如何解答平面向量最值問(wèn)題

李喜春

平面向量最值問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性，側(cè)重于考查向量的線性運(yùn)算、向量的基本定理、兩個(gè)向量的位置關(guān)系、向量的數(shù)量積公式等．這類問(wèn)題的難度通常較大，需靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想來(lái)輔助解題．本文主要談一談下列三類平面向量最值問(wèn)題的解法，

一、求參數(shù)的最值

有些平面向量最值問(wèn)題中含有參數(shù)，要求參數(shù)的最值或取值范圍，需根據(jù)題意建立關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值問(wèn)題，利用基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值．還可以根據(jù)題意和向量加減法的幾何意義：三角形法則和平行四邊形法則，畫出相應(yīng)的幾何圖形，此時(shí)需認(rèn)真觀察圖形中點(diǎn)、線的位置關(guān)系，合理添加輔助線，尋找參數(shù)取得最值的臨界情形，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求得參數(shù)的最值．

由BM=xBA+yBD聯(lián)想到平面向量的共線定理，而M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，于是添加輔助線DE；再設(shè)BM=λ麗，由M的運(yùn)動(dòng)軌跡求出λ的范圍；最后運(yùn)用平面向量的共線定理來(lái)解題．

二、求向量的模的最值

一般地，若a=（X，Y），則|a|=x2+y2，|a|表示向量a的模，即向量a所在線段的長(zhǎng)，可以利用向量的線性運(yùn)算法則、數(shù)量積公式來(lái)求向量模的表達(dá)式，再求該表達(dá)式的最值，即可求得向量的模的最值．還可以根據(jù)向量的幾何意義構(gòu)造出幾何圖形，將所求向量的?？醋魅切?、四邊形的一條邊長(zhǎng)，確定向量的模取最值的情形，根據(jù)三角形、四邊形的性質(zhì)來(lái)求得向量的模的最值．

例3．已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=2， BC=1，P是DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA+3PB|的最小值為_(kāi)______．

我們根據(jù)直角梯形的特征建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)并求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)、各條線段的方向向量，即可求得|PA+ 3PB|的表達(dá)式，最后運(yùn)用基本不等式求得向量的模的最值．

于n是 e1、e2表示的，所以需重點(diǎn)研究元的取值范圍．恒成立，進(jìn)而根據(jù)二次方程的根的判別式得出|n|的取值范圍，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求e1、e2的最小值，解答這類問(wèn)題，同學(xué)們需熟記并靈活運(yùn)用兩個(gè)向量的夾角公式和余弦定理．

可見(jiàn)求解平面向量最值問(wèn)題，需注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

第一、熟練運(yùn)用平面向量的運(yùn)算法則、幾何意義、共線定理及向量的基本定理；

第二、將向量最值問(wèn)題與函數(shù)、方程、不等式、解三角形知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)思想等輔助解題；

第三、研究一些常見(jiàn)的、典型的題目，總結(jié)這類題目的通性通法，積累解題經(jīng)驗(yàn)．