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    在分類中把握特征,在集合中構(gòu)建關(guān)聯(lián)

    2023-06-07 14:10:52張曉輝
    關(guān)鍵詞:集合數(shù)學(xué)思想四邊形

    張曉輝

    摘要:數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識之中,又對數(shù)學(xué)活動具有重要的指導(dǎo)作用。《四邊形的分類》復(fù)習(xí)課,充分融入并運用分類與集合的思想,讓學(xué)生自主制定分類標準,通過動手操作,從部分到整體,從特殊到一般,幫助學(xué)生深刻理解圖形特征,在把握圖形內(nèi)涵的同時揭示外延,對一類圖形之間的聯(lián)系與差異建立起清晰的認知。

    關(guān)鍵詞:小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;分類;集合;四邊形

    課例剖析《四邊形的分類》是一節(jié)復(fù)習(xí)課,為了幫助學(xué)生在認識平行四邊形、梯形的特征后,厘清不同四邊形之間的關(guān)系。本課的教學(xué)過程與思考如下:

    一、教學(xué)過程

    (一)回顧兩條直線的位置關(guān)系

    師(出示圖1)在圖中找一找兩條直線之間的位置關(guān)系。

    (學(xué)生交流得出兩條直線之間的位置關(guān)系有相交、平行、垂直。)

    師這三種位置關(guān)系都有各自的特點,誰來說一說。

    生平行的兩條直線沒有交點。

    生相交的兩條直線有一個交點。

    生垂直的兩條直線也有一個交點。

    師兩條直線可以沒有交點或有一個交點。根據(jù)有沒有交點設(shè)計分類標準,(出示下頁圖2)可以分成兩類。

    師相交和垂直這兩種位置關(guān)系之間有什么關(guān)系?

    生垂直的兩條直線一定是相交的,相交的兩條直線不一定垂直。

    師所以,(出示圖3)相交和垂直是包含關(guān)系。

    [設(shè)計意圖:四邊形都可以看成由相同或不同位置關(guān)系的兩組直線(線段)構(gòu)成。借助“找一找”任務(wù),引導(dǎo)學(xué)生回顧整理同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系,加深對平行和垂直概念的理解。在比較關(guān)鍵特征的過程中,初步滲透分類及集合的思想,幫助學(xué)生認識分類可以使知識條理化、系統(tǒng)化,用集合圈可以表示相同特征事物的集合以及它們之間的關(guān)系。]

    (二)在分類中辨析不同的四邊形

    (教師借助軟件,通過旋轉(zhuǎn)、平移相同或不同位置關(guān)系的兩組直線,構(gòu)成不同的四邊形,如圖4所示。)

    師從圖中我們可以看到什么?

    生四邊形。

    (師生共同回顧已經(jīng)認識的四邊形,并一一展示,最終結(jié)果如圖5所示。)

    師這些四邊形除了有4條邊和4個角,還有哪些特征?你能找到一個標準分分類嗎?小組合作,找一找、分一分。

    (學(xué)生小組合作分類,幾種典型的分類如圖6—圖8所示。)

    師不同的分類標準會有不同的分類結(jié)果,這三種不同的分類,你更喜歡研究哪一種?

    生第一種,因為分得更細。

    生更喜歡按照對邊平行的標準分類。

    師那好,我們就來研究根據(jù)對邊平行的分類情況。像這樣只有一組對邊平行的四邊形叫作——

    生梯形。

    師這些梯形中有沒有比較特殊的?

    生有的梯形有2個直角。

    師這叫作直角梯形。

    生有的梯形有一組對邊長度相等。

    師即梯形的腰長度相等,這樣的梯形叫作等腰梯形。

    [設(shè)計意圖:分類的過程既要關(guān)注不同圖形特征的共性,還要關(guān)注同一類圖形特征的差異性。四邊形都是由4條邊圍成的圖形,但根據(jù)對邊(兩條直線)的位置關(guān)系,有對邊平行的,也有對邊不平行的;有兩組對邊平行的,也有只有一組對邊平行的。從整體劃分出局部,而這一局部又可以分類,如其中只有一組對邊平行的四邊形(梯形),又能繼續(xù)分為特殊梯形(直角梯形、等腰梯形)和一般梯形。通過這樣統(tǒng)一標準、逐級分類對四邊形開展研究,幫助學(xué)生認識到共性和差異性,培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力,助力學(xué)生深刻地把握每一類四邊形的本質(zhì)特征。]

    (三)在分類中把握平行四邊形的特征

    師有兩組對邊平行的四邊形是什么圖形?

    生平行四邊形。

    師平行四邊形有什么特征?

    生對邊平行且相等。

    師在這些平行四邊形中,有沒有特殊的?還可以怎樣分類?小組討論一下。

    (學(xué)生小組討論。)

    生(展示討論結(jié)果,如圖9所示)可以根據(jù)有沒有直角來分類,分為兩類。

    生(展示討論結(jié)果,如圖10所示)可以根據(jù)邊的長度是否相等來分類,也分為兩類。

    [設(shè)計意圖:學(xué)生在認識長方形和正方形時,都是從角和邊的特征開展研究的。因此,研究圖形的邊和角是學(xué)生認識圖形的起點,也是學(xué)生合理制定分類標準的依據(jù)。合理制定分類標準并加以實施,能幫助學(xué)生更系統(tǒng)、更有條理地抓住圖形的本質(zhì)特征,在原有的經(jīng)驗基礎(chǔ)之上進一步豐富數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗。而遵循標準開展活動,能鍛煉學(xué)生學(xué)習(xí)的毅力,如有的小組制訂了依據(jù)角的大小標準進行分類,但發(fā)現(xiàn)在活動中不便于操作:有的圖形既有鈍角,也有銳角,甚至還有直角,無法準確把握這一類圖形的特征。因此,分類標準需要在實踐中進行調(diào)試甚至推翻。在這樣的過程中,學(xué)生經(jīng)歷了挫折,但最終也體驗到了成功的快樂。]

    (四)以集合圖構(gòu)建平行四邊形的知識結(jié)構(gòu)

    師長方形、正方形、菱形都是平行四邊形,你能用自己的方式表示這四個圖形之間的聯(lián)系嗎?

    (學(xué)生小組合作探究。)

    生(展示小組探究結(jié)果,如下頁圖11所示)把平行四邊形較長的對邊縮短到和短邊長度一樣時,就是菱形;把長方形的長縮短到和寬的長度一樣時,就是正方形。

    生也可以把平行四邊形的短邊或長方形的寬拉長。所以,菱形是特殊的平行四邊形,正方形是特殊的長方形。

    生正方形也是特殊的菱形,只要把菱形的一個角變成90°就可以了。

    師從這一個小組的探究中,我們可以看出圖形之間的轉(zhuǎn)化,但相互之間的聯(lián)系還不是十分清晰。有哪個小組可以更加直觀地表示出它們之間的聯(lián)系?

    生(展示小組探究結(jié)果,如圖12所示)我們小組用一個圈表示平行四邊形,長方形、正方形和菱形都是特殊的平行四邊形,所以在平行四邊形的圈內(nèi)。

    生正方形既是特殊的長方形,又是特殊的菱形,所以正方形既在長方形圈里,也要在菱形圈里。

    師這一小組的作品,有沒有清楚地表示出這些圖形之間的關(guān)系?

    生感覺正方形重復(fù)了。

    生這樣子,還可以看成長方形是特殊的正方形,菱形是特殊的正方形了。

    師那正方形究竟放在什么地方,才不重復(fù),也不會產(chǎn)生誤解呢?

    生把正方形放在長方形和菱形的交叉處。

    師(出示圖13)這樣,你們能看懂正方形和長方形、菱形的關(guān)系嗎?

    生看懂了,交叉圈里的圖形既有長方形的特征,又有菱形的特征。

    師正方形既屬于長方形圈,又屬于菱形圈,那就要放在這兩個圈的交叉處。

    [設(shè)計意圖:通過探究不同平行四邊形之間的聯(lián)系,從一般到特殊,層層推進,明確不同平行四邊形的內(nèi)涵,建立包含與被包含的關(guān)系?;趯W(xué)生不同的思維方式,以及對認知的不同表征,通過辨析、互補、改進等活動逐漸完善對不同平行四邊形之間聯(lián)系與區(qū)別的認識,最終用集合圖準確、清晰地表示出這種關(guān)系。]

    (五)以集合圖構(gòu)建四邊形的知識結(jié)構(gòu)

    師剛才同學(xué)們用集合圖表示出了不同平行四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系,黑板上除了平行四邊形還有其他四邊形,這些不同的四邊形之間又有著怎樣的聯(lián)系呢?你能試著用集合圖畫一畫嗎?

    (學(xué)生小組合作完成,典型作品如圖14所示。)

    師你能介紹一下這個集合圖嗎?

    生四邊形最大,包含平行四邊形、梯形。

    生平行四邊形和梯形是分開的,互相不包含。

    生平行四邊形又可以分為長方形、正方形和菱形,其中正方形既屬于長方形,又屬于菱形,所以用交叉的部分表示正方形。

    師為什么平行四邊形和梯形沒有交叉?

    生沒有圖形既屬于平行四邊形,又屬于梯形,所以沒有交叉。

    [設(shè)計意圖:在構(gòu)建不同平行四邊形之間的聯(lián)系時,通過分析、表征,逐步形成了集合圖,讓學(xué)生形象直觀地看清了平行四邊形與長方形、菱形之間的包含與被包含關(guān)系,同時也運用交集表示出了正方形兼具長方形和菱形的特征。有了這些經(jīng)驗基礎(chǔ),引導(dǎo)學(xué)生用集合圖表示出四邊形之間的聯(lián)系就有了可行性。]

    二、教學(xué)思考

    數(shù)學(xué)思想對概念的形成、特征的把握以及概念之間內(nèi)在聯(lián)系的建立具有重要的指導(dǎo)作用。而數(shù)學(xué)思想往往難以教學(xué),也不便于評估。數(shù)學(xué)思想需要在豐富、典型、適切的背景材料中,通過具身參與,對感性材料進行多形式的加工處理,逐漸感悟和領(lǐng)會。本節(jié)復(fù)習(xí)課充分融入并運用分類與集合的思想,讓學(xué)生自主制定分類標準,通過動手操作,從部分到整體,從特殊到一般,幫助學(xué)生深刻理解圖形特征,在把握圖形內(nèi)涵的同時揭示外延,對一類圖形之間的聯(lián)系與差異建立起清晰的認知。

    人們對比較復(fù)雜的問題,有時無法統(tǒng)一研究或者整體研究解決,需要把研究的對象按照一定的標準進行分類并逐步討論,再把每一類的結(jié)論加以綜合,使問題得到解決。分類思想在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用比較廣泛,可以幫助學(xué)生在認識復(fù)雜的數(shù)學(xué)對象時,化繁為簡,將同一類對象的不同屬性和不同類對象的相同屬性清晰、有序地顯示出來,從而對數(shù)學(xué)知識有更深刻的理解。而集合思想是把一類研究對象看成一個整體進行研究的思想。小學(xué)數(shù)學(xué)的很多學(xué)習(xí)內(nèi)容都蘊含集合思想,如數(shù)的認識、三角形的分類、公因數(shù)和公倍數(shù)等。分類與集合是密切相關(guān)的,將分類對象進行組合,就構(gòu)成了集合。這在小學(xué)數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域都有滲透。在圖形教學(xué)中,滲透與運用分類與集合的思想,能夠引導(dǎo)學(xué)生從部分到整體研究圖形特征和圖形之間的關(guān)系,從而把握圖形特征的本質(zhì),理清圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別。

    一個科學(xué)的分類標準必須能夠?qū)⑿枰诸惖膶ο筮M行不重復(fù)、不遺漏的劃分。[1]在給四邊形分類前,不同的小組從不同的角度制定分類標準。有的小組根據(jù)對邊的平行情況進行分類,有的小組根據(jù)直角的個數(shù)進行分類,還有的小組按照圖形是否為軸對稱圖形進行分類。當然,不同分類標準的制定都是基于學(xué)生原有的經(jīng)驗基礎(chǔ)的。四邊形的分類活動,是學(xué)生在對平行、直角、軸對稱等概念已有認知基礎(chǔ)上,進行充實和完善,產(chǎn)生新的認知的學(xué)習(xí)活動。

    而集合圖的形成過程,就是學(xué)生認知發(fā)展的過程。尤其是“正方形究竟歸屬于哪一類、怎樣表示出來”這一學(xué)習(xí)難點的處理,教師結(jié)合第二小組的錯例,讓學(xué)生感受到表示方法有重復(fù)和歧義,從而產(chǎn)生認知沖突。然后,教師通過提問“正方形究竟放在什么地方,才不重復(fù),也不會產(chǎn)生誤解呢”,引導(dǎo)學(xué)生從“正方形既是特殊的長方形,也是特殊的菱形”這一特征去考慮,找到長方形圈與菱形圈的交叉處,以形象直觀的方式呈現(xiàn)這幾種特殊平行四邊形的聯(lián)系;同時,滲透交集的概念,為學(xué)生自主構(gòu)建四邊形的集合圖做好鋪墊。

    參考文獻:

    [1] 顧泠沅.數(shù)學(xué)思想方法[M].北京:中央廣播電視大學(xué)出版社,2004:148.

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