基于模擬退火粒子群算法的拱橋扣索索力優(yōu)化

劉 威

(湖南軌道交通控股集團(tuán)有限公司,湖南 長(zhǎng)沙 410006)

1 模擬退火粒子群算法

1.1 基本粒子群算法

(1)

(2)

式中:d為粒子維度;w為慣性權(quán)重因子;k為迭代次數(shù);c1、c2為學(xué)習(xí)因子[8];r1和r2為均勻分布在[0,1]之間的隨機(jī)數(shù);Gbest和Pbest分別為全局最優(yōu)位置和局部最優(yōu)位置。

1.2 模擬退火算法

模擬退火(SA)算法最早是由Metropolis模擬物理上的退火過(guò)程而提出,首先將固體物質(zhì)加熱,隨著溫度不斷的升高,物質(zhì)內(nèi)部的粒子變得活躍起來(lái)并處于無(wú)序狀態(tài);之后再將其慢慢冷卻,隨著溫度的下降,物質(zhì)內(nèi)部的粒子又由無(wú)序狀態(tài)變成有序狀態(tài),該過(guò)程即為退火過(guò)程。根據(jù)優(yōu)化問(wèn)題和退火過(guò)程的特點(diǎn),可以將模擬退火算法應(yīng)用于各種優(yōu)化問(wèn)題中。

SA算法在對(duì)目標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行尋優(yōu)時(shí),首先設(shè)置一個(gè)初始溫度,并在解空間上生成一個(gè)初始解;然后對(duì)初始狀態(tài)進(jìn)行干擾,得到新解;之后采用Metropolis準(zhǔn)則判斷是否需要將新解與當(dāng)前解進(jìn)行替換;最后算法在溫度達(dá)到最低臨界值時(shí)得到全局最優(yōu)解。Metropolis準(zhǔn)則見(jiàn)公式(3)

(3)

式中:T為溫度參數(shù);f(i)、f(j)分別為固體在狀態(tài)i與j下的內(nèi)能。

由上式可以看出,當(dāng)f(i)≥f(j)時(shí),算法將會(huì)以100%的概率來(lái)接受這個(gè)新?tīng)顟B(tài);當(dāng)f(i)

1.3 模擬退火粒子群算法

PSO算法在對(duì)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化過(guò)程中,主要是通過(guò)不斷更新粒子的位置和速度使粒子不斷向Pbest和Gbest方向逼近。該算法在早期收斂速度很快,但到后期粒子速度接近0時(shí),其收斂速度顯著變慢甚至停滯不前,若此時(shí)計(jì)算出來(lái)的解為局部最優(yōu)解時(shí),那么粒子收斂于這個(gè)位置之后,將不再更新尋找全局最優(yōu)解。因此,PSO算法易陷入局部最優(yōu),同時(shí)還具有早熟收斂、搜索精度較低等缺點(diǎn)。

SA算法具有極強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力,并且可以以一定的概率接受計(jì)算時(shí)遇到的較差解,從而避免使其陷入局部最優(yōu),達(dá)到全局尋優(yōu)的效果。但該算法在運(yùn)算時(shí)收斂速度極慢,并且參數(shù)設(shè)置也比較復(fù)雜。

為了改善PSO算法早熟收斂、易陷于局部最優(yōu)的缺點(diǎn),發(fā)揮SA算法強(qiáng)大全局尋優(yōu)能力的優(yōu)點(diǎn),本文融合兩種算法,將SA算法中的Metropolis準(zhǔn)則應(yīng)用于PSO算法形成一種模擬退火的粒子群算法[9-10]。新算法具備兩種算法的優(yōu)點(diǎn),從而提升了算法的整體性能。

基于模擬退火粒子群算法的流程圖,具體步驟如下所示。

(1)初始化粒子的位置和速度,設(shè)置迭代次數(shù)k、種群大小N和維數(shù)D等相關(guān)參數(shù)。

(2)計(jì)算粒子的適應(yīng)度值。

(3)判斷全局最優(yōu)是否停滯或達(dá)到迭代次數(shù),若滿足則執(zhí)行步驟5,若不滿足,則進(jìn)行下一步迭代計(jì)算。

(4)根據(jù)公式(1)和公式(2)更新粒子的速度與位置。

(5)設(shè)置初始溫度T0。

(6)計(jì)算粒子的新適應(yīng)度值,并且根據(jù)公式(3)Metropolis準(zhǔn)則更新局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解。

(7)判斷是否滿足停止條件,若滿足則輸出結(jié)果;若不滿足,則執(zhí)行步驟6。

2 索力優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

對(duì)于拱橋索力優(yōu)化問(wèn)題,由于彎曲應(yīng)變能法可充分考慮拱橋結(jié)構(gòu)各部位的受力,塔架與拱肋的受力均可兼顧[11-12],因此本文采用彎曲應(yīng)變能法建立拱橋斜拉扣掛階段索力優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù),即以彎曲應(yīng)變能最小作為優(yōu)化目標(biāo)。

根據(jù)力學(xué)理論知識(shí)可知拱橋結(jié)構(gòu)主要構(gòu)件的彎曲應(yīng)變能U可表示為

(4)

式中:E、I分別為單元的彈性模型與截面慣性矩。

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化,則公式(4)可進(jìn)一步表示為

(5)

式中:L為單元長(zhǎng)度;m為單元總數(shù);i為單元號(hào);MLi和MRi分別為單元左端彎矩與右端彎矩。

公式(5)用矩陣形式可表示為

U={ML}T[B]{ML}+{MR}T[B]{MR}

(6)

式中:T表示矩陣的轉(zhuǎn)置;[B]為對(duì)角系數(shù)矩陣,具體形式見(jiàn)式(7)。

(7)

對(duì)調(diào)索前構(gòu)件左、右梁端彎矩ML0、MR0分別施加索力調(diào)整向量,則索力調(diào)整后的彎矩向量可表示為

{ML}={ML0}[CL]{Y}

{MR}={MR0}[CR]{Y}

(8)

式中:{Y}為扣索索力調(diào)整向量,Y=[y1,y2,...yn];[CL]為索力對(duì)單元左端的影響矩陣;[CR]為索力對(duì)單元右端的影響矩陣。

將公式(7)、公式(8)代入公式(6)中可得

U={ML0}T[B][CL]{Y}+{Y}T[CL]T[B]{ML0}+{YT}[CL]T[B][CL]{y}+MR0}T[B][CR]{Y}+{Y}T[CR]T[B]{MR0}+{YT}[CR]T[B][CR]{y}

(9)

對(duì)彎曲應(yīng)變能求一階導(dǎo)數(shù),并使其等于0,即為扣索索力調(diào)整后的彎矩應(yīng)變能最小,如公式(10)所示

(10)

式中:n為扣索個(gè)數(shù)。

聯(lián)立公式(9)與公式(10),并對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)可得

{[CL]T[B][CL]+[CR]T[B][CR]}{y}=-[CL]T[B]{ML0}-[CR]T[B]{MR0}

(11)

滿足上式一階線性方程組的施調(diào)向量[Y]即為以最小彎曲應(yīng)變能為優(yōu)化目標(biāo),拱橋扣索索力的解。

3 算例分析

3.1 工程概況及有限元模型建立

某鋼筋混凝土拱橋跨徑240 m,凈矢跨比為1/6,凈矢高為40 m,主梁采用箱型截面,截面寬、高分別為10 m、4.5 m;主拱圈采用斜拉扣掛懸臂澆筑技術(shù)進(jìn)行施工,該橋縱向共有37個(gè)節(jié)段。

3.2 有限元模型建立

本文采用大型通用有限元軟件ANSYS建立算例拱橋的有限元模型,拱橋有限元模型示意圖主梁采用beam189梁?jiǎn)卧M,扣錨索采用link10桿單元,梁?jiǎn)卧c桿單元之間采用MPC184約束單元進(jìn)行連接,拱橋建模的主要材料參數(shù)取值如表1所示。

表1 算例拱橋主要材料參數(shù)取值

3.3 拱橋扣索索力優(yōu)化模型建立及算法實(shí)現(xiàn)

根據(jù)相關(guān)理論,以最小化彎曲應(yīng)變能U作為拱橋斜拉扣掛階段扣索索力優(yōu)化目標(biāo)。懸臂澆筑拱橋在施工過(guò)程中主拱圈會(huì)因拉應(yīng)力過(guò)大而出現(xiàn)開(kāi)裂現(xiàn)象,在扣索索力優(yōu)化過(guò)程中,應(yīng)確保拱圈拉應(yīng)力始終小于拱圈拉應(yīng)力極限值,因此本文將其視為扣索索力優(yōu)化的約束條件。因此,拱橋扣索索力優(yōu)化模型用數(shù)學(xué)表達(dá)式可表述為

(12)

式中:D1,D2,...,D18為待優(yōu)化變量,表示1#～18#扣索初張力(由于算例拱橋?yàn)閷?duì)稱結(jié)構(gòu),故本文僅選取了拱橋右側(cè)扣索進(jìn)行分析);σ為拱圈拉應(yīng)力;[σ]為拱圈拉應(yīng)力限值,本文取[σ]=3 MPa[3]。

為對(duì)比基本粒子群算法與模擬退火粒子群算法對(duì)扣索索力優(yōu)化的優(yōu)劣性,利用MATLAB編寫兩種算法的計(jì)算程序,并分別對(duì)扣索索力進(jìn)行優(yōu)化,兩種算法的迭代結(jié)果如圖1所示

圖1 基本粒子群算法與模擬退火粒子群算法迭代效果對(duì)比圖

從圖1中可以看出,模擬退火粒子群算法收斂速度明顯優(yōu)于普通粒子群算法;與普通粒子群算法相比,模擬退火粒子群算法在收斂精度上也有一定提高,主要是由于普通粒子群算法在迭代后期易陷入局部最優(yōu),并且容易早熟收斂。

3.4 優(yōu)化結(jié)果分析

采用模擬退火粒子群算法優(yōu)化得到的扣索索力與優(yōu)化前的索力對(duì)比。與優(yōu)化前扣索索力相比,采用模擬退火粒子群算法優(yōu)化后的索力整體有增也有減,但優(yōu)化后扣索索力的最大值有顯著下降,優(yōu)化后扣索最大索力為1 882.58 kN,較優(yōu)化前下降了217.42 kN;觀察優(yōu)化前后各扣索索力的變化趨勢(shì)可知,優(yōu)化后各扣索索力整體變化幅度較優(yōu)化前更加平穩(wěn),其中優(yōu)化前扣索索力最大值和最小值分別為2 100 kN、1 000 kN,優(yōu)化后扣索索力最大值和最小值分別為1 882.58 kN、1 191.09 kN,與優(yōu)化前相比,優(yōu)化后扣索索力最大值與最小值的差更小。

為了更好地表現(xiàn)模擬退火粒子群算法在拱橋扣索索力優(yōu)化中的優(yōu)化效果,根據(jù)建立的有限元模型,分別采用三種傳統(tǒng)的扣索索力優(yōu)化方法(零撓度法、零彎矩法與定長(zhǎng)扣索法)[13]可計(jì)算得到該拱橋的拱圈彎矩,并將其與基于模擬退火粒子群算法得到的拱圈彎矩進(jìn)行對(duì)比。

可以看出,采用模擬退火粒子群算法、零撓度法、零彎矩法與定長(zhǎng)扣索法得到的拱圈彎矩相差較大,其中采用零彎矩法得到的拱圈截面彎矩均為正值,表明其主要受正彎矩作用;采用模擬退火粒子群算法、零撓度法、與定長(zhǎng)扣索法得到的拱圈彎矩既有正也有負(fù),采用定長(zhǎng)扣索法得到的拱圈彎矩值最大、波動(dòng)幅度也最大,其中最大正彎矩和最大負(fù)彎矩分別達(dá)到了17 631 kN·m、-7 238 kN·m;采用零撓度法得到的拱圈彎矩波動(dòng)幅度有所減小,其中最大正彎矩為15 557 kN·m,最大負(fù)彎矩為-5 694 kN·m;采用模擬退火粒子群算法得到的拱圈彎矩波動(dòng)幅度最小并且彎矩值整體也較小,最大正彎矩和最大負(fù)彎矩分別為13 673 kN·m、-5 694 kN·m,進(jìn)一步表明采用模擬退火粒子群算法對(duì)拱橋進(jìn)行索力優(yōu)化具有良好的應(yīng)用效果。

4 結(jié) 論

(1)模擬退火粒子群算法能有效改善基本粒子群算法易陷入局部最優(yōu)和早熟收斂的問(wèn)題,并且模擬退火粒子群算法收斂速度明顯優(yōu)于普通粒子群算法,收斂精度也有一定提高。

(2)采用模擬退火粒子群算法優(yōu)化得到的各扣索索力值與優(yōu)化前相比有增也有減,但優(yōu)化后索力最大值較優(yōu)化前有明顯減小,減小了217.42 kN,優(yōu)化后各扣索索力值變化幅度較優(yōu)化前更加平穩(wěn)。

(3)與傳統(tǒng)的索力優(yōu)化方法相比,采用模擬退火粒子群算法得到的拱圈彎矩變化幅度更小,并且最大正彎矩和最大負(fù)彎矩均有一定的減小。