“孿生題”設(shè)計(jì)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

嚴(yán)慧君

【摘要】“孿生題”作為一類相對(duì)比較簡(jiǎn)單的分層作業(yè)模式以及一題多變形式，主要是指具有相同的關(guān)鍵理論知識(shí)要素，且相關(guān)層次架構(gòu)的情境背景設(shè)計(jì)方式以及其相對(duì)應(yīng)的表現(xiàn)類型也有一定的相似性，但能力要求卻比較明顯的兩道題.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)以及評(píng)價(jià)中，為了能夠有效提升教學(xué)效率、鞏固知識(shí)點(diǎn)、培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)以及創(chuàng)新意識(shí)，教師往往通過(guò)設(shè)計(jì)不同類型變化的“孿生題”來(lái)考查學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的理解以及相關(guān)的推理計(jì)算能力.為了進(jìn)一步了解“孿生題”，同時(shí)為其在相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用提供一些參考，本文對(duì)其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的概述分析.

【關(guān)鍵詞】“孿生題”；分層作業(yè)；一題多變

與模擬題不同，“孿生題”主要是指具有相同的關(guān)鍵理論知識(shí)要素，且相關(guān)層次架構(gòu)的情境背景設(shè)計(jì)方式以及其相對(duì)應(yīng)的表現(xiàn)類型也有一定的相似性，但能力要求卻有明顯不同的兩道題，我們一般將其中難度較低且具備基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的題稱為A類題，難度較高且在基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)上得以延伸擴(kuò)展的則稱為B類題.“孿生題”設(shè)計(jì)中側(cè)重體現(xiàn)的模式為分層作業(yè)模式，除此之外，基于一種類型的題而進(jìn)行靈活多變的設(shè)計(jì)改編也是其特點(diǎn)之一[1].本文主要通過(guò)相關(guān)的“孿生題”題型案例來(lái)對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中“孿生題”設(shè)計(jì)的基本思路以及實(shí)際的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的說(shuō)明與分析.

1 實(shí)質(zhì)與表象互補(bǔ)的“孿生題”

實(shí)質(zhì)與表象互補(bǔ)的“孿生題”的主要作用是對(duì)學(xué)生所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度以及能力水平進(jìn)行有效地考查，而在進(jìn)行具體“孿生題”的設(shè)計(jì)時(shí)，其題型中的A類題能夠以“知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)鞏固”的方式來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)課本中的知識(shí)點(diǎn)概念以及表述的性質(zhì)表象進(jìn)行考查，而B(niǎo)類題則以“應(yīng)用求解”的方式對(duì)概念以及性質(zhì)的實(shí)質(zhì)進(jìn)行考查[2].此類設(shè)計(jì)方式的進(jìn)行能夠確保每組題的層次結(jié)構(gòu)非常分明，并能夠?qū)ο嚓P(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行互補(bǔ)性地呈現(xiàn).在進(jìn)行答題的過(guò)程中，學(xué)生既可以根據(jù)自己的能力水平以及學(xué)習(xí)需求在A、B兩類題中選答一道題，也可以同時(shí)解答A、B兩類題，即對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行完整的認(rèn)知.

例1 （A類）解不等式－3x≤9得x≥－3，依據(jù)是____.

（B類）“不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.”用字母表示這條性質(zhì)：____.

在該題中，原不等式－3x≤9的兩邊同時(shí)除以-3后，得到x≥－3，由此可知A類題主要要求學(xué)生對(duì)“不等式的性質(zhì)2”進(jìn)行回憶，而B(niǎo)類題則是要求學(xué)生通過(guò)具體的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)對(duì)“不等式的性質(zhì)2”進(jìn)行表達(dá)，需要注意的是，該相關(guān)表達(dá)形式在初中數(shù)學(xué)課本中并沒(méi)有進(jìn)行具體的體現(xiàn).學(xué)生不僅可以對(duì)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)以及概念定理進(jìn)行鞏固，還可以在既有知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行不同程度地拓展與創(chuàng)新.

2 條件與結(jié)論變化的“孿生題”

與以上所述實(shí)質(zhì)與表象互補(bǔ)的“孿生題”不同，條件與結(jié)論變化的“孿生題”的設(shè)計(jì)則主要是對(duì)學(xué)生所掌握的推理計(jì)算能力進(jìn)行考查.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，往往對(duì)包括計(jì)算能力、推理能力以及空間想象能力在內(nèi)的三大能力非常重視[3].

接下來(lái)，通過(guò)實(shí)際例題來(lái)對(duì)“已知條件不同，所求結(jié)果一樣”進(jìn)行分析說(shuō)明.

例2 （A類）如圖1，正方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別位于x軸和y軸上，頂點(diǎn)B位于反比例函數(shù)y=k/x的圖象上，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，那么k的值是____.

（B類）如圖2，正方形OABC的頂點(diǎn)A、B分別位于反比例函數(shù)y=k/x的圖象上，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，那么k的值是____.

在例2中，A類題所述正方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別位于x軸與y軸上，而點(diǎn)B位于反比例函數(shù)的圖象上.在此條件下，我們可以基于正方形的性質(zhì)，根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)算得C點(diǎn)的坐標(biāo)，并且進(jìn)一步得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再通過(guò)將相關(guān)的坐標(biāo)值代入表達(dá)式中便可得出k的值[4].具體過(guò)程為：首先根據(jù)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)以及正方形的性質(zhì)可知A、C點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），然后可知B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），代入反比例函數(shù)y=kx后，便可得k值為4.

在對(duì)A類題的題型特點(diǎn)及解題思路進(jìn)行分析后，我們便進(jìn)行B類題的分析.對(duì)于B類題而言，我們看到正方形OABC呈現(xiàn)傾斜的樣式，要想求得k的值，便需要將正方形的性質(zhì)、解一元二次方程以及全等三角形判定等知識(shí)進(jìn)行綜合性的利用，通過(guò)結(jié)合各項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)并進(jìn)行合理的推理計(jì)算，才能夠最終算出k的值.實(shí)際解題過(guò)程中，我們首先應(yīng)該算出B點(diǎn)的坐標(biāo)：

繼續(xù)延伸，我們可以將此題內(nèi)容設(shè)計(jì)為“小球放回”與“小球不放回”兩種，當(dāng)設(shè)計(jì)為“小球放回”時(shí)，其題干內(nèi)容可為“需要從袋中取出甲、乙兩球，在取出其中一球后，該球不放回，則該兩球取出的概率是多少？”通過(guò)分析可知，我們?nèi)〉谝磺虻母怕适?/4，在不放回的前提下，再取一球的概率是1/3，二者相乘，所得1/12，即為所求結(jié)果.而如果取出一球后放回，則在取第二個(gè)小球時(shí)，袋中仍有四個(gè)球，故每個(gè)小球取出的概率皆為1/4，該兩球取出的概率則為1/4×1/4=1/16.

3 不同形式但是解題思路相同的“孿生題”

初中數(shù)學(xué)在知識(shí)點(diǎn)考查時(shí)，尤其注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用能力，很多題目在閱讀的時(shí)候，雖然題目的形式和表達(dá)的方式與所接觸的練習(xí)題存在不同，但是透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，能夠?qū)?shù)學(xué)練習(xí)題所考查的重點(diǎn)知識(shí)有清楚地把握和詳細(xì)地理解.不同形式但是解題思路相同的“孿生題”貫穿在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生若是能夠在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的時(shí)候清楚地認(rèn)識(shí)題目實(shí)質(zhì)，便可以快速找到問(wèn)題的新解決思路.

例如 就“勾股定理”這部分知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)而言，會(huì)利用折疊圖形的方式對(duì)學(xué)生展開(kāi)知識(shí)點(diǎn)考查，折疊圖形作為突出的特征是經(jīng)過(guò)折疊處理的兩個(gè)圖形，會(huì)繞著圖形的折線翻折后完全重合，折疊的本質(zhì)就是對(duì)稱軸.在折疊問(wèn)題方面，最為常見(jiàn)的是正方形折疊、矩形折疊以及直角三角形折疊，要求學(xué)生利用所學(xué)習(xí)的知識(shí)求解出圖形的面積、線段的長(zhǎng)度或者是某個(gè)角的角度等等.在折疊的過(guò)程中，可能會(huì)出現(xiàn)直角三角形，求解的時(shí)候可以選擇使用勾股定理進(jìn)行解答線段長(zhǎng)度.也可能會(huì)出現(xiàn)等腰三角形，利用平行線的性質(zhì)解答線段長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系中折疊，可利用勾股定理對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)和線段的長(zhǎng)度進(jìn)行求解.基于“孿生題”的設(shè)計(jì)思路和求解思路，常見(jiàn)的圖形折疊有以下幾種，如圖4所示：

此種類型的解題關(guān)鍵是掌握對(duì)稱性，利用勾股定理的數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.第一步，尋找出折痕，折痕所在的直線就是對(duì)稱軸；第二步，按照全等三角形的性質(zhì)和概念，從圖形中尋找出所有相等的角和線段；第三步，按照題目的要求假設(shè)出未知數(shù)；第四步，從圖形中尋找出關(guān)鍵的三角形，尤其是直角三角形，利用勾股定理建立其未知數(shù)與其他數(shù)字之間的關(guān)系；第五步，求解出未知數(shù)；第六步，檢驗(yàn)求取的結(jié)果是否與題目的實(shí)際條件相符合.

通過(guò)上述關(guān)于折疊方面的題目可以了解到，在選擇應(yīng)用勾股定理解答折疊方面的問(wèn)題時(shí)，其思考路徑基本是保持一致的.首先要尋找出折疊圖的性質(zhì)，并從折疊圖中找到相等的角或者線段；其次要從圖形中尋找到一個(gè)直角三角形，假設(shè)圖形中的某個(gè)線段長(zhǎng)度為x，利用直角三角形的三邊關(guān)系，將帶有未知數(shù)x的公式表示出來(lái)；再次，利用勾股定理兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方這一定理列出方程；最后，通過(guò)計(jì)算取得結(jié)果.“孿生題”在解答的時(shí)候，最為關(guān)鍵的是尋找出與之前所做題目相似的點(diǎn)，同時(shí)要在日常的練習(xí)過(guò)程中梳理出解答步驟，將其形成自己的經(jīng)驗(yàn)，從而在后續(xù)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的時(shí)候，以套模板的方式完成解答，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題能力提高.

4 結(jié)語(yǔ)

為了有效避免學(xué)生做同類型題時(shí)“屢做屢錯(cuò)”現(xiàn)象的發(fā)生，教師在教學(xué)過(guò)程中采用了“孿生題”設(shè)計(jì)方式，該題型的設(shè)計(jì)與應(yīng)用可以有效提升習(xí)題課的教學(xué)效率，并且可以在一定程度上降低學(xué)生錯(cuò)誤的重現(xiàn)率.為了確保“孿生題”的設(shè)計(jì)可以充分發(fā)揮其應(yīng)有的作用，教師們往往會(huì)基于一定的選編策略來(lái)進(jìn)行，例如實(shí)質(zhì)與表象互補(bǔ).為了對(duì)“孿生題”設(shè)計(jì)進(jìn)行進(jìn)一步的了解，我們從實(shí)質(zhì)與表象互補(bǔ)、條件與結(jié)論變化及不同形式但是解題思路相同的“孿生題”三個(gè)方面對(duì)“孿生題”設(shè)計(jì)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了簡(jiǎn)單的概述分析.

參考文獻(xiàn)：

[1]張小娜.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“一題多變 一題多問(wèn)”的教學(xué)實(shí)踐[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（教研版），2022（04）：31-33.

[2]夏幫青.生物教學(xué)中“孿生題”的設(shè)計(jì)及應(yīng)用[J].中學(xué)生物教學(xué)，2006（10）：23-24.

[3]王平.初中數(shù)學(xué)“孿生題”設(shè)計(jì)[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（06）：94-96.

[4]付小杰.運(yùn)用“一題多解”助力初中數(shù)學(xué)教學(xué)探討[J].新課程（中），2018（12）：98.