一道?？級狠S題的背景與多解探析

山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué) (271400) 張志剛

數(shù)學(xué)知識發(fā)軔于問題,活用于問題解決.剖析典型試題的命題立意、命題背景,探究多樣化的解法以及溝通各種解法之間的內(nèi)在聯(lián)系,是發(fā)展解題水平、達(dá)到解題目的的一條值得嘗試的路徑,也是體味數(shù)學(xué)源頭的一種方法.

一、試題呈現(xiàn)

(2022屆南昌市高三第一次模擬測試?yán)砜频?2題)已知A(-1,0),B(3,0),P是圓O:x2+y2=45上的一個動點,則sin∠APB的最大值是( ).

本題通過設(shè)置鮮活靈動的問題情境,考查一類最大張角問題,重點考查直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).另一方面,試題一改往常解析幾何、立體幾何或?qū)?shù)試題壓軸的命題慣例,而是選取了正弦定理、圓與圓的位置關(guān)系等“基礎(chǔ)”知識命制試題壓軸,破舊立新的背后旨在引導(dǎo)教師破除思維定勢,全面?zhèn)淇?科學(xué)訓(xùn)練,摒棄以往醉心于“押題”訓(xùn)練、“套路”訓(xùn)練的舊有思維.總之,本題立意新穎,導(dǎo)向鮮明,內(nèi)蘊豐富,具有較高的挖掘價值.

二、命制背景

本題源于經(jīng)典的米勒問題.1471年,德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家米勒(Johannes,miller)向諾德爾(Chri-stian,roder)教授提出了如下有趣的問題:如圖1所示,在地球表面的什么部位,一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(即可視角最大)?上述最大視角問題因米勒首先提出,故稱之為米勒問題.米勒問題廣泛分布于各種實際問題中,例如探求欣賞一幅畫的最佳角度、足球比賽最佳射門點等,成為世界數(shù)學(xué)史上100個著名極值問題中的首個極值問題.

將上述問題加以抽象,即為如下問題:“如圖2,設(shè)M,N是角∠AOB的一邊OA上的兩點,試在邊OB上找一點P,使∠MPN最大.”對于上述問題,我們有如下定理:

米勒定理:設(shè)M,N是角∠AOB的一邊OA上的兩點,點P是射線OB上異于O點的一動點,則當(dāng)且僅當(dāng)△MNP的外接圓與射線OB相切于點P時,∠MPN最大.[2]

證明:如圖3,在射線上任取異于P點的一點P′,連接MP′,NP′,NP′與圓相交于點C.由圓周角大于圓外角得∠MCN>∠NP′M.又因為∠MCN=∠MPN,所以∠MPN>∠MP′N,得證.

圖3

三、問題解答

以下分別從∠APB的正弦、余弦、正切值的最值問題探討三個思路尋求解題突破口.

思路一:利用正弦定理和米勒定理探索最值

本題探求一角正弦值的最小值問題,聯(lián)想到正弦定理,可轉(zhuǎn)化為△ABP的外接圓半徑最小值問題.再根據(jù)米勒定理,轉(zhuǎn)化為圓與圓的內(nèi)切關(guān)系問題,利用圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系式構(gòu)造方程求得最小半徑.

圖4

思路二:應(yīng)用余弦定理和基本不等式求解最值

點評:利用“1”的代換,借助基本不等式實施放縮,求得余弦值的最小值.

解法4:(借助斯特瓦爾特定理建立PA,PB長度間的關(guān)系式)設(shè)PA=m,PB=n,由斯特瓦爾特(Stewart)定理得PA2·OB+PB2·OA=PO2·AB+AB·AO·BO,即有3PA2+PB2=45×4+1×3×4,亦即3m2+n2=192,下同解法2.

思路三:借助兩角差的正切公式和過P的直線系方程探求最值

設(shè)出點P的坐標(biāo)(x,y),從∠APB的正切值切入,引入過P(x,y)點的直線系方程,然后利用原點到該直線(系)的距離小于等于圓的半徑構(gòu)造不等式,使問題獲解.

點評:比較上述各解題思路與解法,環(huán)肥燕瘦,辯證統(tǒng)一.但思路1應(yīng)用米勒定理,解答最為簡捷明快.

四、模型應(yīng)用

以米勒問題為背景的最大張角試題在歷年高考中屢見不鮮,經(jīng)久不衰,而米勒定理應(yīng)成為解決下此類問題的首選良策.

例1 (1986年高考全國卷理科第5題)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中,在y軸正半軸(坐標(biāo)原點除外)上給定兩定點A,B,試在x軸正半軸(坐標(biāo)原點除外)上求一點C,使∠ACB取得最大值.

圖5

例2(2005年高考浙江卷理科第17題)如圖6,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點F1,F2在x軸上,長軸A1A2的長為4,左準(zhǔn)線l與x軸的交點為M,|MA1|:|A1F1|=2:1.

圖6

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線l1:x=m(|m|>1),P為l1上的動點,使∠F1PF2最大的點P記為Q,求點Q的坐標(biāo)(用m表示).

例3(2010年高考江蘇卷第17題)某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m),如圖7所示,垂直放置的標(biāo)桿BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.

圖7

(1)該小組已經(jīng)測得一組α,β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,請據(jù)此算出H的值;

(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后,發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位m),使α與β之差較大,可以提高測量精確度,若電視塔實際高度為125m,問d為多少時,α-β最大.

囿于篇幅,以下僅給出例3(2)的解答:

以上解法中,可以再次體會應(yīng)用米勒定理大幅縮減運算量的天然優(yōu)勢.

值得關(guān)注的是,近年來,米勒問題在競賽數(shù)學(xué)中也頻頻亮相.

例4 (2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第12題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,定點M(-1,2),N(1,4),點P在x軸上移動,當(dāng)∠MPN取最大值時,點P的橫坐標(biāo)為.(參考答案:1)

五、強化訓(xùn)練

1.(2022年1月廣東省華附等四校聯(lián)考第7題)在足球比賽中,球員在對方球門前的不同位置起腳對球門的威脅是不同的,出球點對球門的張角越大,射門的命中率就越高.如圖8為室內(nèi)5人制足球場示意圖,設(shè)球場(矩形)長BC大約為40米,寬AB大約為20米,球門長PQ大約為4米.在某場比賽中有一位球員欲在邊線BC上某點M處射門(假設(shè)球貼地直線運行),為使∠PMQ最大,則BM大約是( ).(精確到1米)

圖8

A.8米 B.9米 C.10米 D.11米

(以上兩題分別選C,A)