借助矩形模型圖式探尋乘法運(yùn)算的一致性

王燕珠

矩形模型圖式有助于計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)，有助于貫連小學(xué)階段的整數(shù)乘法、小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法。基于數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算的一致性，筆者通過整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位的整體認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)感，并借助矩形模型圖式探尋乘法運(yùn)算的一致性，以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體感悟和一致性感知，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的至簡(jiǎn)之美。

一、問題的提出

在一節(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的課堂教學(xué)里，面對(duì)“用面積模型表示3/4的1/4是多少”這個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)，一個(gè)學(xué)生突然很沮喪：“不是3/4的1/4嗎？我也是把3/4再平均分成4份，可是這樣畫看不出結(jié)果是多少？”細(xì)看他畫的圖，原來他嘗試把3/4的部分再次豎著平均分成了4份，兩次均分都是豎著分，為什么不能直觀看出結(jié)果呢？學(xué)生為什么堅(jiān)持豎著兩次均分呢？

是的，“3/4的部分再次豎著平均分成了4份”并不能直觀看出原單位面積圖形到底被平均分成了幾份，可以把3/4看成300/400，300份就能被均分成4份了。學(xué)生堅(jiān)持豎著兩次均分主要是因?yàn)槭芰?xí)慣影響，在前面分?jǐn)?shù)乘法的學(xué)習(xí)中，碰到的基本是單次均分，要么單次豎著均分，要么單次橫著均分，都可直觀看出結(jié)果。那么如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)可“求3/4的1/4是多少，用乘法計(jì)算”？如何引導(dǎo)學(xué)生理解需要橫向和縱向二維觀察的面積模型表示分?jǐn)?shù)乘法？

對(duì)于面積模型學(xué)生并不陌生，縱觀北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，在整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法都有不少的涉及和使用，其他版本教材也基本如此。用面積模型表示分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)時(shí)，需要橫向和縱向的二維觀察，按理說學(xué)生是不陌生的。那么問題在哪里呢？問題就出在“為什么要用面積模型？”顯然不是“因?yàn)槊娣e模型一目了然，很直觀”就可以回答清楚的，必須弄明白面積模型使用的必要性。實(shí)際上，乘法運(yùn)算本身，在計(jì)算3/4×1/4=3/16時(shí)產(chǎn)生了新的分?jǐn)?shù)單位1/16，可借助面積模型直觀得到。關(guān)于分?jǐn)?shù)乘法里的面積模型，研究者劉加霞將其列為乘法的現(xiàn)實(shí)模型之一，稱之為矩形模型。這里的矩形模型在整數(shù)乘法里實(shí)際上就是點(diǎn)陣圖，在小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法里就是面積模型，所以基于對(duì)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的整體性理解，筆者將其稱之為矩形模型，對(duì)應(yīng)的圖式就是矩形模型圖式。另外，要充分認(rèn)識(shí)數(shù)的運(yùn)算的一致性，要清楚“數(shù)的認(rèn)識(shí)的一致性”這個(gè)前提，基于數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算的一致性，筆者通過整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位的整體認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)感，并借助矩形模型圖式探尋乘法運(yùn)算的一致性，以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體感悟和一致性感知，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的至簡(jiǎn)之美。

二、借助矩形模型圖示，探尋乘法運(yùn)算的一致性

相比乘法現(xiàn)實(shí)意義的多樣性，乘法算理更具一般性，算理承載著數(shù)和數(shù)運(yùn)算的抽象發(fā)展，肩負(fù)著學(xué)生數(shù)感的形成，承擔(dān)著促使學(xué)生運(yùn)算能力提升的關(guān)鍵作用，所以，算理的探索是小學(xué)學(xué)習(xí)最重要的任務(wù)之一。如果能將乘法算理和乘法現(xiàn)實(shí)意義相聯(lián)系，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力也會(huì)隨之發(fā)展和提升。基于乘法的現(xiàn)實(shí)意義，研究者劉加霞將乘法的現(xiàn)實(shí)模型概括為等量組的聚集模型、倍數(shù)模型、配對(duì)模型和矩形模型，并進(jìn)一步指出最基本的是聚集模型，其他幾種模型都可以轉(zhuǎn)化為聚集模型。這里由于要借助矩形模型圖來認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位視角下的乘法運(yùn)算，筆者嘗試用等量組的聚集模型這個(gè)最基本的模型來認(rèn)識(shí)乘法的意義，以溝通乘法算理與乘法意義之間的聯(lián)系，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)乘法運(yùn)算的一致性，如表1、表2所示（用計(jì)數(shù)單位表征乘法運(yùn)算）。

（一）整數(shù)乘法運(yùn)算的一致性

以2×3=6、2×30=60、20×30=600這三種情形為例，用“往回看”的方法，先看整十乘整十的情況，最為熟知的一條規(guī)律就是“先不看乘數(shù)末尾的0，2和3相乘得6，乘數(shù)末尾共有幾個(gè)0，就在6的后面添上幾個(gè)0”，如果這樣的規(guī)律發(fā)現(xiàn)僅通過幾組乘法算式得到，而沒有加以解釋，那么就喪失了很多說理明理的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。2個(gè)十乘3個(gè)十，得到了與20、30這兩個(gè)乘數(shù)都不一樣的計(jì)數(shù)單位“百”，乘法運(yùn)算過程里誕生了新的計(jì)數(shù)單位，借助矩形模型的圖式可以清楚地看到：橫向觀察是3個(gè)十，豎向觀察是2個(gè)十，根據(jù)行列的排列規(guī)則，先看10行10列，十個(gè)十就是百，先有一個(gè)百，再依據(jù)排列（2排3列）的順序，共能數(shù)出6個(gè)百。以此類推，借助千的立方體觀察20×300，可以觀察到10個(gè)100得1個(gè)千，共得到6個(gè)千，所以20×300=6000。

用同樣的方法繼續(xù)“往回看”2×30=60和2×3=6，根據(jù)排列順序，分別共得6個(gè)十和6個(gè)一，也就是60和6。從自然數(shù)的角度看數(shù)感的形成和發(fā)展，有研究表明，人們普遍天生有個(gè)數(shù)方面的數(shù)感，容易察覺到幾個(gè)一，而對(duì)于幾十個(gè)幾十，幾十個(gè)幾百等不是“一”的計(jì)數(shù)單位，就難以對(duì)結(jié)果有明確感知。行列的有序排列，也就是矩形模型圖式，貫通了乘法和加法的聯(lián)系，使人們可以在乘法的運(yùn)算中，感受到數(shù)的不斷累積，進(jìn)一步形成和發(fā)展與較大計(jì)數(shù)單位有關(guān)的數(shù)感。

（二）小數(shù)乘法運(yùn)算的一致性

以2×0.3=0.6、0.2×0.3=0.06為例來看小數(shù)乘法，2個(gè)0.3實(shí)際上就是2個(gè)3/10，觀察矩形模型圖式，橫向看是2個(gè)一，豎向看是3個(gè)1/10，1個(gè)一先乘1個(gè)1/10得1個(gè)1/10，計(jì)數(shù)單位與乘數(shù)0.3的一樣，再根據(jù)行列順序數(shù)一數(shù)，共得6個(gè)1/10。算式0.2×0.3=0.06，2個(gè)0.1和3個(gè)0.1相乘為什么得到兩位小數(shù)0.06呢？得數(shù)的計(jì)數(shù)單位與乘數(shù)0.2和0.3為什么都不一樣呢？觀察矩形模型圖式，可以將0.2×0.3理解為0.2個(gè)0.3，即2/10個(gè)3/10，那么就要先關(guān)注1/10個(gè)1/10，也就是1/10的1/10，為1/100，1/10個(gè)1/10是1個(gè)1/100，得到了新的計(jì)數(shù)單位1/100，根據(jù)行列排列的順序數(shù)一數(shù)可得6個(gè)1/100，為6個(gè)0.01，是0.06。

小數(shù)是基于現(xiàn)實(shí)生活度量的需要，由于度量需求的精準(zhǔn)，需要十等分、再十等分、繼續(xù)十等分等，它是一種更具現(xiàn)實(shí)意義的數(shù)。但是小數(shù)乘法算理仍是建立在分?jǐn)?shù)乘法算理的基礎(chǔ)上，且基本與分?jǐn)?shù)乘法算理一致，由于小數(shù)是更具現(xiàn)實(shí)意義的一種數(shù)，要形成和發(fā)展關(guān)于小數(shù)的數(shù)感，必須通過分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)乘法的算理來深刻認(rèn)識(shí)小數(shù)和小數(shù)乘法最原本的模樣，再結(jié)合小數(shù)豐富的現(xiàn)實(shí)意義，進(jìn)一步發(fā)展與小數(shù)有關(guān)的數(shù)感和量感，完成對(duì)小數(shù)這一具有明顯現(xiàn)實(shí)意義模型的進(jìn)階認(rèn)識(shí)。

（三）分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的一致性

分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算是建立在分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)單位、真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)上的，通過分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義，認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)一樣都有明確的計(jì)數(shù)單位，分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位就是分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算同整數(shù)乘法和小數(shù)乘法一樣，是基于計(jì)數(shù)單位的累加，在算理上是一致的。算式2×3/4=6/4，表示2個(gè)3/4是6/4，即2個(gè)一乘3個(gè)1/4是6個(gè)1/4，觀察矩形模型圖示，1個(gè)一和1個(gè)1/4相乘，得1個(gè)1/4，乘積的計(jì)數(shù)單位和3/4一樣，再根據(jù)行列的排列順序，共6個(gè)1/4，得6/4，化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)后是3/2。另外，根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義和倍數(shù)的知識(shí)儲(chǔ)備，將3/4理解為一個(gè)倍率，一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少相當(dāng)于求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，都可以用乘法計(jì)算，對(duì)部分學(xué)生來說，這樣的類比推理是有現(xiàn)實(shí)意義的，也是可以抽象理解的。但考慮到小學(xué)生身心發(fā)展的特點(diǎn)，抽象意識(shí)還有待萌芽和發(fā)展，那么如何使學(xué)生認(rèn)可“一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算”這一基本事實(shí)呢？實(shí)際上，根據(jù)畫圖操作，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)2的3/4是6個(gè)1/4，即6/4，2個(gè)3/4也就是6個(gè)1/4，也得6/4，因此從計(jì)數(shù)單位的視角觀察操作過程和操作結(jié)果都能發(fā)現(xiàn)：2的3/4是多少，相當(dāng)于求2個(gè)3/4是多少，再給學(xué)生提供多一些的具有現(xiàn)實(shí)意義的分?jǐn)?shù)情境問題，在不斷的獨(dú)立思考、合作交流中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，促使學(xué)生不斷認(rèn)可“一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算”這一基本事實(shí)。

求2/3的3/5是多少為什么用乘法列式？學(xué)生難以具象化認(rèn)識(shí)其中的關(guān)聯(lián)，借助矩形模型圖示可以解決這一問題。根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，“2/3的3/5是多少”也可做矩形模型圖示，豎向看是2個(gè)1/3，橫向看是3個(gè)1/5，先用行列排序的方式觀察計(jì)數(shù)單位的情況，1/3個(gè)1/5就是1/15，用計(jì)數(shù)單位1/15來數(shù)一數(shù)，共有6個(gè)1/15，得6/15，化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)后是2/5。從行列的觀察角度還能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，矩形模型圖示表示的也是2/3個(gè)3/5，列式為2/3×3/5。只從一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少來觀察矩形模型圖示，這里仍存在一個(gè)疑惑點(diǎn)：為什么2/3的3/5是多少，得數(shù)的計(jì)數(shù)單位是兩個(gè)乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位的乘積呢？學(xué)生如果只關(guān)注分?jǐn)?shù)的意義，停留在不斷思考“2/3的3/5是多少”這個(gè)問題本身，不但想不明白結(jié)果是多少，也難以想明白2/3的3/5為什么也用乘法計(jì)算。一般來說，求2/3的3/5是多少，其結(jié)果仍是相當(dāng)于求2/3的3/5的部分占原單位“1”的幾分之幾，所以如果把思考的焦點(diǎn)聚集在原單位“1”被均分的情況，很快就能活絡(luò)學(xué)習(xí)思路，用行列的觀察方法來看待分?jǐn)?shù)乘法，就能明白2/3×3/5=6/15像2×3=6一樣，2個(gè)3是6，2個(gè)1/3乘3個(gè)1/5是6個(gè)1/15，即2/3個(gè)3/5是6個(gè)1/15，得6/15。

（四）乘法運(yùn)算的一致性

上文分別根據(jù)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)和對(duì)應(yīng)的乘法運(yùn)算學(xué)習(xí)脈絡(luò)，借助矩形模型圖示，用行列排序的觀察方法呈現(xiàn)了乘法運(yùn)算的一致性?；乜淳匦文Ｐ蛨D示，可以進(jìn)一步總結(jié)和發(fā)現(xiàn)乘法運(yùn)算一致性主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一，乘積的計(jì)數(shù)單位就是兩個(gè)乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘。乘積的計(jì)數(shù)單位具體如何產(chǎn)生，要結(jié)合具體的圖示，主要有兩種情況，一是與其中一個(gè)乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位一樣，這類一般是其中一個(gè)乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位是一，那么乘積的計(jì)數(shù)單位就與另一個(gè)乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位一樣；二是乘積的計(jì)數(shù)單位與兩個(gè)乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位都不一樣，結(jié)合矩形模型圖示的觀察，順著行列排序的順序，先豎向看再橫向看，或者先橫向看再豎向看，如果觀察得到十個(gè)十，會(huì)產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位百，如果觀察得到1/10個(gè)1/10，會(huì)產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位1/100，以此類推。第二，無論是從乘法的意義出發(fā)，還是從乘法的算理出發(fā)，都能回歸到“幾個(gè)幾”來進(jìn)一步探究，因?yàn)槌朔ㄊ羌臃ǖ暮?jiǎn)便運(yùn)算，乘積就是計(jì)數(shù)單位累加的結(jié)果。

三、結(jié)語(yǔ)

基于運(yùn)算的整體性視角，乘法運(yùn)算的一致性學(xué)習(xí)需要學(xué)生主動(dòng)參與乘法運(yùn)算算理探討的過程，觀察和明晰說理。教師要密切關(guān)注計(jì)數(shù)單位的學(xué)習(xí)，以計(jì)數(shù)單位的學(xué)習(xí)為抓手，重視矩形模型圖式的應(yīng)用，多用數(shù)理的方式展開乘法算理的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生能看到、能推理、能言說，提升學(xué)生對(duì)乘法運(yùn)算的一致性認(rèn)識(shí)和理解，助推學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。