探究算理的一致性　培養(yǎng)學生運算能力

張志紅

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》（2022版）指出：“義務(wù)教育數(shù)學課程應(yīng)使學生通過數(shù)學的學習，形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)?！焙诵乃仞B(yǎng)是在數(shù)學學習過程中逐漸形成和發(fā)展的，作為落實學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要載體，計算教學一直都是小學數(shù)學的基礎(chǔ)和核心內(nèi)容。計算教學的重點在于幫助學生理解算理、掌握算法，引導學生體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力、培養(yǎng)推理意識。

一、小數(shù)除法的難點及解決策略

計算教學中，小數(shù)除法是教師教起來堵點最多，學生學起來難度最大的一個內(nèi)容。首先，在加、減、乘、除四則運算中，除法計算是最復雜的。其次，學習小數(shù)除法必須要有下列基礎(chǔ)：明確除法的兩種含義，平均分和包含分；明確整數(shù)除法的算理，掌握計算法則并能熟練計算。學生在二年級認識了除法的含義，在三年級下冊和四年級上冊分別學習了除數(shù)是一位數(shù)和兩位數(shù)的整數(shù)除法。無論哪個內(nèi)容，都是當時的難點。

在人教版的教材中，小數(shù)除法單元的內(nèi)容編排如圖1所示。

教學的核心內(nèi)容是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”和“一個數(shù)除以小數(shù)”。從圖1可以看出，教材通過創(chuàng)設(shè)情境，根據(jù)小數(shù)的意義將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法；在整數(shù)部分除完以后，在被除數(shù)小數(shù)部分的末尾添“0”繼續(xù)除；整數(shù)部分不夠商“1”要商“0”占位；根據(jù)商不變性質(zhì)把一個數(shù)除以小數(shù)轉(zhuǎn)化為一個數(shù)除以整數(shù)。幾個環(huán)節(jié)看似完美組合，實際上學生的認知是零散的、片段式的，每一個內(nèi)容都可能成為學生學習的難點。

如何理順小數(shù)除法的學習過程，達到既定的學習目標呢？我們要從除法“分”的本質(zhì)出發(fā)，以計數(shù)單位為“分”的對象，用“接著分”的方式貫通小數(shù)除法和整數(shù)除法的算理。打通了算理的“任督二脈”，能夠大幅降低學生學習的難度。在此基礎(chǔ)上指導學生掌握小數(shù)除法的基本計算方法，并能根據(jù)數(shù)據(jù)特點靈活選擇計算方法，最終培養(yǎng)學生的運算能力。

二、以“接著分”貫通整數(shù)除法和小數(shù)除法的算理

二年級初識除法，學習了除法的兩個含義——“平均分”和“包含分”。無論是對除法意義的理解，還是學習除法的計算方法，只要緊緊抓住這兩個“分”，就能破解除法學習難點。

三年級下冊學習“除數(shù)是一位數(shù)的除法”，我們可以用“平均分”來解釋除法的計算過程，并表現(xiàn)為豎式的形式。

根據(jù)一般認知，分東西肯定是先分整盒，再分單支。7盒平均分成3份，每份分2盒；將剩下的1盒與8支合在一起，18支鉛筆平均分成3份，每份分6支（如圖2所示）。

脫離分實物，就可以把分的對象直接看作計數(shù)單位，寫成除法豎式如圖3所示。

四年級上冊學習“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”，同樣可以用“平均分”來理解算理，并表現(xiàn)為豎式的形式。計算442÷34，就是把442平均分成34份。4個百平均分成34份，每一份不夠1個百；44個十平均分成34份，每份有1個十，在十位商1；分走了34個十，剩下的10個十和2個一合起來是102，平均分成34份，每份有3個一，在個位商3，正好分完。

學習小數(shù)除法前，就可以從喚起學生整數(shù)除法算理的記憶開始。比如計算279÷6（如圖4所示）。

明確了除法計算就是將計數(shù)單位從大到小依次平均分的過程后，就可以提出新的問題：還能繼續(xù)分嗎？因為此時學生對“計數(shù)單位”的學習已經(jīng)從整數(shù)部分擴充到小數(shù)部分，可以把“3個一”看作“30個十分之一”，當然可以繼續(xù)分下去。把30個十分之一，平均分成6份，每份有5個十分之一，在商的十分位上寫“5”（如圖5所示）。

沒有“新知轉(zhuǎn)化為舊知”的過程，不需要單位換算這樣的腳手架，只要將沒有分完的較大的計數(shù)單位轉(zhuǎn)化為較小的計數(shù)單位，就能繼續(xù)分下去。通過這樣的處理，小數(shù)除法依然是一個“新內(nèi)容”，小數(shù)除法的算理卻是一個“舊知識”，難度自然大幅減少。

三、以“夠不夠分”破解小數(shù)除法計算中的典型問題

解決了小數(shù)除法的算理，并不意味著學生就能順利計算小數(shù)除法題。小數(shù)點位置的確定、試商的難度、計算過程復雜等都會影響計算的正確率。學生計算5.88÷0.56正確率較低，下面兩種錯誤就比較常見（如圖6所示）。其實問題是一致的，當28除以56，不夠商“1”時，沒有在個位商“0”占位。

這種商中間的“0”漏掉的情況，在第一階段學完除數(shù)是整數(shù)的除法后，就安排了類似的練習（如圖7所示），為什么學完了整個內(nèi)容還有高頻率的類似錯誤？關(guān)鍵在于算理不清。我們可以從“夠不夠分”的角度幫助學生解決問題。如14.21÷7，第1次14個一平均分成7份，每一份有2個一，在個位商1；第2次2個十分之一平均分成7份，每一份夠不夠1個十分之一呢？顯然不夠，就要在十分位上商0。每計算一步，都是將計數(shù)單位進行平均分，都可以問一問“夠不夠分”。有問有答，有思有果，商中間的“0”就不會遺漏。很多計算中的典型問題不能簡單地歸因為學生計算不細致，大多數(shù)不細致背后的原因是算理不清。

四、以“還可以怎樣……”優(yōu)化計算策略，發(fā)展學生思維

數(shù)學教學的終極目標是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，以適應(yīng)未來社會發(fā)展和學生自我成長的需要。學生學習小數(shù)除法，不僅要知道“怎樣算”“為什么這樣算”，更要學會思考“還可以怎樣算”“怎樣算更好”，也就是要形成運算能力，能夠根據(jù)條件尋找簡潔、高效的運算方法。

培養(yǎng)學生的運算能力，教師要“心里有數(shù)”，要有“我是用數(shù)學教學生的”的思想認識，通過知識的教學來提升學生的思維水平。只有認識到位了，才不會緊盯著計算結(jié)果是否正確，而是以足夠的耐心傾聽學生的想法，關(guān)注想法背后的原因。

培養(yǎng)學生的運算能力，要善于挖掘習題的附加值。不僅要做完這個題、做對這個題，還要想一想，還可以怎樣算？還可以提出哪些有價值的問題？

現(xiàn)在的教材很少出現(xiàn)“用簡便方法計算下面各題”的要求。一方面是學生的發(fā)展水平不一，不做統(tǒng)一要求；另一方面是有能力的學生要學會主動發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)特點、靈活運用所學知識進行計算。學生在學完了小數(shù)除法的知識后，教材安排了下面這一組計算題（如圖8所示）。

學生獨立完成練習后，教師可以根據(jù)反饋交流的情況進行引導：“還有更簡便的算法嗎？”“42÷28”“19.8÷3.3”可以利用商不變的性質(zhì)將題目化簡為“6÷4” “6.6÷1.1”，豎式計算就可以轉(zhuǎn)化為口算；“2.5×3.6”“18×0.45”則可以先分解再組合，達到巧算的目的。教學過程中，我們倡導每個學生呈現(xiàn)最真實的思維狀態(tài)，用自己的方法去解決問題，更要通過不同方法的比較，培養(yǎng)學生簡潔、優(yōu)化的思維意識和水平。

一道題的價值有多大，取決于教師對題目的研究深度。教師要看到出題者背后的想法，要考慮還可以從哪些方面引導學生思考呢。學生學完除數(shù)是整數(shù)的除法后，安排了這樣一個練習（如圖9所示）。

題目的初衷并不是簡單地根據(jù)計算結(jié)果概括出結(jié)論，而是基于除法的意義解釋結(jié)論。但是學生剛剛學習小數(shù)除法，絕大部分學生都是通過計算來確定這個題的商是否小于1，只有少數(shù)學生會觀察被除數(shù)和除數(shù)的大小，思考整數(shù)部分“夠不夠”商1，從而快速做出判斷。此時教師首先要引導學生進行比較，哪種方法的效率更高；其次進行歸納，為什么能這么快地確定它的商小于1。既尊重學生現(xiàn)階段的學習水平，又達成了題目既定的目標。再次，商小于1的有4道算式，另外4道算式的商都大于1，教師可以引導學生思考商大于1的算式有什么共同點？什么情況下商等于1呢？最后，引導學生用估算的策略來確定商的范圍。比如76.5÷45的商肯定大于1，會小于幾呢？只有思路打開了，學生才會積極主動去思考問題；只有經(jīng)常主動思考問題，思維能力才能得到發(fā)展。

五、結(jié)語

數(shù)學是思維的載體，數(shù)學學科的核心素養(yǎng)最終指向的都是學生的思維能力。面對計算教學這樣的基礎(chǔ)內(nèi)容，教師要有更高的站位，從整體上把握教學內(nèi)容，在理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)意義的同時，以計數(shù)單位為核心，探究同一種運算本質(zhì)上的一致性。運算本質(zhì)一致的認識不僅能有效降低學習難度，提升學習效果，還能加深學生對數(shù)的認識和理解。