折疊求值　三面突破

陳超

在四邊形折疊中求有關(guān)線段的長(zhǎng)度或比值問題是中考常考內(nèi)容之一。雖然此類問題會(huì)出現(xiàn)多種情境求值情況，但是解決這類問題還是有法可尋的。除了利用四邊形本身的性質(zhì)以外，重點(diǎn)應(yīng)從三方面進(jìn)行思維突破：全等、勾股和相似。

一、折疊中求長(zhǎng)度值的問題

例1 如圖1，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處。若點(diǎn)E在邊AB上，AB=3，BC=5，則AE=。

【解析】由矩形的性質(zhì)可得，∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=3，AD=BC=5。

設(shè)AE=x。由折疊可知，△EFC≌△EBC，

則EF=EB=3-x，F(xiàn)C=BC=5，

∠EFC=∠EBC=90°。

在Rt△CDF中，∠D=90°，

則DF=[CF2-CD2]=[52-32]=4，

AF=AD-DF=5-4=1。

在Rt△AEF中，∠A=90°，

則AE2+AF2=EF2，

即x2+12=（3-x）2，解得x=[43]。

所以AE=[43]。

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了矩形的性質(zhì)，從折疊得到全等，再利用勾股定理求解，這也是常規(guī)的解題思路。除此之外，我們還可以利用相似求解。從圖中易得相似的基本圖形“K”型圖，即Rt△AEF∽R(shí)t△DFC，則[AEDF]=[AFCD]，據(jù)此亦可求出AE。

二、折疊中求距離值的問題

例2 如圖2，在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一點(diǎn)，且EB=3，F(xiàn)是BC上一動(dòng)點(diǎn)。若將△EBF沿EF對(duì)折后，點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到點(diǎn)D的最短距離為。

【解析】由折疊可知，△EBF≌△EPF。雖然點(diǎn)F在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，但始終有EP=EB=3，所以點(diǎn)P在以E為圓心、EB為半徑的圓上，如圖3所示。

易知當(dāng)點(diǎn)E、P、D共線時(shí)，PD的值最小。

在Rt△AED中，∠A=90°，

AD=12，AE=AB-EB=8-3=5，

所以ED=[AE2+AD2]=[52+122]=13，

則PD=ED-EP=13-3=10，

即點(diǎn)P到點(diǎn)D的最短距離為10。

【點(diǎn)評(píng)】本題是折疊中的“單動(dòng)點(diǎn)”求距離最值問題，其本質(zhì)是利用轉(zhuǎn)化思想求線段長(zhǎng)度值的問題。依據(jù)“動(dòng)”中求“靜”的思想，由折疊可知全等，動(dòng)點(diǎn)、定長(zhǎng)可判斷運(yùn)動(dòng)軌跡，從而根據(jù)取最值時(shí)的動(dòng)點(diǎn)位置，運(yùn)用勾股定理求解?？梢娙?、勾股是本題重要的知識(shí)點(diǎn)，也是解題的重要思維突破口。

三、折疊中求比值的問題

例3 如圖4，在矩形ABCD中，[ABBC]=[23]。動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接MN。動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為v1，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為v2，且v1＜v2。當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形MA′B′N。設(shè)A′B′與AD交于點(diǎn)E，若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好與CD的中點(diǎn)重合，則[v1v2]的值為。

【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC。由翻折可得四邊形MA′B′N≌四邊形MABN，所以∠A′=∠A=90°，∠A′B′N=∠B=90°，A′M=AM，A′B′=AB，B′N=BN。由[ABBC]=[23]，可設(shè)AB=2x，則AD=BC=3x，CB′=B′D=[12]CD=x。設(shè)BN=y，則B′N=y，CN=3x-y。在Rt△B′CN中，B′C2+NC2=B′N2，所以x2+（3x-y）2=y2，得y=[53]x，則CN=[43]x。由題意易得△B′CN∽△EDB′，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例，可求得DE=[34]x，B′E=[54]x，所以A′E=A′B′-B′E=2x[-54]x=[34]x，則A′E=DE。易證△A′EM≌△DEB′（ASA），所以A′M=DB′=x，則AM=A′M=x。所以[v1v2]=[AMBN]=[x53x]=[35]。

【點(diǎn)評(píng)】本題是折疊中的“雙動(dòng)點(diǎn)”求比值問題。題目中沒有給出線段的具體長(zhǎng)度，故可以采用設(shè)參數(shù)的方法，將線段數(shù)值化。解決本題的關(guān)鍵是能從幾何直觀中發(fā)現(xiàn)由折疊得到一個(gè)直角三角形（Rt△B′CN）、兩個(gè)四邊形全等、兩個(gè)三角形相似和兩個(gè)三角形全等，再利用勾股定理、線段相等、線段成比例等獲得所要求的線段的數(shù)值，最終將速度比轉(zhuǎn)化成線段比。

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)保安中心學(xué)校）