用“巧”法，解決函數(shù)中平行四邊形存在性問題

張亞男

四邊形結(jié)合圖形的變化、坐標是中考中常見的考題，特別是在壓軸題中，特殊四邊形的應(yīng)用更為廣泛，還常常伴隨多解問題。下面結(jié)合一些中考壓軸題總結(jié)這類題型的解法。

一、巧用對角線，利用中點坐標重合求解

例1 （2022·遼寧阜新）如圖1，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖像交x軸于點A（-1，0）、B（5，0），交y軸于點C。

（1）求這個二次函數(shù)的表達式。

（2）已知P是拋物線上一點，在直線BC上是否存在點Q，使以A、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q坐標；若不存在，請說明理由。

【解析】（1）用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的表達式為y=-x2+4x+5。

（2）由B（5，0）、C（0，5）得直線BC的表達式為y=-x+5。設(shè)Q（m，-m+5）、P（n，-n2+4n+5）。此時，要分情況分析：①當(dāng)PQ、AC是對角線時，則PQ、AC的中點重合，有

[m+n=-1+0，-m+5-n2+4n+5=0+5，]解得Q（-7，12）；②當(dāng)QA、PC為對角線時，則QA、PC的中點重合，同理可得Q（7，-2）；③當(dāng)QC、PA為對角線時，則QC、PA的中點重合，同理可得Q（1，4）或（2，3）。

【點評】本題考查二次函數(shù)和平行四邊形的綜合應(yīng)用。直接畫出大致圖像較難，所以，我們要充分利用平行四邊形的對角線互相平分這一性質(zhì)，通過對對角線進行分類討論，借助中點坐標公式巧解問題。

二、巧用平移，利用平移方向相同求解

例2 （2022·四川資陽）已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標為A（1，4），且與x軸交于點B（-1，0）。

（1）求二次函數(shù)的表達式。

（2）如圖2，將二次函數(shù)圖像繞x軸的正半軸上一點P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，此時點A、B的對應(yīng)點分別為點C、D。

①連接AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，求m的值。

②在①的條件下，若點M是直線x=m上一點，原二次函數(shù)圖像上是否存在一點Q，使得以點B、C、M、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

【解析】（1）用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的表達式為y=-x2+2x+3。

（2）①過點A（1，4）作AE⊥x軸于點E（圖略），根據(jù)∠BAD=∠BEA=90°，又因為∠ABE=∠DBA，可證明出△BAE∽△BDA，從而得出AB2=BE?BD。將BD=2（m+1），BE=2，AB2=20代入，可得m=4。

②根據(jù)上問可以得到C（7，-4），點M的橫坐標為4。要讓以點B、C、M、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，分兩種情況討論。第一種情況，當(dāng)以BC為邊時，平行四邊形為BCMQ，點C向左平移8個單位，與點B的橫坐標相同，所以將點M向左平移8個單位，得Q（-4，y1），代入y=-x2+2x+3，可得Q（-4，

-21）；當(dāng)以BC為邊時，平行四邊形為BCQM，點B向右平移8個單位，與點C的橫坐標相同，所以將點M向右平移8個單位，得Q（12，y2），代入y=-x2+2x+3，得Q（12，-117）。第二種情況，當(dāng)以BC為對角線時，利用中點坐標公式得Q（2，y3），代入y=-x2+2x+3，得Q（2，3）。

【點評】對第（2）題的第②問，利用已知線段的平移方向和平移距離，計算得出另一組點的平移，得到點坐標，進而代入求解。此方法從另一種角度解決了平行四邊形存在性問題。

三、巧用特殊，解決菱形存在性問題

例3 （2022·遼寧朝陽）如圖3，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸分別交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，-3），連接BC。

（1）求拋物線的表達式及點B的坐標。

（2）動點P以每秒2個單位長度的速度在線段BC上由點C向點B運動，同時動點M以每秒1個單位長度的速度在線段BO上由點B向點O運動，在平面內(nèi)是否存在點N，使得以點P、M、B、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由。

【解析】（1）拋物線的表達式為y=x2+2x-3，點B的坐標為（-3，0）。

（2）要使以點P、M、B、N為頂點的四邊形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分為PM=BM、PM=PB和BP=BM三種情況。結(jié)合圖像，進一步得出點N坐標為（-3，[-32]）或（-2，1）或（0，3-[32]）。

【點評】本題雖然考查的是菱形的存在性問題，但是通過分類討論，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可以轉(zhuǎn)化成等腰三角形存在性問題。

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)豫新初級中學(xué)）