Milosevic類似不等式的加強(qiáng)

湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)中小學(xué)教師發(fā)展中心 (410200) 劉先明

設(shè)ΔABC的三邊長(zhǎng)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑、半周長(zhǎng)與面積分別為a,b,c,R,r,s,Δ,∑表示循環(huán)求和.(本文除特別說(shuō)明外,取等號(hào)的條件都是“當(dāng)且僅當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)取等號(hào)”)

1991年,D.M.Milosevic提出了如下不等式:

本文獲得(1)式的兩個(gè)加強(qiáng)式.

先有三個(gè)引理:

引理1 (Gerretsen基本不等式)在△ABC中,有16Rr-5r2≤s2≤ 4R2+4Rr+3r2.

(R-2r)(R3+R2r+2r3).

∴定理2強(qiáng)于定理1,也強(qiáng)于引理3(即文[1]推論2).

由(1)式易得如下推論:

∴推論3強(qiáng)于推論2.