繪畫選修課的多一人；

④僅選擇一個選修課的學(xué)生中有一半沒有選擇繪畫選修課；

問：（1）僅選擇書法選修課的有多少人？（2）有多少人選擇了繪畫選修課？

分析本題的條件交錯復(fù)雜，若用一般的方法難以快速、準(zhǔn)確理清思路，可以把選擇繪畫、書法、圍棋選修課的學(xué)生分別看成一個集合，并把集合和數(shù)據(jù)用維恩圖表示就可以快速找到數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)之間的關(guān)系.

解設(shè)集合A={選擇繪畫選修課的人}，集合B={選擇書法選修課的人}，集合C={選擇圍棋選修課的人}，其他部分如圖1所示

a+b+c+d+e+f+g=40b+f=2c+fa-1=d+e+ga=b+c

解得a=11，b=10，c=1，d+e+g=10，a+d+e+f=21

所以，僅選擇書法選修課的有10人，有21人選擇了繪畫選修課.

從例1的解答過程可以看出解決集合問題常常會用到維恩圖，即常用平面內(nèi)的一條封閉曲線的內(nèi)部表示一個集合，用這種圖形可以形象地表示出集合之間的關(guān)系[2].也就是說把題目中涉及到的數(shù)據(jù)都標(biāo)注在維恩圖上，就可以清晰地看到數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，簡化題目要求，理清解題思路.若題目給出的條件是幾個區(qū)間，但是區(qū)間是無法用維恩圖來表示的，隨即可以嘗試用數(shù)軸表示區(qū)間，也就是說借助數(shù)軸的大小關(guān)系來研究幾個集合間的關(guān)系.

2 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)與方程中的應(yīng)用

有別于集合的知識，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心知識.教材把函數(shù)章節(jié)安排在集合章節(jié)的后面，希望學(xué)習(xí)研究集合的方法可以為學(xué)習(xí)函數(shù)做鋪墊，并且教材在內(nèi)容設(shè)計上更加強(qiáng)調(diào)函數(shù)和圖象相結(jié)合的方法.初中對函數(shù)的定義是“變化說”，高中則為“對應(yīng)說”.如果不借助圖形，“變化”還相對好理解一點，而“對應(yīng)”則是難以解釋清楚，更不用說浩繁的函數(shù)變式題了.

下面從一道具體的例題來分析數(shù)形結(jié)合方法在解決函數(shù)與方程問題中的重要性.

例2求方程lgx-sinx=0的解的個數(shù).

分析從代數(shù)角度直接求解方程，尋求解的個數(shù)，難度較大，不妨考慮先把方程作適當(dāng)變形，再運用數(shù)形結(jié)合方法，即借助圖象降低思維難度，尋求解答過程.解因為lgx-sinx=0

所以變形可得lgx=sinx，即可看成兩個函數(shù)y=lgx與y=sinx相交

所以y=lgx與y=sinx的交點的個數(shù)就是原方程解的個數(shù)

因為-1≤sinx≤1x∈R，y=lgx在0，+∞上單調(diào)遞增，lg10=1，lgx<1x<10

由圖2所示，兩個函數(shù)y=lgx與y=sinx有三個交點，即原方程有三個解.

從例2的解答過程可以看出，當(dāng)題目條件只給出一個方程、題目的問題與求解方程有關(guān)時，可以把方程做適當(dāng)變形——借助等號把等號兩邊的函數(shù)看成兩條曲線，兩邊的函數(shù)在代數(shù)上相等與兩條曲線在圖象上相交等價，即借助圖象表示兩條曲線的相交關(guān)系，再接著考慮剩余的解題思路.不管題目中出現(xiàn)的是“=”“>”“<”三個符號中的哪一個，只要能把方程做適當(dāng)變形后看成兩條曲線，就都可以用數(shù)形結(jié)合的方法尋找兩條曲線的交點.其中，“數(shù)”是方程，“形”是函數(shù)曲線，數(shù)形結(jié)合解決此類函數(shù)與方程問題.

人教版教材著重強(qiáng)調(diào)一元二次方程和函數(shù)圖象相對應(yīng)的知識：如果題目中有方程可以把方程做恒等變形，變形后是兩個函數(shù)有相等關(guān)系或者不等關(guān)系，然后把兩個函數(shù)看成曲線的相交問題.也就是說把方程的根和函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)相對應(yīng)，即當(dāng)題目中出現(xiàn)“方程實根”，或“函數(shù)零點”，或“函數(shù)圖象和x軸交點”時，三者雖然表示形式不一致，但是求解方法是一致的，都可以借助圖象進(jìn)行解題.3 解題方法對比

經(jīng)過前面的分析，已經(jīng)總結(jié)出數(shù)形結(jié)合的方法在解決集合、方程、立體幾何、圓錐曲線問題上的重要性.但是上述例題都是只使用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行解題，并沒有與不使用數(shù)形結(jié)合的方法形成明確對比.

下面從一道具體的例題來對比分析數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)劣之處.

例3求證a2+b2+c2+d2≥a-c2+b-d2（其中a與c、b與d不同時相等）

方法一（數(shù)形結(jié)合法）

證明：設(shè)O0，0，Aa，b，Bc，d

所以O(shè)A=a2+b2，OB=c2+d2，AB=a-c2-b-d2

當(dāng)O，A，B三點不共線時，OA+OB>AB

當(dāng)O，A，B三點共線，且A與B不在O同側(cè)或與O重合時，有OA+OB=AB

當(dāng)O，A，B三點共線，且A與B在O同側(cè)時，OA+OB>AB

綜上所述，a2+b2+c2+d2≥a-c2+b-d2

方法二（代數(shù)法）

證明：

設(shè)m=a，b，n=c，d

所以m-n=a-c，b-d

因為向量模的性質(zhì)有m+n≥m-n，且m=a2+b2，

所以a2+b2+c2+d2≥a-c2+b-d2.

根據(jù)例3的解答過程可以看出，解題時可以使用數(shù)形結(jié)合的方法，也可以不使用數(shù)形結(jié)合的方法.若不使用數(shù)形結(jié)合方法會加大思維難度，并且一但找不到題目的切入點可能會使學(xué)生束手無策.而且在解答的過程中有極大可能會涉及其他方面的知識，這道題是借助向量解題，其他的題目或許要借助別的知識.若使用數(shù)形結(jié)合方法可以從示意圖上找到解答思路，大大降低了解題的難度.但是做出的示意圖只是滿足已知條件的一種特殊情況，為了把情況考慮全面就需要在解答過程中分類討論.

數(shù)形結(jié)合思想就是使用具體的圖形來解決抽象的代數(shù)問題[3]，并在解決集合、函數(shù)與方程、圓錐曲線、立體幾何等方面的問題上有著廣泛應(yīng)用，與此同時可以培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合方法解決問題的能力.高中課本上的大部分知識都是非常抽象的，如果不借助圖象進(jìn)行研究，則需要大量的時間梳理題目的已知條件.即使在耗時耗力的前提條件下理清頭緒，也有可能無法向他人解釋清楚，這說明雖然能做出題目，但是并沒有達(dá)到真正的理解. 如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，借助圖形簡化抽象的知識，就可以降低題目的抽象程度、易于理解.

教師向?qū)W生講題目時可以給出兩種解題方法，即一種為使用數(shù)形結(jié)合的解法，另一種為不使用數(shù)形結(jié)合的解法，給學(xué)生一種直觀的對比，讓學(xué)生自己比較兩種解法的優(yōu)缺點，自行選擇.這樣做可以使學(xué)生在獨立解題的時候能想到使用數(shù)形結(jié)合方法，即使找不到完整的解題思路，也可以使學(xué)生在思維上有所進(jìn)步.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書[M].北京：人民教育出版社，2004.

［3］ 張同君.中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2002：228.

［責(zé)任編輯：李璟］