例談解答含參不等式恒成立問題的兩個(gè)小措施

羅強(qiáng)　魏瑞英

含參不等式恒成立問題常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、平面幾何、方程、不等式、三角函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合，側(cè)重于考查同學(xué)們的分析和邏輯思維能力．這類問題的難度往往比較大，很多同學(xué)經(jīng)常不知該如何應(yīng)對．事實(shí)上，我們只要選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，就能使問題迎刃而解．下面，談一談解答含參不等式恒成立問題的兩個(gè)小措施．

一、數(shù)形結(jié)合

為了降低解答含參不等式恒成立問題的難度，我們可以采用數(shù)形結(jié)合法來解題．首先，將不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?；然后，挖掘不等式中代?shù)式的幾何意義，如將y=ax+b看作一條直線，將y=（a-x）2看作一條拋物線，將y=a2看作指數(shù)函數(shù)；再畫出相應(yīng)的幾何圖形，通過分析圖形之間的位置關(guān)系、研究圖形的幾何性質(zhì)，來建立使不等式恒成立的式子，從而使問題獲解．

由圖可知當(dāng)a>1或a<-1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象始終在y=1的上方，此時(shí)f（a）>1恒成立，

所以a的取值范圍為（一∞，一1）U （1，+∞）．

解答本題，主要運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合法．要使f（a）>1恒成立，只需使函數(shù)f（x）的圖象始終在y=1的上方．于是根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f（x）與直線y=1的圖象，結(jié)合圖形討論兩個(gè)圖象的位置關(guān)系，便可順利解題．

本題若采用常規(guī)方法直接求解，比較復(fù)雜，借助圖形可以更直觀便捷地求得問題的答案，先將不等式兩側(cè)的式子看作兩個(gè)函數(shù)解析式，并在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，只要使函數(shù)f（x=（x一1）2的圖象始終位于函數(shù)f（x）= logax圖象的下方，便可使不等式恒成立；再建立新的不等式，即可求出倪的取值范圍．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解答含參不等式恒成立問題，可以達(dá)到事半功倍的效果．

二、分離參數(shù)

有些含參不等式中的參數(shù)很容易分離，此時(shí)可采用分離參數(shù)法來解答含參不等式恒成立問題．常見的思路是先將不等式變形，使參數(shù)分離，通?？砂褏?shù)單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，另一側(cè)是含有變量的式子；然后將變形后不含有參數(shù)的式子構(gòu)造成函數(shù)，這樣便可將不等式恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；最后利用導(dǎo)數(shù)法、基本不等式法、函數(shù)的單調(diào)性等求得函數(shù)的最值，就能通過求函數(shù)的最值求得參數(shù)的取值范圍．

在分離參數(shù)時(shí)，要關(guān)注參數(shù)a前面的系數(shù)的符號，若為負(fù)數(shù)，需根據(jù)不等式的性質(zhì)將不等式的符號加以改變，得到一個(gè)一端含有參數(shù)、另一端不含參數(shù)的不等式，冉利用導(dǎo)數(shù)法求得不含有參數(shù)式子的最值，即可解題，

總之，求解含參不等式恒成立問題的方法很多，除了上述方法，還有函數(shù)最值法、單調(diào)性法、變更主元法等．但無論運(yùn)用哪種方法解題，我們都想要仔細(xì)研究不等式的結(jié)構(gòu)特征，并將其進(jìn)行合理的變形，以便挖掘出代數(shù)式的幾何意義，分離出參數(shù)，構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄆ平怆y題．