分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

葉碧桃

摘要：在數(shù)學(xué)學(xué)科的教育教學(xué)過程中，分類討論思想受到了眾多數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注.分類討論能夠極大提高教學(xué)的質(zhì)量，同時(shí)對(duì)于分類討論又要充分把握統(tǒng)一分類方法的基本準(zhǔn)則，做到分類無重?zé)o漏，精簡而沒有任何冗余.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；分類討論；生活；體現(xiàn)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2023）15-0002-03

分類討論思想是指引導(dǎo)學(xué)生們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)綜合解題練習(xí)的過程中，了解到問題發(fā)展變化中所包含的各種因素.抓住各個(gè)問題來確定這些發(fā)展變化中的影響條件及可能條件的具體取值及范圍.在問題討論過程中對(duì)問題合理分類，對(duì)于學(xué)生在數(shù)學(xué)解題以及應(yīng)用方面具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

1 高中數(shù)學(xué)分類討論在解決數(shù)學(xué)問題過程中的體現(xiàn)形式在日常高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練和應(yīng)用實(shí)踐中，使用數(shù)學(xué)分類的思想方法進(jìn)行解題，一方面可以起到幫助學(xué)生找到化解數(shù)學(xué)難題的思路，另一方面還有助于培養(yǎng)并發(fā)展其數(shù)學(xué)思維.

如在數(shù)學(xué)函數(shù)類解題方式中，采用數(shù)學(xué)分類或討論等思想方式來進(jìn)行函數(shù)解題，確實(shí)是比較實(shí)用可行的.在實(shí)際使用數(shù)學(xué)分類及討論的思想方式來進(jìn)行函數(shù)分類解題教學(xué)時(shí)，要先明確不同的分類函數(shù)對(duì)自身參數(shù)的一般定義要求和一般限制的條件要求各有不同.因此對(duì)于函數(shù)問題，必須要在該函數(shù)本身概念的前提下，逐個(gè)進(jìn)行分類與討論，才能為正確的解題過程提供必要的保障[1].

如在分解討論“對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)”的問題時(shí)，就更需要先明確其對(duì)數(shù)函數(shù)本身的概念，以上面這樣做的另一道函數(shù)習(xí)題為反例“假設(shè)a>0且a≠1，比較｜loga（1-x）｜和｜loga（1+x）｜的大小”，在對(duì)這一函數(shù)問題逐條進(jìn)行分類討論時(shí)，要盡可能地明確“對(duì)數(shù)函數(shù)”概念和“指數(shù)函數(shù)”函數(shù)的基本概念是什么，兩者概念之間又存在一些怎樣的關(guān)系，就可以直接將一個(gè)指數(shù)函數(shù)直接轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)，這樣我們才能進(jìn)一步對(duì)函數(shù)x的變化范圍等作出更進(jìn)一步的討論，從而得出我們最終想要的正確答案.因此，在用高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)的分類概念和討論方法解題分析時(shí)，根據(jù)所學(xué)函數(shù)概念內(nèi)容進(jìn)行綜合分類與討論，才是每個(gè)學(xué)生在今后的解題思路中首先要注意的.

2 分類討論高中數(shù)學(xué)中五大知識(shí)板塊的應(yīng)用

數(shù)學(xué)教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論前，首先需要明確分類討論需要完成的目標(biāo)，并以此為基礎(chǔ)，進(jìn)行后續(xù)的分類討論教學(xué)活動(dòng).在數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生分類討論完成的過程中，需要按照考綱的指示與要求，并以學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況為切入點(diǎn)，進(jìn)而對(duì)學(xué)生在新課程學(xué)習(xí)過程當(dāng)中所遇到的問題進(jìn)行分析與解決，同時(shí)還需要恰當(dāng)?shù)靥幚頂?shù)學(xué)必考模塊與數(shù)學(xué)選考模塊之間的關(guān)系，以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)與數(shù)學(xué)試題之間的關(guān)系.因此，學(xué)生在分類討論的過程中需要做到三個(gè)方面：首先，學(xué)生在分類討論時(shí)應(yīng)準(zhǔn)確把握重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容，并加強(qiáng)對(duì)重點(diǎn)知識(shí)分類討論的完成力度，同時(shí)還需要梳理和歸納易錯(cuò)易混的數(shù)學(xué)難點(diǎn)，并以此查缺補(bǔ)漏，對(duì)數(shù)學(xué)難點(diǎn)的分類討論進(jìn)行完成與鞏固；其次，學(xué)生需要以第一輪分類討論完成的內(nèi)容為基礎(chǔ)，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)框架，繪制思維導(dǎo)圖，進(jìn)而完成數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接與整合，使學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能夠全方面、多角度地看待數(shù)學(xué)問題；最后，學(xué)生需要對(duì)高考的各個(gè)題型進(jìn)行深入的探究，并在探究過程中挖掘具有通用性和綜合性的知識(shí)內(nèi)容與解題思路，從而提高自身的應(yīng)試技巧[2].

2.1 根據(jù)函數(shù)類型進(jìn)行分類討論

在使用函數(shù)分類的思想來討論高中數(shù)學(xué)的解題思路時(shí)，要根據(jù)其函數(shù)類型來進(jìn)行具體的討論.如在對(duì)二次函數(shù)中的應(yīng)用題進(jìn)行分析的過程中，問題主要分為：定軸動(dòng)區(qū)間函數(shù)問題和定動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間函數(shù)兩種基本類型.

由于函數(shù)類型的基本特點(diǎn)不同，在函數(shù)動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間的問題正好恰恰相反.在一個(gè)動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間函數(shù)分類問題中，通常會(huì)有比較明確的具體區(qū)間，需要直接依據(jù)此區(qū)間，對(duì)其不確定性質(zhì)的函數(shù)關(guān)系式問題進(jìn)行求解.因此在直接使用函數(shù)分類討論問題思想解題時(shí)，需要對(duì)該函數(shù)關(guān)系式區(qū)間的種類進(jìn)行詳細(xì)討論，并針對(duì)題目中所給的具體區(qū)間來進(jìn)行求解.在分類討論函數(shù)解題規(guī)律時(shí)，明確函數(shù)類型也十分重要.

2.2 應(yīng)用于數(shù)列問題的解題思路

分類討論思想除了在教學(xué)方面具有一定的研究意義，同時(shí)對(duì)于數(shù)列方程的分析也具有重要的推進(jìn)作用.比如在一些數(shù)列分析題型中，題目沒有給出明確的公比值特定取值等，在解決這一類題型中如果運(yùn)用分類討論的思想，并能夠在解題過程中綜合考量公比值的范圍，最后可以通過分析類比，得到一個(gè)具體的比值取值范圍.因此，應(yīng)用分類討論的思想，對(duì)數(shù)列問題的解題十分重要.

例如，在學(xué)生解答“假設(shè)等比數(shù)列公比為q，前n項(xiàng)為Sn>0（n=1，3，），求q值”這是一種數(shù)列問題，由于該題目沒有給出確切的q值，所以運(yùn)用分類討論的方法，可以讓學(xué)生在解題過程中對(duì)于數(shù)據(jù)的分析更加方便，并通過更加深入的分析，對(duì)于q=1或者q≠1兩類情況進(jìn)行綜合比較，最終得出q的值.

2.3 在三角函數(shù)中的應(yīng)用

根據(jù)角度的變化大小，函數(shù)思想方法歷來都貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程教育中，分類討論這種復(fù)合解題的思路方法被廣泛適用.

如果題目是銳角三角形時(shí)，要首先注意前提條件.例如：sina=13的正弦值為正，可能是在第一象限或者第二象限的角；cosa=13余弦值為正，a可能是第一或者第四象限的角，計(jì)算斜率K=tana是應(yīng)該考慮a等不等于π2等.

2.4 應(yīng)用于概率問題的解題思路

在數(shù)學(xué)解題過程中，概率問題具有很多解題方法.而運(yùn)用分類討論思想對(duì)于概率問題進(jìn)行解題.則是重要的解題方法之一.

在解答關(guān)于高考的這類問題以及備考期間，高三學(xué)生如要想有效地利用好這些數(shù)學(xué)分類方法或討論方法，必須先學(xué)會(huì)以具體的問題作為主要切入點(diǎn).

如一家連鎖中式早餐店每天就只會(huì)專門限量地出售兩種清粥、饅頭包子和另外一種包子.粥類只有這三種：大米粥、小米粥和綠豆粥，每份價(jià)錢大約在1.5元；而饅頭也只有兩種：紅糖饅頭和牛奶饅頭，每個(gè)1元；肉餡包子只有一種三鮮大肉包，每個(gè)價(jià)格約3元.陳某最近在這家店第一次吃早餐，花了將近4元的錢，假設(shè)陳某以后每次去的早餐價(jià)格都不重樣，問他第一次吃到這個(gè)包子的價(jià)格中獎(jiǎng)概率到底又是多少呀？

由題文可知，花費(fèi)金額為每人4元饅頭的組合公式為：

（1）先要分別再從上面3種粥類2種饅頭中依次隨機(jī)的選種，然后分別再依次從各種粥和饅頭中再各選取其1種，共得出6種粥饅頭組合；

（2）再先要分別從3種以上的粥類饅頭組合中依次選出其中的1種，然后依次再選出其中的1個(gè)三鮮大肉包，共依次選出3種粥類饅頭；

（3）隨機(jī)地選擇饅頭，共隨機(jī)選了1種.總選擇的概率情況數(shù)是共有6+3+1種=共取10種.吃饅頭到吃包子的總選擇的概率情況是共取3種，選擇概率數(shù)為取3/10.

2.5 應(yīng)用于集合問題的解題思路

現(xiàn)階段，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，集合類問題在眾多數(shù)學(xué)問題中占有較大比重.在對(duì)數(shù)學(xué)集合類問題進(jìn)行運(yùn)算與訓(xùn)練分析過程中，學(xué)生們可以先運(yùn)用分析比較的方法對(duì)各類元素進(jìn)行歸類，確定各元素之間的關(guān)系.

集合類問題通常是以數(shù)學(xué)單項(xiàng)判斷填空集合形式和數(shù)學(xué)綜合單項(xiàng)選擇判斷形式的組合形式，出現(xiàn)在一些普通和高考試卷中，很少發(fā)現(xiàn)有以數(shù)學(xué)單項(xiàng)選擇計(jì)算形式為主的集合形式試題.所以請(qǐng)廣大理工科學(xué)生朋友們?cè)诮饧项悢?shù)學(xué)問題的時(shí)候，適當(dāng)注意對(duì)分類數(shù)學(xué)問題進(jìn)行回答問題和分析計(jì)算.比如：1∈{lna，a}求a的可能值.可以分lna=1和a=1.

由于有些高中數(shù)學(xué)題目難度較大，且有些數(shù)學(xué)題目答案要求中往往規(guī)定必須同時(shí)包含許多解題參數(shù)，因此我們教師必須要學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)中的分類式和討論分析法思想，將上述這類題目答案要求中列出的包含許多參數(shù)信息的若干數(shù)學(xué)答案，先進(jìn)行歸納與討論，然后分析總結(jié)出最終答案，最后再逐個(gè)對(duì)這些數(shù)學(xué)答案進(jìn)行分類并統(tǒng)一有序地歸納整理，從而基本完成對(duì)每一道數(shù)學(xué)題目的統(tǒng)一解答[3].

3 分類討論可運(yùn)用于教材與生活的聯(lián)系，融入到培養(yǎng)核心素養(yǎng)中在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，由于與實(shí)際生活之間具有一定的聯(lián)系，因此數(shù)學(xué)教師可以根據(jù)這一特點(diǎn)來引入生活中的一些實(shí)際問題，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的概念知識(shí).在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師通過在概念的解釋過程中引入實(shí)際問題，可以讓學(xué)生更好地感受數(shù)學(xué)源于生活的意義.在這一過程中，學(xué)生可以將數(shù)學(xué)與生活緊密結(jié)合在一起，提高了對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性與興趣[4].

將數(shù)學(xué)知識(shí)分類思想與問題討論式思想直接融入整個(gè)高中數(shù)學(xué)水平考試中，貫穿于整體分析思維過程和設(shè)計(jì)框架之中，使廣大高考學(xué)生都能輕松地進(jìn)行全方位、多角度的解題分析思考，從而全面實(shí)現(xiàn)高中學(xué)生綜合實(shí)踐能力素質(zhì)的快速提高.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李琳，閆笑麗.淺談分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［J］.才智，2019（04）：116.

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[3] 姜華.探討分類討論，在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的應(yīng)用［J］.高中數(shù)理化，2019（4）：34.

[4] 吳愛民.分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（12）：129-130.

［責(zé)任編輯：李璟］