應(yīng)用特殊值法 提升數(shù)學(xué)解題能力

摘 要：特殊值法可理解為對題目中未知量取具體的數(shù)值，代入有關(guān)代數(shù)式進(jìn)行計算，從而實現(xiàn)簡便高效的解題.對此，本文著重探討特殊值法在高中數(shù)學(xué)解題過程中的具體應(yīng)用，幫助學(xué)生掌握這種數(shù)學(xué)解題技巧，探尋數(shù)學(xué)解題新思路，能夠舉一反三、靈活變通地應(yīng)對不同類型的數(shù)學(xué)題目.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；特殊值法；分類討論

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ??文章編號：1008-0333（2023）06-0044-03

在解答某些數(shù)學(xué)題目的過程中，可以通過設(shè)題中某個未知量為特殊值的方式幫助我們簡化解題過程，得到最終答案，這種解題策略的應(yīng)用能夠幫助學(xué)生節(jié)省解題時間，提升解題效率.因此，從這個思路出發(fā)，本文主要探討特殊值法在數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用，并主要圍繞轉(zhuǎn)換角度、構(gòu)造函數(shù)、代入檢驗、定位變量以及合理賦值這幾個方向展開具體探討，以幫助學(xué)生學(xué)會應(yīng)用特殊值法高效簡便解題，切實提升數(shù)學(xué)解題能力.

1 轉(zhuǎn)換角度，減少計算壓力

特殊值法體現(xiàn)的是從一般到特殊，再從特殊到一般的解題思想.如果數(shù)學(xué)題目中的已知條件十分抽象、數(shù)量關(guān)系非常復(fù)雜、用常規(guī)思路解題難度很大時，我們可以通過選擇合適的特殊數(shù)、特殊點、特殊數(shù)列、特殊圖形等，轉(zhuǎn)換問題思考的角度，從特殊中探索解答問題的規(guī)律，正確求得答案.

例1 如果x、y、z是全不相等的實數(shù)，且a=x2-yz，b＝y(tǒng)2-zx，c＝z2-xy，則下列結(jié)論正確的是（? ）.

A.a，b，c都不小于0

B.a，b，c都大小于0

C.a，b，c至少有一個小于0

D.a，b，c至少有一個大于0

解析 這道題中的未知數(shù)是比較多的，如果我們用常規(guī)思路去解題的話，所構(gòu)造出的代數(shù)式較為復(fù)雜，解題難度較大.這時我們就可以應(yīng)用特殊值法的思路，根據(jù)題設(shè)條件由于x，y，z是不全相等的實數(shù)，可取值的范圍是比較大的，我們可以選擇容易計算的實數(shù)如令x＝1，y＝-1，z＝1，分別代入a=x2-yz，b＝y(tǒng)2-zx，c＝z2-xy計算可得a＝2，b＝0，c＝2，可排除B和C選項；繼續(xù)取特殊值令x＝1，y＝-1，z＝2，代入可得a＝3，b＝-1，c＝5，可排除A選項，故正確答案為D，快速解答了該題目.

評析 在面對一些計算難度較大的數(shù)學(xué)題目的時候，我們可以根據(jù)題設(shè)條件將其中的某個未知量設(shè)為特殊值，但要注意這個量的取值要和最終要求的結(jié)果有所聯(lián)系，并且無論取值多少都不會影響最后要求的量的值，這樣才可以在一定程度上幫助我們簡化計算過程，減少計算壓力，實現(xiàn)靈活高效解題，從而提升數(shù)學(xué)解題的效率.

2 構(gòu)造函數(shù)，避免分類討論

構(gòu)造函數(shù)的方法一般應(yīng)用于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)綜合題目的解答中.這類題目的難點就在于分類討論和最值轉(zhuǎn)化，需要學(xué)生通過構(gòu)造函數(shù)的方式來將復(fù)雜的函數(shù)形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這樣才能往下推導(dǎo)計算，在實現(xiàn)快捷解題的同時，更培養(yǎng)了學(xué)生融會貫通的能力.

例2 設(shè)a∈［-1，1］，且函數(shù)g（x）=log22x+（a-4）log2x+4-2a恒為正值，求x的取值范圍.

解析 本道題目中給出的g（x）函數(shù)解析式是關(guān)于log2x的二次函數(shù)，常規(guī)的解題思路是設(shè)t＝log2x，則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為u（t）＝t2+（a-4）t+4-2a，需進(jìn)行較為復(fù)雜的分類討論，學(xué)生們感到解題難度非常的大，很多同學(xué)都選擇了放棄.但我們再去觀察一下這道題目，參量a的范圍題目中已經(jīng)給出了，那我們不妨利用主元變更法的思路來構(gòu)造新的函數(shù)模型，回避分類討論.具體來講，學(xué)生可以把關(guān)于log2x的二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為以a為自變量的一次函數(shù)，設(shè)f（a）=（log2x-2）a+log22x-4

log2x+4，那么要使f（a）在設(shè)a∈［-1，1］時恒大于零，我們只需要取特殊點，當(dāng)且僅當(dāng)f（1）＞0，f（-1）＞0時即可成立，代入可得log2x<1或log2x>3，接著解這兩個不等式就可以得出x的取值范圍為（0，2）∪（8，+∞），這樣解題就高效簡便得多了，學(xué)生們也更容易接受.

評析 在實際解題中，教師要善于根據(jù)題目中的條件，對題設(shè)條件中的不同情況加以分類，逐類求解，這種分類討論的方法是學(xué)生必須掌握的解答函數(shù)類題目的基本思路，教師在教學(xué)中，要善于引導(dǎo)學(xué)生捕捉題目中的關(guān)鍵信息，從而生成最佳的解題思路，為高效解題奠定堅實的基礎(chǔ).

3 代入檢驗，獲得信息矛盾

檢驗答案是教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)的一種良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.一方面，可以使學(xué)生通過檢驗判斷答案是否正確，當(dāng)出現(xiàn)信息矛盾時及時糾錯、改錯，避免出現(xiàn)粗心大意、考慮不全面等情況；另一方面，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與深刻性，使學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)與思維品質(zhì)，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).

例3 若數(shù)列｛an｝與｛bn｝中，a1＝b1＝1，an+1-an＝2，bn/bn+1＝1/2（n≥1），則｛anbn｝的前n項和為（? ）.

A.3-（2n+3）（1/2）2 B.6-（2n+3）（1/2）2-1

C.（3-2n）22-3D.（2n-3）22+3

解析 首先我們可以取特殊值n＝1，2，3，則a1、a2、a3依次為1，3，5，同理b1，b2，b3依次為1，2，4，那么a1b1＝1，a2b2＝6，a3b3＝20.接下來代入選項進(jìn)行檢驗，當(dāng)n＝1時代入A選項，S1＝3-（2+3）/（1/2）2＝-17≠1＝a1b1，可排除A選項.同理代入C選項可得S1＝（3-2）×2-3＝-1≠1＝a1b1，可排除C選項.最后將n＝2代入B選項，S2＝6-（2×2+3）（1/2）＝6-7/2＝5/2≠1+6＝a1b1+a2b2，可排除B選項，綜合可得正確答案為D.這樣，通過利用特殊值法和代入檢驗法，使該問題的順利解答.

評析 一般來說，代入檢驗的基本思路是把最終得到的答案帶回原條件中進(jìn)行檢驗，或者把答案當(dāng)作條件來解題目中的其他條件，以此來驗證結(jié)果是否正確.但有時因代入檢驗的計算量過大，會浪費時間，學(xué)生也可以利用代入符合答案范圍的特殊值進(jìn)行檢驗，通過特殊值、特例來快速檢驗答案，提升檢驗效率，這都是對學(xué)生靈活處理數(shù)學(xué)問題能力的檢驗，也是學(xué)生深度理解和運用數(shù)學(xué)知識的體現(xiàn).

4 定位變量，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合

我們在對變量進(jìn)行賦值或取特殊值的時候，如果我們忽視題設(shè)的條件，沒有充分考慮到變量的取值范圍，出現(xiàn)無效賦值或解題錯誤的情況，則無疑會導(dǎo)致問題解決過程中出現(xiàn)南轅北轍，使得問題解決功虧一簣.因此，對于某些數(shù)學(xué)題目來講，學(xué)生要善于運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，借數(shù)的精確性與形的直觀性來使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，進(jìn)而可以有效定位變量的范圍并進(jìn)行賦值，找到解題的切入點.

例4 函數(shù)f（x）=x+1/|x|的圖象可能是（? ）.

解析 在解答這類型題目的時候，我們可以結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及取特殊值的方法來進(jìn)行判定.以單調(diào)性來看，當(dāng)x∈（0，1）時，函數(shù)f（x）=x+1/x，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)x∈（1，++∞）時，函數(shù)f（x）=x+1/x，其圖象為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x∈（-∞，0）時，同理函數(shù)f（x）=x-1/x，為單調(diào)遞增函數(shù)，可確定正確答案為A.除了這個方法之外，學(xué)生也可以取一些特殊點，比如x＝-2，-1/2，1/2，1，2等，代入解析式結(jié)合圖象來進(jìn)行排除，這樣能進(jìn)一步縮短解題時間.

評析 在利用特殊值法在解答這類型題目的時候，我們對于變量的取值要符合題設(shè)條件與不同函數(shù)定義域、值域等隱形條件，同時要善于抓好拐點、極值點、最值點這些特殊點，充分理解這些特殊點的含義，這樣既能幫助我們利用賦值巧解復(fù)雜數(shù)學(xué)問題，達(dá)到事半功倍的效果，更可培養(yǎng)學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題，能全面深刻的認(rèn)知數(shù)學(xué)問題.

5 合理賦值，巧解不等式

特殊值法在解答不等式相關(guān)的問題中的妙用有很多，甚至可以說是解答不等式類選擇題目的首選方法.我們可以通過對不等式中的變量賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式，再加上恰當(dāng)?shù)倪\算和推理，就可以將復(fù)雜的推導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為簡單的計算問題，進(jìn)而通過簡化計算與推導(dǎo)過程幫助學(xué)生節(jié)省解題時間，達(dá)到快速高效做題的目的.

例5 設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f ′（x），且2f（x）+xf ′（x）＞x2，則在R上恒成立的是（? ）.

A.f（x）＞0?? B.f（x）＜0

C.f（x）＞xD.f（x）＜x

解析 如果用常規(guī)思路去解題的話，根據(jù)2f（x）+xf ′（x）＞x2，我們可以構(gòu)造函數(shù)記g（x）=x2f（x），令g′（x）=x［2f（x）+xf ′（x））］＝0得唯一駐點x=0，那么當(dāng)x＜0時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞0時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，也就是g（0）為該函數(shù)的最小值，g（0）＝0，因此恒有g(shù)（x）=x2f（x）＞g（0）＝0，可得f（x）＞0，當(dāng)x＝0時同樣滿足，因此可得到正確答案為A.但在解答這道題目的時候，特殊值法是一個很好用的解題技巧，學(xué)生也可以用這個方法來解題.不過這一次我們賦值的不是特殊的數(shù)值，而是特殊的函數(shù).我們可以根據(jù)已知條件取容易計算的特殊函數(shù)f（x）＝x2，則f ′（x）＝2x，那么題目中的2f（x）+xf ′（x）就變?yōu)榱?x2+x（2x）＝4x2，原不等式也就轉(zhuǎn)化為4x2＞x2，自然而然是成立的.那么f（x）＝x2＞0對應(yīng)A選項，可得A選項是正確的，這樣對于解選擇題來說就快的多了.

評析 在數(shù)學(xué)解題中，教師根據(jù)題目條件，通過結(jié)合具體的數(shù)學(xué)題目，使學(xué)生從中思考如何分析與應(yīng)用賦特殊值法，可以幫助學(xué)生有效掌握這種解題策略，提升數(shù)學(xué)解題能力，讓學(xué)生在靈活的數(shù)學(xué)解題中樹立對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.

總之，在解答數(shù)學(xué)題目的過程中，需要學(xué)生掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)知識、一定的解題技巧及解題思想.因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生做好題型的歸納與總結(jié)，學(xué)會從中提煉解題規(guī)律，掌握解題技巧，進(jìn)而能在遇到同類型題目時，從腦中的知識體系和解題技巧體系中逐一搜索，找到適合的解題思路與方法，這樣才能真正提升數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-11-25

作者簡介：姚順禹（1992.11-），男，江蘇省淮安人，碩士，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.