關(guān)于“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容教學(xué)的若干思考

潘小梅

[摘? 要] “統(tǒng)計(jì)與概率”來源于生活實(shí)際，特別是其中所蘊(yùn)含的“運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷”的思考方法已經(jīng)逐漸成為現(xiàn)代社會大數(shù)據(jù)時(shí)代一種非常普遍的思維方式. 但是，在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中，教師對此部分的教學(xué)不甚重視. 基于此，文章結(jié)合案例，談?wù)勅绾胃倪M(jìn)“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念.

[關(guān)鍵詞] 統(tǒng)計(jì)與概率;數(shù)據(jù)分析觀念;數(shù)據(jù);推斷;模型

在義務(wù)教育新課程中，“統(tǒng)計(jì)與概率”是與“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“綜合與實(shí)踐”具有同等地位的學(xué)習(xí)內(nèi)容，它的內(nèi)容來源于生活實(shí)際，特別是其中所蘊(yùn)含的“運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷”的思考方法已經(jīng)逐漸成為現(xiàn)代社會大數(shù)據(jù)時(shí)代一種非常普遍的思維方式. 但是，在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中，這部分內(nèi)容與教師之前熟悉的代數(shù)與幾何內(nèi)容在研究對象、研究思路、研究方式等方面都有根本的不同，所以對教師的教學(xué)提出了較大的挑戰(zhàn);再者，中考等各類統(tǒng)考對這一部分內(nèi)容的考查都比較簡單，學(xué)生的實(shí)際掌握情況很難通過考試區(qū)分開來，這就使得師生對這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)不夠重視. 筆者在平時(shí)的聽課交流中，發(fā)現(xiàn)了較多老師不以為然的、不合理的教學(xué)現(xiàn)象，本文試圖透過這些現(xiàn)象挖掘成因，改進(jìn)“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的教學(xué).

發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，把握核心價(jià)值

在中考評價(jià)考試中，“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的常見考題是：區(qū)分必然事件、不可能事件與隨機(jī)事件的概念，區(qū)分全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的概念;給出題目的部分信息補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖表;直接提供數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等統(tǒng)計(jì)量;通過列表或畫樹狀圖的方法求簡單隨機(jī)事件的概率;根據(jù)表格中所列的頻率寫出概率. 因此，從“得分”的角度來看，這些考題基本屬于“送分題”，學(xué)生只需要熟知基本概念、記住公式，便可以得到分?jǐn)?shù). 正因?yàn)榭荚囋u價(jià)的教學(xué)指揮棒作用，所以許多教師不愿意花時(shí)間研究“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)內(nèi)容，而將統(tǒng)計(jì)課教成了“代數(shù)課”，即重點(diǎn)介紹計(jì)算方法，如平均數(shù)只是讓學(xué)生學(xué)會計(jì)算，而沒有讓學(xué)生理解平均數(shù)是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量，概率則重點(diǎn)讓學(xué)生學(xué)會畫樹狀圖以應(yīng)付考試. 這與開辟“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容板塊的初衷有極大的偏差.

事實(shí)上，“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容教學(xué)的核心價(jià)值是發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）對“數(shù)據(jù)分析觀念”的解釋是：了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)先做調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù)，再通過分析數(shù)據(jù)做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息;了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的分析方法;通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)，就有可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律[1].

數(shù)據(jù)分析觀念可以從數(shù)據(jù)分析意識、數(shù)據(jù)分析技能、數(shù)據(jù)分析評判質(zhì)疑能力三個(gè)方面加以理解和落實(shí)[2]. 數(shù)據(jù)分析意識，是指在現(xiàn)實(shí)生活、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行、生產(chǎn)營銷等活動(dòng)中遇到問題時(shí)，能想到先進(jìn)行調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù)，能想到通過數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息進(jìn)行判斷與決策，用數(shù)據(jù)說話等意識. 數(shù)據(jù)分析技能指的是設(shè)計(jì)活動(dòng)方案、收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)和做出推斷的技能. 數(shù)據(jù)分析評判質(zhì)疑能力包括對自身統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的數(shù)據(jù)和結(jié)果進(jìn)行評判與反思，以及對他人所提供的數(shù)據(jù)和結(jié)果進(jìn)行合理判斷的質(zhì)疑意識與能力.

注重?cái)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生理解

樹立數(shù)據(jù)分析觀念，不是單純地學(xué)習(xí)“統(tǒng)計(jì)與概率”中的名詞，簡單地掌握計(jì)算，而是要讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的全過程. 這里的全過程指的是收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程. 要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的全過程，可以設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中體驗(yàn)由數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷、預(yù)測、決策的過程.

案例1浙教版九年級上冊“2.1 事件的可能性”：體驗(yàn)可能性大小的活動(dòng)設(shè)計(jì).

活動(dòng)設(shè)計(jì)1：一個(gè)不透明的箱子里有10個(gè)球：2個(gè)白球和8個(gè)紅球，從中任意摸出一個(gè)，求摸到白球的可能性是多少.

活動(dòng)設(shè)計(jì)2：一個(gè)不透明的箱子里有10個(gè)球，其中一些是白球，一些是紅球，從中任意摸出一個(gè)，請你通過實(shí)驗(yàn)，說明摸到紅球的可能性是多少.

評析古典概型的概率實(shí)驗(yàn)，其根本目的不是驗(yàn)證相關(guān)事件發(fā)生的概率值，也不是發(fā)現(xiàn)事件發(fā)生的概率值，而是幫助學(xué)生體會相應(yīng)事件發(fā)生概率的含義. 對于活動(dòng)設(shè)計(jì)1，學(xué)生已經(jīng)能夠通過列舉的方法知道可能性為0.2，所以他們沒有探究的欲望，這種用類似定義的方式教學(xué)隨機(jī)，達(dá)不到培養(yǎng)學(xué)生隨機(jī)觀念的目的. 活動(dòng)設(shè)計(jì)2則能讓學(xué)生感受到每一次摸球的結(jié)果事先都不知道，但摸多了便能幫我們做一些判斷. 學(xué)生通過活動(dòng)設(shè)計(jì)2中的實(shí)驗(yàn)?zāi)芨惺艿剑瑢τ谕瑯拥氖虑?，每次收集到的?shù)據(jù)可能會不同，特別是在具體的某次實(shí)驗(yàn)時(shí)某種情況不一定出現(xiàn)，但是在大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)該情況會呈現(xiàn)出一些規(guī)律. 這樣的活動(dòng)，能讓學(xué)生既體會隨機(jī)的含義，又感受到數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息.

案例2你會選擇到哪一家公司應(yīng)聘？

活動(dòng)設(shè)計(jì)1：A公司和B公司員工一月份的工資情況如表1.

活動(dòng)設(shè)計(jì)2：A公司和B公司招聘員工，小明想根據(jù)員工的收入情況確定去哪一家公司應(yīng)聘，請你幫助小明設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查方案，幫助他做出決策.

評析活動(dòng)設(shè)計(jì)1直接給出數(shù)據(jù)，讓學(xué)生進(jìn)行判斷;活動(dòng)設(shè)計(jì)2則讓學(xué)生自己給出調(diào)查方案. 對于活動(dòng)設(shè)計(jì)2，在設(shè)計(jì)方案的過程中，學(xué)生需要明確統(tǒng)計(jì)目標(biāo)，制定抽樣規(guī)則，再收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)，最后做出判斷. 也許學(xué)生收集到的數(shù)據(jù)同活動(dòng)設(shè)計(jì)1中的數(shù)據(jù)，但這些數(shù)據(jù)是學(xué)生自己想收集的，并不是被給予的、現(xiàn)成的. 活動(dòng)設(shè)計(jì)2能讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的過程，也能讓學(xué)生對數(shù)據(jù)處理的過程和結(jié)果有比較準(zhǔn)確的理解與解釋.

史寧中教授指出，“我們贊成做實(shí)驗(yàn)，贊成用統(tǒng)計(jì)的思想做實(shí)驗(yàn)”. 不采用直接告知的方式而是通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來組織教學(xué)，目的是讓學(xué)生真正參與活動(dòng)，深化理解. 所以，在設(shè)計(jì)活動(dòng)時(shí)，教師應(yīng)讓實(shí)驗(yàn)具有可操作性、探究性.

加強(qiáng)知識聯(lián)系，掌握數(shù)據(jù)分析技能

學(xué)習(xí)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)內(nèi)容，是為了發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念. 數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)要以真實(shí)的數(shù)據(jù)為載體，且由真實(shí)數(shù)據(jù)經(jīng)歷數(shù)據(jù)整理與分析的過程. 數(shù)據(jù)整理包括：將數(shù)據(jù)分組、計(jì)算各組頻數(shù)、畫頻數(shù)分布表、畫頻數(shù)分布直方圖、計(jì)算樣本特征數(shù)（反映集中程度的特征數(shù)，如平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù);反映離散程度的特征數(shù)，如方差、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量）. 我們既要知道在何種條件下用什么樣的統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行整理，又要借助計(jì)算器或者紙筆運(yùn)算來進(jìn)行計(jì)算，以免因?yàn)橛?jì)算錯(cuò)誤導(dǎo)致推斷錯(cuò)誤、決策失誤. 在教學(xué)中，我們要加強(qiáng)知識之間的聯(lián)系，如以“類比”的方法幫助學(xué)生識記圖表，掌握特征數(shù)的計(jì)算，提高數(shù)據(jù)分析技能.

案例3“條形統(tǒng)計(jì)圖與折線統(tǒng)計(jì)圖”教學(xué)片段.

師：在前一節(jié)課中，我們剛剛學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)表，今天老師給大家?guī)砹艘粡埼赐瓿傻慕y(tǒng)計(jì)表（表2），同學(xué)們覺得它缺少什么內(nèi)容呢？

師：這樣，一張完整的統(tǒng)計(jì)表就制作好了！它包含三個(gè)部分，即標(biāo)題（含制作日期）、標(biāo)目、數(shù)據(jù). 根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中提供的數(shù)據(jù)，你能看出哪兩名學(xué)生的身高相差最多嗎？

生（眾）：（停頓了一會兒）學(xué)生3和學(xué)生5的身高相差最多！

師：你是怎么得到的？

生2：我通過比較這些數(shù)據(jù)的大小，發(fā)現(xiàn)最大數(shù)是1.80，最小數(shù)是1.48，所以學(xué)生3和學(xué)生5的身高相差最多！

師：我們?nèi)嘤?0名學(xué)生，要最快找出兩名身高相差最多的學(xué)生，你有什么辦法嗎？

生3：要先知道每個(gè)學(xué)生的數(shù)據(jù)，然后像剛才一樣比較大小……

（還沒等他說完，另一個(gè)男生迫不及待地站了起來）

生4：讓他們站起來！當(dāng)然要站在同一平地上！

師：比如，像這樣站起來?。ɡ蠋熯呎f邊用FLASH動(dòng)畫演示，讓人物按照表格對應(yīng)的數(shù)據(jù)站起來，如圖1）一站起來，我們不需要數(shù)據(jù)，并且能更快地發(fā)現(xiàn)學(xué)生3和學(xué)生5的身高相差最多！

師：現(xiàn)在我們在每一個(gè)人物對象的下方標(biāo)上他們對應(yīng)的“姓名”，畫一條水平方向的直線，表示他們站在同一水平線上，再在旁邊豎直方向上立一根標(biāo)尺，表示他們的身高（如圖2）. 你看，數(shù)據(jù)也很清晰地表示出來了！

師：這種“站起來比身高”的辦法確實(shí)給數(shù)學(xué)家們帶來了很大的啟發(fā)，但是比身高要畫人，比電視機(jī)的銷售量要畫電視機(jī)，是不是太麻煩了呢？

（還沒等老師把話說完，學(xué)生舉手了）

生5：那我們把“人”用一條線段來代替！（生5的回答出乎老師的意料）

生6：我覺得可以用“長方形”來代替“人”！

師：很聰明！大家都能各施奇招！為了讓圖形更直觀、大方，我們用簡單的圖形——長方形來代替. 再把它對應(yīng)的數(shù)據(jù)標(biāo)在長方形的頂端. （接著，老師用FLASH動(dòng)畫演示把“人”替換為“長方形”的過程，如圖3和圖4）

生（眾）：（歡呼）哇！

師：圖4也包括了統(tǒng)計(jì)表中所有的信息，誰能給它取個(gè)名字呢？

生7：條形統(tǒng)計(jì)圖！把統(tǒng)計(jì)表中的標(biāo)題及制作日期寫在圖形的上方，這樣，統(tǒng)計(jì)表中有的，這張圖中也有了.

師：很好！我們再把統(tǒng)計(jì)表中的標(biāo)題及制作日期寫在圖形的上方，這樣一幅完整的統(tǒng)計(jì)圖就制作好了！跟統(tǒng)計(jì)表比較，統(tǒng)計(jì)圖有哪些要素呢？

生8：標(biāo)題、標(biāo)目、數(shù)據(jù).

師：條形統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表相比，有哪些優(yōu)勢？

生9：更直觀、形象了！

評析上述教學(xué)片段先讓學(xué)生“填寫完整的統(tǒng)計(jì)表”，既讓學(xué)生經(jīng)歷了真實(shí)數(shù)據(jù)的收集過程，又自然地勾起學(xué)生對統(tǒng)計(jì)表三要素的回顧. 接著提出問題“根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中提供的數(shù)據(jù)，你能看出哪兩名學(xué)生的身高相差最多嗎”和“我們?nèi)嘤?0名學(xué)生，要最快找出兩名身高相差最多的學(xué)生，你有什么辦法嗎”，讓學(xué)生通過思考自然想到“站起來”解決問題，出現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)圖的雛形. 然后，教師引導(dǎo)學(xué)生從水平線的姓名表示，到豎直線的標(biāo)尺，以及“站起來比身高”，幫助學(xué)生體驗(yàn)從統(tǒng)計(jì)表到統(tǒng)計(jì)圖的信息轉(zhuǎn)換，并由此抽象、歸納出條形統(tǒng)計(jì)圖. 在這個(gè)教學(xué)片段中，我們并沒有告訴學(xué)生怎樣畫統(tǒng)計(jì)圖，代之以如何將統(tǒng)計(jì)表中的信息轉(zhuǎn)換到統(tǒng)計(jì)圖中，把統(tǒng)計(jì)圖作為數(shù)據(jù)信息的另一種呈現(xiàn)形式，并保持“標(biāo)題、標(biāo)目、數(shù)據(jù)”三要素不變，讓學(xué)生學(xué)會一脈相承地來學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)圖表. 事實(shí)上，在后續(xù)的折線統(tǒng)計(jì)圖學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)能自覺地把統(tǒng)計(jì)表、條形統(tǒng)計(jì)圖的信息進(jìn)行轉(zhuǎn)換，輕松地掌握運(yùn)用圖表進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的技能.

數(shù)據(jù)分析可以分為描述性統(tǒng)計(jì)分析和推斷性統(tǒng)計(jì)分析. 描述性統(tǒng)計(jì)分析是通過集中趨勢、離散程度、圖形表示等來刻畫數(shù)據(jù)，而推斷性統(tǒng)計(jì)分析是利用樣本數(shù)據(jù)去推測總體的情況. 教學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”時(shí)，我們要運(yùn)用聯(lián)系的方式學(xué)習(xí)，如類比統(tǒng)計(jì)表學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)圖，類比頻數(shù)分布表學(xué)習(xí)頻數(shù)分布圖，類比列表法學(xué)習(xí)畫樹狀圖的方法等.

歸納提煉模型，凸顯問題解決

統(tǒng)計(jì)是為應(yīng)用服務(wù)的. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑. 模型思想的建立不僅有助于學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，而且對提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識有很大的幫助. 在本板塊中，我們會接觸到較多的現(xiàn)實(shí)生活中的問題，也需要用學(xué)過的統(tǒng)計(jì)量來解決實(shí)際問題. 解決問題時(shí)，我們需要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，這個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過程就是歸納、提煉模型的過程. 教學(xué)中，我們應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的歸納、提煉過程，幫助他們逐步學(xué)會建立模型解決問題.

案例4《水庫里有多少魚？》教學(xué)設(shè)計(jì)（浙江省特級教師胡趙云老師執(zhí)教）.

問題1：圖5是一個(gè)大水庫，要想知道水庫里有多少魚，你有什么辦法？

問題2：如圖6，在小學(xué)的摸球游戲中，你學(xué)到了什么？

活動(dòng)1：老師給每一組同學(xué)準(zhǔn)備了一袋棋子，如果不允許倒出來，你怎么知道袋子里棋子的組成？

活動(dòng)2：袋子里裝有形狀相同的棋子，其中有20顆白色棋子，請你設(shè)計(jì)一個(gè)操作方案，估算袋里的棋子數(shù).

問題3：我有一袋棋子，里面全是白色的，怎樣估計(jì)袋子里面棋子的總數(shù)？

問題4：要想知道一桶大豆有多少粒，你有什么辦法？

思考：怎樣估計(jì)一片森林里有多少野鹿？怎樣估計(jì)某城區(qū)里有多少野貓？怎樣估計(jì)一片試驗(yàn)田的水稻產(chǎn)量是多少？在實(shí)際研究工作中，生態(tài)學(xué)家經(jīng)常要估計(jì)所研究的生物種群的數(shù)量.

評析本課要解決的問題是“水庫里有多少魚”，許多老師會直接告訴學(xué)生按照“捉→放→捉”的操作思路進(jìn)行估計(jì)，于是學(xué)生便學(xué)會了怎樣解題. 但是，胡老師卻花了大力氣來講“水庫里有多少魚”這一問題，目的是讓學(xué)生經(jīng)歷模型建立的過程：提出問題（水庫里有多少魚）→回顧“箱中摸球”→實(shí)驗(yàn)“袋中摸棋”→思索“桶中數(shù)豆”→聯(lián)想“水庫數(shù)魚”. 一系列環(huán)節(jié)，讓學(xué)生親歷實(shí)驗(yàn)，經(jīng)歷收集、整理、分析數(shù)據(jù)的過程，感受“桶”“袋子”“水庫”都是“莫大的箱子”，“棋子”“豆”“魚”就是“球”，循序漸進(jìn)地幫助學(xué)生建立模型，一步一步地理解模型. 課尾，胡老師又分享了4個(gè)類似的問題，并歸納科學(xué)家的解決辦法，讓學(xué)生運(yùn)用“摸球游戲”的模型來解決問題. 這樣的教學(xué)過程，能將模型思想悄然植入學(xué)生的內(nèi)心，能讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)分析的價(jià)值和意義，感受數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，從而深刻詮釋“概率與統(tǒng)計(jì)”教學(xué)的核心價(jià)值.

學(xué)生之前所學(xué)習(xí)的幾何內(nèi)容依賴的是公理和假設(shè)，從一般逐步推理到特殊，代數(shù)內(nèi)容中法則、性質(zhì)的教學(xué)雖也有從特殊到一般的歸納過程，但它們的結(jié)果是確定性的，而統(tǒng)計(jì)學(xué)是從特殊到一般進(jìn)行不完全歸納推斷，推斷依賴的是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，強(qiáng)調(diào)根據(jù)背景尋找合適的推斷方法，從部分推斷全體. 更確切地說，它們對結(jié)果的判斷原則不同：代數(shù)與幾何的判斷標(biāo)準(zhǔn)是對與錯(cuò);而統(tǒng)計(jì)學(xué)的判斷標(biāo)準(zhǔn)是優(yōu)與劣的程度. 可以說，“統(tǒng)計(jì)與概率”是義務(wù)教育階段唯一以隨機(jī)的觀點(diǎn)來理解現(xiàn)實(shí)世界的教學(xué)內(nèi)容，它能幫助學(xué)生形成自覺運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷的思維方式. 用隨機(jī)思想解決問題，能逐漸形成隨機(jī)的思維方式，能為學(xué)生的思維打開另一扇窗戶，形成良好的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu).

參考文獻(xiàn)：

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[2]許芬英等. “浙江省中小學(xué)學(xué)科教學(xué)建議”案例解讀——初中數(shù)學(xué)[M]. 杭州：浙江教育出版社，2015.