應(yīng)用特殊值法 提升數(shù)學(xué)解題能力

摘 要：特殊值法可理解為對(duì)題目中未知量取具體的數(shù)值，代入有關(guān)代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)便高效的解題.對(duì)此，本文著重探討特殊值法在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的具體應(yīng)用，幫助學(xué)生掌握這種數(shù)學(xué)解題技巧，探尋數(shù)學(xué)解題新思路，能夠舉一反三、靈活變通地應(yīng)對(duì)不同類型的數(shù)學(xué)題目.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；特殊值法；分類討論

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ??文章編號(hào)：1008-0333（2023）06-0044-03

在解答某些數(shù)學(xué)題目的過(guò)程中，可以通過(guò)設(shè)題中某個(gè)未知量為特殊值的方式幫助我們簡(jiǎn)化解題過(guò)程，得到最終答案，這種解題策略的應(yīng)用能夠幫助學(xué)生節(jié)省解題時(shí)間，提升解題效率.因此，從這個(gè)思路出發(fā)，本文主要探討特殊值法在數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用，并主要圍繞轉(zhuǎn)換角度、構(gòu)造函數(shù)、代入檢驗(yàn)、定位變量以及合理賦值這幾個(gè)方向展開(kāi)具體探討，以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用特殊值法高效簡(jiǎn)便解題，切實(shí)提升數(shù)學(xué)解題能力.

1 轉(zhuǎn)換角度，減少計(jì)算壓力

特殊值法體現(xiàn)的是從一般到特殊，再?gòu)奶厥獾揭话愕慕忸}思想.如果數(shù)學(xué)題目中的已知條件十分抽象、數(shù)量關(guān)系非常復(fù)雜、用常規(guī)思路解題難度很大時(shí)，我們可以通過(guò)選擇合適的特殊數(shù)、特殊點(diǎn)、特殊數(shù)列、特殊圖形等，轉(zhuǎn)換問(wèn)題思考的角度，從特殊中探索解答問(wèn)題的規(guī)律，正確求得答案.

例1 如果x、y、z是全不相等的實(shí)數(shù)，且a=x2-yz，b＝y(tǒng)2-zx，c＝z2-xy，則下列結(jié)論正確的是（? ）.

A.a，b，c都不小于0

B.a，b，c都大小于0

C.a，b，c至少有一個(gè)小于0

D.a，b，c至少有一個(gè)大于0

解析 這道題中的未知數(shù)是比較多的，如果我們用常規(guī)思路去解題的話，所構(gòu)造出的代數(shù)式較為復(fù)雜，解題難度較大.這時(shí)我們就可以應(yīng)用特殊值法的思路，根據(jù)題設(shè)條件由于x，y，z是不全相等的實(shí)數(shù)，可取值的范圍是比較大的，我們可以選擇容易計(jì)算的實(shí)數(shù)如令x＝1，y＝-1，z＝1，分別代入a=x2-yz，b＝y(tǒng)2-zx，c＝z2-xy計(jì)算可得a＝2，b＝0，c＝2，可排除B和C選項(xiàng)；繼續(xù)取特殊值令x＝1，y＝-1，z＝2，代入可得a＝3，b＝-1，c＝5，可排除A選項(xiàng)，故正確答案為D，快速解答了該題目.

評(píng)析 在面對(duì)一些計(jì)算難度較大的數(shù)學(xué)題目的時(shí)候，我們可以根據(jù)題設(shè)條件將其中的某個(gè)未知量設(shè)為特殊值，但要注意這個(gè)量的取值要和最終要求的結(jié)果有所聯(lián)系，并且無(wú)論取值多少都不會(huì)影響最后要求的量的值，這樣才可以在一定程度上幫助我們簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，減少計(jì)算壓力，實(shí)現(xiàn)靈活高效解題，從而提升數(shù)學(xué)解題的效率.

2 構(gòu)造函數(shù)，避免分類討論

構(gòu)造函數(shù)的方法一般應(yīng)用于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)綜合題目的解答中.這類題目的難點(diǎn)就在于分類討論和最值轉(zhuǎn)化，需要學(xué)生通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式來(lái)將復(fù)雜的函數(shù)形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這樣才能往下推導(dǎo)計(jì)算，在實(shí)現(xiàn)快捷解題的同時(shí)，更培養(yǎng)了學(xué)生融會(huì)貫通的能力.

例2 設(shè)a∈［-1，1］，且函數(shù)g（x）=log22x+（a-4）log2x+4-2a恒為正值，求x的取值范圍.

解析 本道題目中給出的g（x）函數(shù)解析式是關(guān)于log2x的二次函數(shù)，常規(guī)的解題思路是設(shè)t＝log2x，則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為u（t）＝t2+（a-4）t+4-2a，需進(jìn)行較為復(fù)雜的分類討論，學(xué)生們感到解題難度非常的大，很多同學(xué)都選擇了放棄.但我們?cè)偃ビ^察一下這道題目，參量a的范圍題目中已經(jīng)給出了，那我們不妨利用主元變更法的思路來(lái)構(gòu)造新的函數(shù)模型，回避分類討論.具體來(lái)講，學(xué)生可以把關(guān)于log2x的二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為以a為自變量的一次函數(shù)，設(shè)f（a）=（log2x-2）a+log22x-4

log2x+4，那么要使f（a）在設(shè)a∈［-1，1］時(shí)恒大于零，我們只需要取特殊點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f（1）＞0，f（-1）＞0時(shí)即可成立，代入可得log2x<1或log2x>3，接著解這兩個(gè)不等式就可以得出x的取值范圍為（0，2）∪（8，+∞），這樣解題就高效簡(jiǎn)便得多了，學(xué)生們也更容易接受.

評(píng)析 在實(shí)際解題中，教師要善于根據(jù)題目中的條件，對(duì)題設(shè)條件中的不同情況加以分類，逐類求解，這種分類討論的方法是學(xué)生必須掌握的解答函數(shù)類題目的基本思路，教師在教學(xué)中，要善于引導(dǎo)學(xué)生捕捉題目中的關(guān)鍵信息，從而生成最佳的解題思路，為高效解題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3 代入檢驗(yàn)，獲得信息矛盾

檢驗(yàn)答案是教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)的一種良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.一方面，可以使學(xué)生通過(guò)檢驗(yàn)判斷答案是否正確，當(dāng)出現(xiàn)信息矛盾時(shí)及時(shí)糾錯(cuò)、改錯(cuò)，避免出現(xiàn)粗心大意、考慮不全面等情況；另一方面，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與深刻性，使學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)與思維品質(zhì)，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).

例3 若數(shù)列｛an｝與｛bn｝中，a1＝b1＝1，an+1-an＝2，bn/bn+1＝1/2（n≥1），則｛anbn｝的前n項(xiàng)和為（? ）.

A.3-（2n+3）（1/2）2 B.6-（2n+3）（1/2）2-1

C.（3-2n）22-3D.（2n-3）22+3

解析 首先我們可以取特殊值n＝1，2，3，則a1、a2、a3依次為1，3，5，同理b1，b2，b3依次為1，2，4，那么a1b1＝1，a2b2＝6，a3b3＝20.接下來(lái)代入選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng)n＝1時(shí)代入A選項(xiàng)，S1＝3-（2+3）/（1/2）2＝-17≠1＝a1b1，可排除A選項(xiàng).同理代入C選項(xiàng)可得S1＝（3-2）×2-3＝-1≠1＝a1b1，可排除C選項(xiàng).最后將n＝2代入B選項(xiàng)，S2＝6-（2×2+3）（1/2）＝6-7/2＝5/2≠1+6＝a1b1+a2b2，可排除B選項(xiàng)，綜合可得正確答案為D.這樣，通過(guò)利用特殊值法和代入檢驗(yàn)法，使該問(wèn)題的順利解答.

評(píng)析 一般來(lái)說(shuō)，代入檢驗(yàn)的基本思路是把最終得到的答案帶回原條件中進(jìn)行檢驗(yàn)，或者把答案當(dāng)作條件來(lái)解題目中的其他條件，以此來(lái)驗(yàn)證結(jié)果是否正確.但有時(shí)因代入檢驗(yàn)的計(jì)算量過(guò)大，會(huì)浪費(fèi)時(shí)間，學(xué)生也可以利用代入符合答案范圍的特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，通過(guò)特殊值、特例來(lái)快速檢驗(yàn)答案，提升檢驗(yàn)效率，這都是對(duì)學(xué)生靈活處理數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的檢驗(yàn)，也是學(xué)生深度理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的體現(xiàn).

4 定位變量，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合

我們?cè)趯?duì)變量進(jìn)行賦值或取特殊值的時(shí)候，如果我們忽視題設(shè)的條件，沒(méi)有充分考慮到變量的取值范圍，出現(xiàn)無(wú)效賦值或解題錯(cuò)誤的情況，則無(wú)疑會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題解決過(guò)程中出現(xiàn)南轅北轍，使得問(wèn)題解決功虧一簣.因此，對(duì)于某些數(shù)學(xué)題目來(lái)講，學(xué)生要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，借數(shù)的精確性與形的直觀性來(lái)使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，進(jìn)而可以有效定位變量的范圍并進(jìn)行賦值，找到解題的切入點(diǎn).

例4 函數(shù)f（x）=x+1/|x|的圖象可能是（? ）.

解析 在解答這類型題目的時(shí)候，我們可以結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及取特殊值的方法來(lái)進(jìn)行判定.以單調(diào)性來(lái)看，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)f（x）=x+1/x，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)x∈（1，++∞）時(shí)，函數(shù)f（x）=x+1/x，其圖象為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，同理函數(shù)f（x）=x-1/x，為單調(diào)遞增函數(shù)，可確定正確答案為A.除了這個(gè)方法之外，學(xué)生也可以取一些特殊點(diǎn)，比如x＝-2，-1/2，1/2，1，2等，代入解析式結(jié)合圖象來(lái)進(jìn)行排除，這樣能進(jìn)一步縮短解題時(shí)間.

評(píng)析 在利用特殊值法在解答這類型題目的時(shí)候，我們對(duì)于變量的取值要符合題設(shè)條件與不同函數(shù)定義域、值域等隱形條件，同時(shí)要善于抓好拐點(diǎn)、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)這些特殊點(diǎn)，充分理解這些特殊點(diǎn)的含義，這樣既能幫助我們利用賦值巧解復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題，達(dá)到事半功倍的效果，更可培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，能全面深刻的認(rèn)知數(shù)學(xué)問(wèn)題.

5 合理賦值，巧解不等式

特殊值法在解答不等式相關(guān)的問(wèn)題中的妙用有很多，甚至可以說(shuō)是解答不等式類選擇題目的首選方法.我們可以通過(guò)對(duì)不等式中的變量賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式，再加上恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算和推理，就可以將復(fù)雜的推導(dǎo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題，進(jìn)而通過(guò)簡(jiǎn)化計(jì)算與推導(dǎo)過(guò)程幫助學(xué)生節(jié)省解題時(shí)間，達(dá)到快速高效做題的目的.

例5 設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f ′（x），且2f（x）+xf ′（x）＞x2，則在R上恒成立的是（? ）.

A.f（x）＞0?? B.f（x）＜0

C.f（x）＞xD.f（x）＜x

解析 如果用常規(guī)思路去解題的話，根據(jù)2f（x）+xf ′（x）＞x2，我們可以構(gòu)造函數(shù)記g（x）=x2f（x），令g′（x）=x［2f（x）+xf ′（x））］＝0得唯一駐點(diǎn)x=0，那么當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，也就是g（0）為該函數(shù)的最小值，g（0）＝0，因此恒有g(shù)（x）=x2f（x）＞g（0）＝0，可得f（x）＞0，當(dāng)x＝0時(shí)同樣滿足，因此可得到正確答案為A.但在解答這道題目的時(shí)候，特殊值法是一個(gè)很好用的解題技巧，學(xué)生也可以用這個(gè)方法來(lái)解題.不過(guò)這一次我們賦值的不是特殊的數(shù)值，而是特殊的函數(shù).我們可以根據(jù)已知條件取容易計(jì)算的特殊函數(shù)f（x）＝x2，則f ′（x）＝2x，那么題目中的2f（x）+xf ′（x）就變?yōu)榱?x2+x（2x）＝4x2，原不等式也就轉(zhuǎn)化為4x2＞x2，自然而然是成立的.那么f（x）＝x2＞0對(duì)應(yīng)A選項(xiàng)，可得A選項(xiàng)是正確的，這樣對(duì)于解選擇題來(lái)說(shuō)就快的多了.

評(píng)析 在數(shù)學(xué)解題中，教師根據(jù)題目條件，通過(guò)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)題目，使學(xué)生從中思考如何分析與應(yīng)用賦特殊值法，可以幫助學(xué)生有效掌握這種解題策略，提升數(shù)學(xué)解題能力，讓學(xué)生在靈活的數(shù)學(xué)解題中樹(shù)立對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.

總之，在解答數(shù)學(xué)題目的過(guò)程中，需要學(xué)生掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)、一定的解題技巧及解題思想.因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生做好題型的歸納與總結(jié)，學(xué)會(huì)從中提煉解題規(guī)律，掌握解題技巧，進(jìn)而能在遇到同類型題目時(shí)，從腦中的知識(shí)體系和解題技巧體系中逐一搜索，找到適合的解題思路與方法，這樣才能真正提升數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 劉海杰.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用措施分析［J］.

數(shù)理化解題研究，2022（12）：14-16.

［2］ 許佳，陳振鋒.例析特值法在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2021（3）：54-55.

［3］ 褚夢(mèng)琪.運(yùn)用特殊值法，提升高中數(shù)學(xué)的解題效率［J］.語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)，2017（1）：35-35.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-11-25

作者簡(jiǎn)介：姚順禹（1992.11-），男，江蘇省淮安人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.