基于FOPID+ADRC的永磁同步電機(jī)低速控制

馮光權(quán)，董 涵，馮浩文

(1.貴州中航電梯有限責(zé)任公司，貴州 遵義 563000；2. 湖北汽車工業(yè)學(xué)院 電氣與信息工程學(xué)院，湖北 十堰 442002)

0 引言

永磁同步電機(jī)是一種以永磁體為轉(zhuǎn)子的同步電機(jī)，具有高效率、高功率密度、高精度控制和良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)[1-2]。這種電機(jī)在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，例如工業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸、醫(yī)療設(shè)備和家用電器等[3-4]。近年來(lái)，永磁同步電機(jī)得到了越來(lái)越多的關(guān)注和研究。隨著電力電子技術(shù)、微電子技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷進(jìn)步，永磁同步電機(jī)的控制性能和應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大[5]。同時(shí)，由于稀土永磁材料的價(jià)格和供應(yīng)問(wèn)題，研究人員也在探索新的永磁材料[6]和磁場(chǎng)強(qiáng)度設(shè)計(jì)[7]方法，以提高永磁同步電機(jī)的性能和降低成本。然而，PMSM在運(yùn)行過(guò)程中也存在非線性、不確定性和多變量等問(wèn)題。因此，研究PMSM控制技術(shù)具有重要的背景和意義。

近年來(lái)，學(xué)術(shù)界廣泛關(guān)注FOPID控制[8]。FOPID控制將傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)階PID控制器，引入FO微分和分?jǐn)?shù)階積分兩個(gè)額外參數(shù)[9]，從而擴(kuò)展了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)范圍[10]。因此，相比傳統(tǒng)PID，F(xiàn)OPID控制具有更好的控制性能[11-12]。劉紅艷等提出了一種FO模糊ADRC的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制[13]，實(shí)現(xiàn)了FOPID參數(shù)的實(shí)時(shí)優(yōu)化，提高了系統(tǒng)的整體控制性能。張瑤等提出了HPSO-FOPID算法[14]，解決了機(jī)器人焊接過(guò)程中焊縫跟蹤性能的問(wèn)題，孫浩等設(shè)計(jì)了一種模糊FOPID控制器[15]，利用模糊規(guī)則來(lái)調(diào)整FOPID參數(shù)，以提高FOPID控制器的響應(yīng)速度和魯棒性。

本文提出了一種改進(jìn)的自抗擾控制器，用于永磁同步電機(jī)控制。該方法基于非線性自抗擾控制器的非線性函數(shù)，并解決了原點(diǎn)附近的高頻抖振問(wèn)題[16]。首先，建立了永磁同步電機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程和數(shù)學(xué)模型。接著，采用一種新型的非線性函數(shù)替代原有的非線性函數(shù)。然后，使用模糊控制器對(duì)FOPID的參數(shù)進(jìn)行設(shè)置[17]。最后，將NLSEF用FOPID代替以提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能[18]。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后的自抗擾控制器比傳統(tǒng)自抗擾控制器在跟蹤精度和抗干擾能力方面表現(xiàn)更好。

1 永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速環(huán)擾動(dòng)分析

永磁同步電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程表示為：

(1)

式中，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；p為極對(duì)數(shù)；ωr為電機(jī)輸出的角速度；B、J分別為電機(jī)的摩擦系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；b(t)為未知擾動(dòng)。

根據(jù)電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程可得到電機(jī)角速度表示為：

(2)

其中：

2 改進(jìn)ADRC控制器設(shè)計(jì)

改進(jìn)ADRC控制器框圖如圖1所示，控制器由三部分組成：1)非線性微分跟蹤器(TD，tracking diferentiator)用于跟蹤信號(hào)，包括差分信號(hào)；2)擴(kuò)張觀測(cè)器用于觀測(cè)系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)，估計(jì)系統(tǒng)的不可預(yù)測(cè)狀態(tài)；3)FOPID用于將TD和ESO的輸出進(jìn)行非線性組合，結(jié)合擾動(dòng)提供穩(wěn)定的輸出信號(hào)。

圖1 改進(jìn)ADRC控制框圖

2.1 微分跟蹤器設(shè)計(jì)

微分跟蹤器的作用是通過(guò)自抗擾控制中的非線性函數(shù)將參考信號(hào)和輸出信號(hào)的差值處理后得到平滑的輸入信號(hào)[19]，TD算法表示為：

(3)

式中，v(t)為輸入信號(hào)；h為積分步長(zhǎng)；r為跟蹤因子；fhan為非線性函數(shù)。

其表達(dá)式如下：

(4)

TD利用輸入信號(hào)的跟蹤和濾波特性，通過(guò)安排適當(dāng)?shù)倪^(guò)渡過(guò)程可以有效的緩解設(shè)定值突變引起的輸出突變和超調(diào)，從而減少響應(yīng)速度和超調(diào)量。

2.2 改進(jìn)擴(kuò)張觀測(cè)器設(shè)計(jì)

ESO是ADRC的核心部分，其基本原理是將被控對(duì)象的輸出擾動(dòng)擴(kuò)展為新的狀態(tài)變量，并通過(guò)特殊的機(jī)制建立反饋[20]。利用ESO可以通過(guò)反饋中的補(bǔ)償來(lái)估計(jì)未知的外部擾動(dòng)和內(nèi)部的變化。ESO僅受輸入和輸出信號(hào)的影響，并不依賴于被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。ESO算法表示為：

(5)

式中，ω為輸入信號(hào)；e為觀測(cè)誤差；Z1為輸入信號(hào)的跟蹤信號(hào)；Z2為輸入信號(hào)的微分信號(hào)；Z3為系統(tǒng)擾動(dòng)的觀測(cè)信號(hào)；a1，a2，a3為跟蹤因子；δ為濾波因子；β1，β2，β3為ESO輸出誤差校正增益；b0為補(bǔ)償因子；u為系統(tǒng)輸出；fal(e，a，δ)為最優(yōu)控制函數(shù)，其表達(dá)式為：

(6)

式中，sgn為符號(hào)函數(shù)。

由上式可知，δ和-δ是該函數(shù)的兩個(gè)分段點(diǎn)，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)可得：

(7)

(8)

在不同分段點(diǎn)上，導(dǎo)數(shù)是不同的，因此，原函數(shù)在段點(diǎn)處不可導(dǎo)。雖然fal函數(shù)在原點(diǎn)和段點(diǎn)是連續(xù)的，但它是不可導(dǎo)的，缺乏連續(xù)性和平滑性。因此，對(duì)fal進(jìn)行改進(jìn)，得到新的函數(shù)fnal，使其在原點(diǎn)和段點(diǎn)處具有良好的連續(xù)性和平滑性。

當(dāng)|e|<δ時(shí)，fnal=psin(e)+qe2+rtan(e)。

這里選擇多項(xiàng)式和三角函數(shù)相結(jié)合的插值法時(shí)因?yàn)樵趂nal函數(shù)中δ的值通常小于1，在此區(qū)間內(nèi)，sin(e)的平滑性由于e，tan(e)的收斂性由于e3。

(9)

為了對(duì)比f(wàn)al和fnal的區(qū)別，這里取δ-0.01，a=0.25，對(duì)比圖如圖2所示。

改進(jìn)ESO的表達(dá)式為：

(10)

2.3 模糊分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

FOPID是傳統(tǒng)整數(shù)階PID的擴(kuò)展，其傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

(11)

式中，KP為比例常數(shù)；KI為積分常數(shù)；KD為微分常數(shù)；λ和μ分別為積分項(xiàng)階數(shù)和微分項(xiàng)階數(shù)。

表1 KP模糊規(guī)則表

表2 KI模糊規(guī)則表

表3 KD模糊規(guī)則表

表4 λ模糊規(guī)則表

表5 μ模糊規(guī)則表

圖3為KP的隸屬度函數(shù)圖，其余4個(gè)參數(shù)的隸屬度函數(shù)圖除論域不同外，其他的都相同。

圖3 KP的隸屬度函數(shù)圖

KP，KI，KD，λ，μ根據(jù)模糊規(guī)則表調(diào)整如下：

(12)

2.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

將上述電機(jī)模型寫成：

(13)

二階ESO的數(shù)學(xué)模型為：

(14)

設(shè)s1=s，s2=m(t)，w(t)=-m(t)，式(13)可表示為如下表達(dá)式：

(15)

設(shè)e1=z1-s1，e2=z2-s2，e=e1，則狀態(tài)誤差方程為：

(16)

將下列動(dòng)態(tài)反饋補(bǔ)償應(yīng)用于系統(tǒng)：

U1=U10-z2

(17)

由于ESO采用非線性結(jié)構(gòu)，難以用傳統(tǒng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)理論分析。因此，結(jié)合自穩(wěn)定性理論[21]分析本算法的穩(wěn)定性。

定義以下函數(shù)來(lái)分析ADRC+FOPID的穩(wěn)定性：

(18)

(19)

q2i(e1i，e2i)=e2i-e1i+kp1i(e1i)sign(e1i)

(20)

(21)

根據(jù)文獻(xiàn)[21]中的自穩(wěn)定性判斷條件，只需要證明下列條件成立：

(22)

(23)

也就是v1<0時(shí)，系統(tǒng)時(shí)穩(wěn)定的。

證明：設(shè)

(24)

將式(22)和(23)兩式帶入式(24)當(dāng)中，可得下式：

(25)

通過(guò)上式建立以下表達(dá)式：

(26)

當(dāng)q2i(e1i，e2i)≤p1ie1i時(shí)：

Fe1i(e2i-b1e1i)≤Fe1i(-kp1isign(e1i)+p1i)=

F(-kp1i|e1i|+p1ie1i)<-F(k-1)p1i|e1i<0|

至此，系統(tǒng)穩(wěn)定性證明完畢，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3 仿真分析

本文主要研究的是用FOPID+ADRC控制器代替?zhèn)鹘y(tǒng)ADRC控制器，將該控制器與PMSM相結(jié)合，與ADRC控制器做出對(duì)比，驗(yàn)證其控制精度。在相同的輸入條件下分別對(duì)傳統(tǒng)ADRC和ADRC+FOPID進(jìn)行仿真，驗(yàn)證所提出的ADRC+FOPID在永磁同步電機(jī)中的性能。系統(tǒng)仿真模型如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)仿真模型圖

仿真采用的PMSM參數(shù)如表6所示。

表6 永磁同步電機(jī)參數(shù)表

ADRC+FOPID參數(shù)設(shè)置如表7和表8所示。

表7 ADRC參數(shù)設(shè)置表

表8 FOPID參數(shù)設(shè)置表

將所有參數(shù)設(shè)置完成后，設(shè)置仿真時(shí)間為0.4 s，進(jìn)行下列的仿真實(shí)驗(yàn)。

在電機(jī)空載時(shí)分別設(shè)置額定轉(zhuǎn)速為100 r/min，200 r/min和1 000 r/min進(jìn)行ADRC+FOPID與ADRC控制效果對(duì)比試驗(yàn)，其轉(zhuǎn)速控制對(duì)比圖如圖5(a)，(b)，(c)所示。

圖5 空載轉(zhuǎn)速試驗(yàn)對(duì)比圖

由圖5(a)，(b)可以看出，電機(jī)在100 rad/min和200 rad/min低速運(yùn)行時(shí)，ADRC+FOPID的超調(diào)量、響應(yīng)速度以及達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間均要優(yōu)于傳統(tǒng)ADRC，由圖5(c)可以看出在1 000 rad/min時(shí)兩者的控制效果區(qū)別很小，因此可以得出一個(gè)結(jié)論：ADRC+FOPID在電機(jī)低速空載運(yùn)行時(shí)的控制效果要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)ADRC。

在電機(jī)空載時(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)速突變的試驗(yàn)，分別設(shè)置初始轉(zhuǎn)速為200 rad/min和1 000 rad/min，并在0.2 S后突變?yōu)?00 rad/min和1 500 rad/min。其轉(zhuǎn)速控制對(duì)比圖如圖6(a)，(b)所示。

圖6 空載轉(zhuǎn)速突變?cè)囼?yàn)對(duì)比圖

由圖6(a)可以看出在傳統(tǒng)ADRC控制下，電機(jī)不能在低速情況下穩(wěn)定運(yùn)行，而ADRC+FOPID則可以使電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行，且具有良好的轉(zhuǎn)速跟蹤特性。由圖6(b)可以看出電機(jī)在高速運(yùn)行時(shí)，ADRC+FOPID只是略優(yōu)于傳統(tǒng)ADRC，都能使得電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行，且都具有良好的轉(zhuǎn)速跟蹤特性。因此可以得出一個(gè)結(jié)論：當(dāng)電機(jī)低速運(yùn)行時(shí)：ADRC+FOPID相比于傳統(tǒng)ADRC具有良好的控制效果和穩(wěn)定的跟蹤性能，但在高速運(yùn)行時(shí)兩者的控制效果相差甚微。

在電機(jī)空載時(shí)進(jìn)行加載試驗(yàn)，給定初始轉(zhuǎn)速分別為200 rad/min和1 000 rad/min，并在0.2 S時(shí)加上10 N·m的負(fù)載，得到圖7(a)，(b)所示的轉(zhuǎn)速控制對(duì)比圖。

由圖7(a)可以看出，電機(jī)在200 rad/min低速運(yùn)行時(shí)，當(dāng)受到干擾后，傳統(tǒng)ADRC并不能使得系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定，而ADRC+FOPID能夠使得系統(tǒng)快速恢復(fù)穩(wěn)定運(yùn)行。由圖7(b)可以看出，電機(jī)在1 000 rad/min高速運(yùn)行時(shí)，兩種控制方法均能在系統(tǒng)受到干擾后恢復(fù)穩(wěn)定，但ADRC+FOPID的恢復(fù)速度要由于傳統(tǒng)ADRC。因此可以得出一個(gè)結(jié)論：ADRC+FOPID的魯棒性和抗干擾能力要優(yōu)于傳統(tǒng)ADRC。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以PMSM為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)了一款A(yù)DRC+FOPID控制器，該控制器由三部分組成：TD，ESO，F(xiàn)OPID。ESO中新的函數(shù)改善了原點(diǎn)的連續(xù)性和平滑性，TD改善了信號(hào)的過(guò)渡過(guò)程，F(xiàn)OPID改善了系統(tǒng)的控制效果。將該控制器與傳統(tǒng)的ADRC控制器進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，驗(yàn)證其控制效果。結(jié)果表明，在電機(jī)低速運(yùn)行時(shí)，ADRC+FOPID的跟蹤效果，響應(yīng)速度，魯棒性及抗干擾能力均要優(yōu)于傳統(tǒng)ADRC，但在電機(jī)高速運(yùn)行時(shí)，控制效果只是略優(yōu)于傳統(tǒng)ADRC。后續(xù)將針對(duì)電機(jī)在高速運(yùn)行的控制效果對(duì)控制器進(jìn)行相應(yīng)的改善和調(diào)節(jié)。