談談三類排列組合問題的解法

房琴芳

高考試題命題者通常會在知識的交匯處命題，這就要求我們熟悉一些綜合題目，并熟練掌握一些常用的解題方法和技巧．下面主要介紹一下與立體幾何、集合、數(shù)列有關的排列組合問題的解法．

一、與立體幾何有關的排列組合問題

此類題目主要考查立體幾何中的點、線、面的位置關系，空間幾何體的結構特征，以及分步、分類計數(shù)原理．首先要明確幾何圖形的結構特征，弄明白幾何圖形中有哪些點，哪些棱，哪些面，并搞清楚立體圖形中的點、線、面之間的關系；再把幾何問題抽象為組合問題，利用分步、分類計數(shù)原理來求解．

例1．給一個四棱錐P一ABCD的頂點染色，且一個頂點只染一種顏色，要求同一條棱的兩端染不同顏色．現(xiàn)在有4種顏色可供使用，那么共有X種染色的方法．如果有5種顏色可供使用，那么有y種染色方法，則 y-x的值是____．

解：如果有4種顏色可供使用，需分兩種情況討論：若C點與A點同色，則P點的染色方法有C4種，A點的染色方法有C1種，B點的染色方法有C1種，C點的染色方法有1種，D點的染色方法有C：種．共有C4．C3·2·C2染色方法；

若C點與A點不同色，則P點的染色方法有C4種，A點的染色方法有C3種，B點的染色方法有C2種，C點的染色方法有C{種，D點的染色方法有C{種．共有C4·C3·C種染色方法．則x=C1．C3．2.C21+C4．C3．C2=48 +24 = 72．

如果有5顏色可供使用，需分兩種情況：

若B與D同色，則P點的染色方法有C1種，A點的染色方法有C4種，B點的染色方法有C3種，C點的染色方法有1種，D點的染色方法有C3種．共有C5．C4·C3·1·C3染色方法；

若B與D不同色，則P點的染色方法有C5種，A點的染色方法有C4種，B點的染色方法有C3種，C點的染色方法有C：種，D點的染色方法有C：種，共有C5·C4·C3·C2·C2染色方法；

解題時，首先要明確四棱錐中頂點的個數(shù)和位置；然后按照一定的順序依次對各個頂點染色；最后運用分類和分步計數(shù)原理求解．

二、與集合有關的排列組合問題

與集合有關的排列組合問題側重于考查集合的概念、運算，以及分步、分類計數(shù)原理．在解題時要明確集合中元素的意義，對其進行分類討論，然后分步進行計數(shù)．

首先根據(jù)集合間的關系確定集合，，然后用分類和分步計數(shù)原理求解．解答本題還需要注意兩點：①要注意挖掘隱含條件，如對于c6而言，x∈N，同時x≥6；②明確分類和分步計數(shù)原理之間的區(qū)別，靈活運用分類和分步計數(shù)原理求解．

三、與數(shù)列有關的排列組合問題

與數(shù)列有關的排列組合問題主要涉及兩類問題：①將數(shù)列作為限制條件的計數(shù)問題，此類問題多以選擇題、填空題為主；②以排列數(shù)、組合數(shù)、二項式為條件的數(shù)列解答題，此類問題具有較強的綜合性，往往需以排列的定義、組合的定義、二項式定理作為突破先根據(jù)排列、組合的定義限定m的范圍，進而確定出m的值；冉利用二項式定理求出n的值，由此可求出數(shù)列的公差d，問題就迎刃而解了．

與排列組合有關的綜合問題的命題形式較多，在解題時，我們需靈活運用立體幾何、集合、數(shù)列等知識求得相關的點的個數(shù)、方程、關系式，將問題轉化為計數(shù)問題，并明確計數(shù)的范圍；再運用排列組合知識求解．