心“中”有“線”　筆下有路

吳佑泉

為有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重的作業(yè)負(fù)擔(dān)，落實(shí)“雙減”政策，2021年4月，教育部辦公廳印發(fā)了《關(guān)于加強(qiáng)義務(wù)教育學(xué)校作業(yè)管理的通知》，著力健全作業(yè)管理機(jī)制，嚴(yán)控書面作業(yè)總量，要堅(jiān)持以習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為指導(dǎo)，全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持以學(xué)生為本，強(qiáng)化學(xué)校教育的主陣地作用，大力推進(jìn)學(xué)校減負(fù)提質(zhì)工作，做強(qiáng)做優(yōu)校內(nèi)教育，提升作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量，探索分層作業(yè)、個性化作業(yè)、有效作業(yè)等實(shí)施途徑，健全教育良好形態(tài)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展、健康成長。

加強(qiáng)學(xué)校作業(yè)調(diào)控，督促各地各校落實(shí)作業(yè)管理通知要求，制定完善作業(yè)管理辦法，有效控制作業(yè)量和時長，特別是數(shù)學(xué)作業(yè)要做到精選、精練，要讓學(xué)生的知識系統(tǒng)得到夯實(shí)和擴(kuò)充，要讓學(xué)生的做題水平得到質(zhì)的飛躍，做到減量不減質(zhì)和減而不簡，不做重復(fù)性和機(jī)械性作業(yè)，把體力勞動變成腦力勞動，要讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生熱愛，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，主動探索數(shù)學(xué)難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的“五大”核心素養(yǎng)，從橫向上擴(kuò)大知識面，從縱向上研究知識的本質(zhì)，從事物的表象到內(nèi)部的本質(zhì)和規(guī)律，深刻地領(lǐng)會數(shù)學(xué)知識的重要性。

努力提高課堂教學(xué)質(zhì)量，堅(jiān)持“兩個”并重，“減負(fù)”和“提質(zhì)”兩手抓、兩手都要硬，做到持之以恒、久久為功。兩者是相輔相成的、密不可分。“減負(fù)”，學(xué)生的作業(yè)量少了，重復(fù)和低等的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的認(rèn)知水平和素質(zhì)結(jié)構(gòu)沒得到提高；“提質(zhì)”通過“題海戰(zhàn)術(shù)”，只能增加學(xué)生的做題經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生的知識面得到擴(kuò)大，單純從橫向發(fā)展，縱向得不到加深，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得不到有效提高。

“雙減”要求作業(yè)能夠靈活設(shè)計(jì)，選題更有代表性，精選題型，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，達(dá)到減負(fù)、提質(zhì)、增效的目的。本文從中點(diǎn)為切入口，把初中階段的中點(diǎn)知識形成一個知識體系，層層深入，融合數(shù)學(xué)知識點(diǎn)和圖形的直觀性，培養(yǎng)學(xué)生思考的維度，提高書寫方向。

傳統(tǒng)教學(xué)是“只見樹木不見森林”，我們要走向關(guān)聯(lián)、重整體的教學(xué)。傳統(tǒng)教學(xué)是分—總式學(xué)習(xí)，大單元教學(xué)是總—分—總式學(xué)習(xí)，課前老師把握課標(biāo)，駕馭教材，分析學(xué)情，敘寫目標(biāo)，基于大單元進(jìn)行知識建構(gòu)、情境建構(gòu)、主題建構(gòu)，這是關(guān)鍵，讓所教所學(xué)知識點(diǎn)具有系統(tǒng)性、關(guān)聯(lián)性、遞進(jìn)化、科學(xué)化，即最小的課程單位。

串聯(lián)式復(fù)習(xí)不僅可以減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，以核心知識為載體，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科思想和方法，以及核心素養(yǎng)，指向?qū)W生遷移應(yīng)用知識和解決問題的能力，而且還把知識點(diǎn)進(jìn)行區(qū)分、對比、深度加工，讓學(xué)生思維得到提升，使學(xué)生形成知識間的豐富聯(lián)系，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使教學(xué)內(nèi)容“結(jié)構(gòu)化、一體化、網(wǎng)絡(luò)化”。

中點(diǎn)在華師大版初中數(shù)學(xué)各冊中都有出現(xiàn)，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可缺少的知識點(diǎn)。在七年級上冊中，中點(diǎn)出現(xiàn)在線段中點(diǎn)，主要考查學(xué)生對線段的計(jì)算，初步認(rèn)識中點(diǎn)的意義，讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合思想；在七年級下冊中，學(xué)生從線到封閉圖形的發(fā)展，從一維上升到二維，學(xué)習(xí)三角形的中線，為計(jì)算三角形面積和三角形全等，以及研究等腰三角形提供知識基礎(chǔ)；在八年級上冊中，學(xué)生研究等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”，即底邊的中線和高、頂角的平分線；在八年級下冊中，為深入研究特殊四邊形的幾何性質(zhì)提供思路，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)坐標(biāo)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，倍長中線的思想為作輔助線解決問題提供突破口；在九年級上冊中，研究三角形的中位線、重心及其性質(zhì)和在直角三角形中斜邊上的中線的性質(zhì)；在九年級下冊中，研究圓中的垂徑定理和弧的中點(diǎn)的性質(zhì)。

在不同的環(huán)境中起到的作用也不同，主要涉及三角形、四邊形和圓，在考試中，特別是中考經(jīng)常出現(xiàn)數(shù)學(xué)中點(diǎn)問題，因此探索此類中點(diǎn)問題的解題規(guī)律對初中幾何的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義，可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。

一、中點(diǎn)在三角形中的性質(zhì)及其運(yùn)用

初中階段主要研究的圖形是三角形，幾何教學(xué)中有兩大基本元素：角和線段，中點(diǎn)主要涉及解決線段問題，再推廣到其他問題，如面積、周長等。

（一）三角形的中線

幾何語言：在三角形ABC中（如圖1），D為BC的中點(diǎn)，則BD=BC，s△ABC=s△ACD=1/2s△ABC證明性質(zhì)成立中，要體現(xiàn)三角形等底同高的數(shù)學(xué)思想方法。

例1? 在三角形ABC中（如圖2），D是BC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，且三角形ABC的面積為24cm2。

求三角形BEC的面積。

分析思路：

首先，計(jì)算面積，但未知高，突破口在三角形的中線;其次，AD、BE、CE分別是△ABC邊BC上的中線、△ABD邊AD上的中線、△ACD邊AD上的中線;最后，三角形BEC的面積與三角形ABC的面積的關(guān)系。

（二）等腰三角形的“三線合一”

因?yàn)榈妊切蔚妮S對稱性，則有等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高在同一條線上，簡稱等腰三角形的“三線合一”。

幾何語言：在等腰三角形中（如圖3），AD所在直線是三角形的對稱軸，則有：AD平分∠BAC，AD⊥BC，AD是邊BC的中線。

例1：如圖，AB=AC，作三角形ADC，使得點(diǎn)B、D在AC異側(cè)，且AD=CD，∠ADC=∠BAC，E是BC延長線上一點(diǎn)，連接AE交CD于點(diǎn)F，若AB2=2CF·AD，試判斷三角形ACF的形狀，并說明理由。

分析思路：

首先，△ABC和△ACD都是等腰三角形;其次，分析AB2=2CF.AD，由線段比例關(guān)系猜想出兩個相似三角形：△ABC相似于△ACD，列出對應(yīng)邊成比例，得出BC=2CF;其次，從等式的特點(diǎn)思考：BC=2CF，由等腰三角形“三線合一”可知，過點(diǎn)A作AH垂直于BE交BC于點(diǎn)H；最后，在證明△AHC全等于△ACF，得證三角形ACF是直角三角形。

學(xué)生在分析問題時，要突破兩點(diǎn)：等式的運(yùn)用和輔助線。學(xué)生從已知分析，會感覺“山重水復(fù)疑無路”，只要把AH畫出來，思路就豁然開朗，整道題的思路就“柳暗花明又一村”，有利于提高學(xué)生分析已知的能力。

（三）直角三角形斜邊上的中線

在直角三角形中，兩個銳角互余和邊長滿足勾股定理外，還有其邊角關(guān)系，斜邊上的中線也有特殊性。在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，且是直角三角形外接圓的半徑。

幾何語言：在直角三角ABC中（如圖5），∠C=90°，D為斜邊AB邊上的中線，則AB=2CD（證明此定理，采用倍長中線）。

例1：如圖6，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點(diǎn)，求CH的長。

思路分析：

首先，找到含CH的三角形，連接AC和CF；其次，由勾股定理求AC和CF；最后，在直角三角形ACF斜邊上中線CH的性質(zhì)，求CH的長。

（四）三角形的中位線及其重心

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

幾何語言：在三角形ABC中（如圖7），EF是三角形ABC的中位線，則EF∥BC，BC=2EF 。

例1：如圖8，在邊長為8的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，EF⊥AC于點(diǎn)F，G為EF的中點(diǎn)，連接DG，求DG的長。

思路分析：

首先，連接DE，構(gòu)造三角形DEG；其次，DE是三角形ABC的中位線；最后，在Rt△EFC中，求出EF的長。在Rt△DEG中，再由勾股定理求出DG；在同一個三角形的兩條邊上分別取中點(diǎn)，構(gòu)造中位線，既有數(shù)量關(guān)系，也有位置關(guān)系。

例2：如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G為△ABC的重心，DG=2，求BC的長。

思路分析：

首先，由三角形的重心性質(zhì)可知，CD：DG=3：1，求出CD的長；其次，AB=2CD；最后，在Rt△ABC中，再由勾股定理求出BC。

二、中點(diǎn)在四邊形中的性質(zhì)及其運(yùn)用

四邊形各邊的中點(diǎn)連線四邊形，簡稱中點(diǎn)四邊形，主要運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生知識遷移的能力，以及轉(zhuǎn)化思想，把未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，讓知識點(diǎn)貫穿在一起，形成一個整體和體系，體現(xiàn)單元整體教學(xué)。

例：在四邊形ABCD中（見圖10），E、F、G、H依次是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、HE形成四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。

思路分析：

中點(diǎn)主要出現(xiàn)在三角形中，所以連接AC，形成三角形ABC和三角形ACD。

首先，EF和HG分別是△ABC和△ACD的中位線；其次，AC是兩個三角形的公共第三邊；最后，EF平行且等于HG，得出四邊形EFGH是平行四邊形。

小結(jié)：

若四邊形ABCD是矩形，則中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形；若四邊形ABCD是菱形，則中點(diǎn)四邊形EFGH是矩形。

三、中點(diǎn)在圓中的性質(zhì)及其運(yùn)用

垂徑定理? 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧。

幾何語言：在○O中（如圖11），直徑CD⊥弦AB，則有AB⊥CD，弧CA=弧CB，弧DA=弧DB。

例1：如圖12，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AE=2cm，EB=8cm，∠DEB=60°，OF⊥CD于F．求CD的長。

思路分析：

首先，由垂徑定理得CD=2DF；其次，連接OD，在Rt△ODF中，只需已知OF和半徑OD；最后，OF在Rt△OEF中，利用銳角三角函數(shù)可求，再由勾股定理求出DF。

四、結(jié)語

在圓中，由直徑所引發(fā)的兩種數(shù)量關(guān)系和一個位置關(guān)系：平分弦、平分弧、垂直弦，知其一，便可得二。此性質(zhì)在解決圓中的弦、弦心距、拱高、半徑等計(jì)算時，將圓中的問題劃歸到特殊三角形（等腰三角形、直角三角形等）問題。

這幾個性質(zhì)相互聯(lián)系，再做出合理的輔助線，放“中點(diǎn)”歸圖，在中點(diǎn)問題教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，提高學(xué)生的圖形結(jié)合能力，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力與概括能力，并幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換，從而提高學(xué)生的綜合分析問題和概括問題的能力。

注：本文系鯉城區(qū)教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題（第一批）2021年度課題“基于核心素養(yǎng)下初中數(shù)學(xué)校本作業(yè)有效性研究”（項(xiàng)目編號：LCJG145-157）研究成果之一。