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    從畫數(shù)學(xué)到思維化

    2023-06-16 19:10:32馮麗萍
    關(guān)鍵詞:幾何直觀數(shù)學(xué)思維

    馮麗萍

    【摘 要】“幾何直觀”是小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力之一,“畫”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常用技能。本文以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)低年段教學(xué)為例,分析“畫數(shù)學(xué)”的教學(xué)現(xiàn)狀,研究畫數(shù)學(xué)對(duì)兒童數(shù)學(xué)思維尤其是幾何直觀發(fā)展的價(jià)值,探索多種畫數(shù)學(xué)的策略以期提升兒童數(shù)學(xué)思維。

    【關(guān)鍵詞】畫數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思維 幾何直觀

    一、現(xiàn)狀

    1.教師缺乏“畫數(shù)學(xué)”的培養(yǎng)意識(shí)

    “掌握測(cè)量、識(shí)圖和畫圖的技能”是小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一。而掌握技能需要階段性和連續(xù)性地練習(xí)和鞏固,光憑課堂上的教學(xué)是不夠的。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中設(shè)計(jì)了許多貼近生活的情景圖,教師可借助直觀的事物或操作幫助學(xué)生理解知識(shí)。對(duì)比“畫數(shù)學(xué)”的畫圖技能目標(biāo),多數(shù)教師停留在正確畫出幾何圖形的標(biāo)準(zhǔn),沒(méi)有充分挖掘“畫圖”背后的思維價(jià)值。如低年段教材中的示意圖,學(xué)生在分析數(shù)量關(guān)系時(shí),從借助表象到形成抽象過(guò)程中,教材中也相繼呈現(xiàn)從可視化到思維化的解題要求,可教師往往以示范畫為主,并沒(méi)有讓每個(gè)學(xué)生嘗試并學(xué)會(huì)繪制,受課時(shí)因素與教學(xué)方法的限制,很難有效培養(yǎng)學(xué)生畫示意圖的能力等。

    2.學(xué)生缺乏“畫數(shù)學(xué)”的運(yùn)用意識(shí)

    在小學(xué)數(shù)學(xué)日常教學(xué)中,學(xué)生對(duì)于明確要求的“畫圖”掌握相對(duì)較好,可對(duì)于一些抽象知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)存在較大難度,導(dǎo)致理解知識(shí)點(diǎn)時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)各種各樣的偏差。學(xué)生沒(méi)有“我要畫”的意識(shí),因而教師常講常演,學(xué)生常練常錯(cuò),已經(jīng)形成錯(cuò)誤的思維定式。采訪發(fā)現(xiàn),有的學(xué)生不會(huì)用畫圖準(zhǔn)確表達(dá)題意,有的學(xué)生想不到用畫圖的方式去解決問(wèn)題,從而沒(méi)有路徑去有效地開(kāi)展思維活動(dòng)。

    二、研究意義

    (一)多維理解畫數(shù)學(xué)對(duì)教師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的意義

    1.學(xué)科特點(diǎn)

    數(shù)學(xué)教學(xué)在幾何教學(xué)、數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算、問(wèn)題解決和認(rèn)識(shí)的深化方面要用到圖形。圖形的應(yīng)用,尤其是直接動(dòng)手畫圖有助于學(xué)生更好地理解題意,準(zhǔn)確找出數(shù)量關(guān)系。圖形的使用十分利于學(xué)生元認(rèn)知能力的提升,從而更有效地解決問(wèn)題。而數(shù)學(xué)中的“畫圖”不只是指由抽象向具體的回歸,也與抽象分析密切相關(guān),包括我們應(yīng)如何通過(guò)適當(dāng)?shù)某橄蠼?gòu)出一種新的圖形、一種與簡(jiǎn)單的直觀圖完全不同的抽象圖形。

    2.課標(biāo)指向

    課標(biāo)指出,在數(shù)學(xué)課程中,應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象,有助于探索解決問(wèn)題的思路,預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué),在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。所以,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形直觀地表征各種思想方法,經(jīng)歷從“畫數(shù)學(xué)”到“思想化”逐步抽象的過(guò)程,借助幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象,進(jìn)而在探索解決問(wèn)題的思路中,更好地掌握“數(shù)形結(jié)合”“假設(shè)”等數(shù)學(xué)思想。

    (二)充分認(rèn)識(shí)畫數(shù)學(xué)對(duì)兒童幾何直觀發(fā)展的啟示

    直觀想象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,對(duì)標(biāo)的關(guān)鍵能力是直觀感知、空間觀念和幾何直觀,幾何直觀的表現(xiàn)水平有以下三點(diǎn):水平一是能用圖形表示數(shù)或簡(jiǎn)單情境中的數(shù)量關(guān)系;水平二是能用圖形表達(dá)和分析稍復(fù)雜問(wèn)題情境中的數(shù)量關(guān)系;水平三是能用圖形表達(dá)和分析非常規(guī)情境中的數(shù)量關(guān)系。有學(xué)者指出:“任何表征都能夠表達(dá)部分但不是全部的信息,凸顯其中的一些方面而隱藏另一些,所以說(shuō),單一的表征形式不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的全面理解?!彼?,引導(dǎo)學(xué)生掌握“畫數(shù)學(xué)”的能力,可以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

    三、教學(xué)策略

    (一)激發(fā)學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”的內(nèi)需力

    1.畫出“看不見(jiàn)”的數(shù)學(xué)信息,突破難點(diǎn)

    小學(xué)低年段數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生常通過(guò)數(shù)一數(shù)、擺一擺、撥一撥的方式理解數(shù)量、數(shù)量間的關(guān)系和計(jì)算算理等,但遇到數(shù)量關(guān)系較為抽象的問(wèn)題,學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)難度較大。如圖1(蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)第106頁(yè)思考題),從圖中可以看到“從前往后數(shù),第5只是小鹿”;而“從后往前數(shù),第8只是小鹿”中部分小動(dòng)物被大樹(shù)遮住了,無(wú)法通過(guò)數(shù)一數(shù)的方式知道“一共有多少只小動(dòng)物”,這時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生用簡(jiǎn)畫圖表示題中的條件及問(wèn)題,如圖2,用小棒表示其他動(dòng)物,用圓圈表示小鹿,我們可以清楚地看到小鹿前面和后面的數(shù)量,突破題中部分條件“看不見(jiàn)”的難點(diǎn)。

    2.畫出“易混淆”的數(shù)量關(guān)系,理清思路

    低年段數(shù)學(xué)的數(shù)量關(guān)系涉及“一部分?jǐn)?shù)+另一部分?jǐn)?shù)=總數(shù)”和“份數(shù)×每份數(shù)=總數(shù)”這兩個(gè)基本模型及其變式,學(xué)生比較容易混淆。如 “一共有21盆花,送給幼兒園一些后還剩7盆,送給幼兒園多少盆?”(蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第75頁(yè)第8題中的第2小題),有學(xué)生用除法“21÷7=3(盆)”來(lái)解決,原因是學(xué)生不能厘清“平均送給”和“送給一些”之間的區(qū)別,這時(shí)可以嘗試用畫圖來(lái)整理題意,如圖3,先用大括號(hào)表示一共有21盆花,再用虛線框表示送給幼兒園一些,用小棒表示“還剩7盆”,這樣就可以明顯地看出送走的盆數(shù)是總數(shù)的其中一部分,要用減法求送走的盆數(shù),而不是把總數(shù)平均分,用除法求出平均分的結(jié)果,從而厘清“易混淆”的數(shù)量關(guān)系。

    3.畫出“難理解”的思考過(guò)程,抓住關(guān)鍵

    劉曉玫學(xué)者研究了我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀能力規(guī)律及水平劃分,其中,二至三年級(jí)適合較少概念并只與空間想象有關(guān)的問(wèn)題情境,屬于水平1——(完全)直觀想象階段。低年段學(xué)生對(duì)一些單一概念的疊加操作,如“鋸木頭”“間隔栽樹(shù)”“來(lái)回一趟”“對(duì)折2次”等理解不到位,往往把“對(duì)折2次”認(rèn)為是“平均分成2份”,這時(shí)教師不僅要通過(guò)實(shí)物演示幫助學(xué)生理解“把一根繩子對(duì)折1次就是把它平均分成2份,把一根繩子對(duì)折2次就是把它平均分成4份”,還需要引導(dǎo)學(xué)生在積累了操作經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上把對(duì)折的過(guò)程想出來(lái),把對(duì)折的結(jié)果畫下來(lái),如圖4所示,從而抓住解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

    (二)鍛煉學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”的實(shí)踐力

    1.豐富“畫”的經(jīng)驗(yàn)值

    很多學(xué)生常用畫小棒的方式來(lái)表征簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題,遇到較為抽象或者與生活經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí),學(xué)生畫圖的水平還有待提高。教師要喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn),開(kāi)展實(shí)踐操作活動(dòng)豐富學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn),積極滲透畫圖技巧。如 “路的兩邊一共插了16面彩旗,平均每邊插多少面彩旗” (蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第97頁(yè)第17題),學(xué)生對(duì)“路的兩邊”有一定的常識(shí)了解,但理解“16面彩旗”時(shí)想成“每邊都有16面”,用“16+16=32(面)”來(lái)解決。教師需要引導(dǎo)學(xué)生用畫圖還原插旗的過(guò)程,從而更好地理解題意,幫助學(xué)生正確分析數(shù)量關(guān)系。

    2.增強(qiáng)“畫”的理解力

    低年段學(xué)生的看圖能力相比畫圖能力更強(qiáng),在試卷評(píng)析時(shí),看圖列式的得分率相比解決實(shí)際問(wèn)題高出許多。教師在日常教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解和善用“大括號(hào)、實(shí)線框、虛線框、豎線、斜線、一一對(duì)應(yīng)符號(hào)、問(wèn)號(hào)”等有特定數(shù)學(xué)含義的構(gòu)圖要素來(lái)表達(dá)題中的有效條件和問(wèn)題,使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象,促進(jìn)學(xué)生的幾何直觀。如“先估一估是多少,再數(shù)出來(lái)”(蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)第83頁(yè)第4題),學(xué)生在數(shù)的時(shí)候需要通過(guò)“滿十個(gè)圈一圈”的方法讓人一眼看出物體的數(shù)量,如圖5,這就需要學(xué)生充分理解“10個(gè)一是1個(gè)十”,進(jìn)而掌握“圈十法”,并運(yùn)用到計(jì)數(shù)單位的學(xué)習(xí)中。

    3.完善“畫”的整體性

    畫圖過(guò)程中,教師還要指導(dǎo)學(xué)生完善“畫”的整體性,如準(zhǔn)確描述題中的有效條件及問(wèn)題,在圖上標(biāo)出數(shù)據(jù)和單位,養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合共同表征問(wèn)題的習(xí)慣,還要關(guān)注隱蔽條件的表征,如“同樣多”“每條邊一樣長(zhǎng)”等。

    3.提升學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”的思維力

    1.有序思考

    “畫數(shù)學(xué)”其實(shí)就是把靜態(tài)的文字和動(dòng)態(tài)的數(shù)據(jù)變化用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的過(guò)程,它能反映學(xué)生的思維狀態(tài)和水平。低年段學(xué)生大都按“從所給條件想起”或者“從所提問(wèn)題想起”兩種有序的思考方式來(lái)解決問(wèn)題,無(wú)論是哪一種,都能建立各個(gè)數(shù)量之間的層級(jí)關(guān)系。如 “把24本書平均分給3個(gè)小組,每個(gè)小組分得多少本?你還能算出平均每人分得多少本嗎” (蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第86頁(yè)第4題),按題目要求先求“每組本數(shù)”,再求“每人本數(shù)”,通過(guò)畫圖可以幫助學(xué)生理清總數(shù)和份數(shù)分別是多少,如圖6所示。

    2.構(gòu)建模型

    “畫數(shù)學(xué)”的結(jié)果除了理解題意和理清關(guān)系,更有助于建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。如“小英做了11朵花,小華比小英多做3朵,小華做了多少朵” (蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第8頁(yè)例4),根據(jù)題意用圓形表示花朵,先畫出小英的花朵數(shù)量,再通過(guò)一一對(duì)應(yīng),把小英做的朵數(shù)加上小華比小英多做的3朵就能求出小華做的朵數(shù),如圖7所示,從而得出該類問(wèn)題的一般模型:較少的量+相比多出的部分=較多的量。

    總之,“畫”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常用技能之一,教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生“畫”數(shù)學(xué),以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]吳賢.數(shù)學(xué)表征與兒童數(shù)學(xué)思維發(fā)展——基于中美比較視角[J].教育研究與評(píng)論(小學(xué)教育教學(xué)),2018(2).

    [2]劉曉玫. 小學(xué)生空間觀念的發(fā)展規(guī)律及特點(diǎn)研究[D].長(zhǎng)春:東北師范大學(xué),2007.

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