高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的幾點(diǎn)思考
——以一道解三角形高考題的教學(xué)為例

江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) (211200) 方金寶

高中階段數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開解題,習(xí)題課教學(xué)就是圍繞解題展開.習(xí)題課教學(xué)主要有:深化基礎(chǔ)知識(shí)、消除學(xué)習(xí)障礙、糾正存在問題、梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)、完善知識(shí)系統(tǒng)、提高數(shù)學(xué)能力、發(fā)展核心素養(yǎng)等功能.根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)與目標(biāo),習(xí)題課的類型分為以下幾種:單元知識(shí)完結(jié)后的習(xí)題課、章節(jié)知識(shí)完結(jié)后的習(xí)題課、模塊知識(shí)完結(jié)后的習(xí)題課、主干知識(shí)完結(jié)后的習(xí)題課、專題問題為主題的習(xí)題課.在新課程理念影響下,對(duì)高中數(shù)學(xué)習(xí)題課的教學(xué)本人做了些嘗試和思考,本文是筆者關(guān)于解三角形的一道高考題的教學(xué)實(shí)錄和思考,用以拋磚引玉.

一．教學(xué)實(shí)錄

師:今天我們來繼續(xù)解三角形問題的學(xué)習(xí),下面我們來一同探究2021年的這道高考題.

題目△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b2=ac,D為邊AC上一點(diǎn)①,AD=2DC②,且BD=b,求cos∠ABC.

生4:根據(jù)條件①、②知點(diǎn)D是三等分點(diǎn),如圖1,分別過點(diǎn)A、D作AF⊥BC、DE⊥BC,垂足分別為點(diǎn)F、E.設(shè)DE=t,BF=x,EC=y,在Rt△AFC中,(3t)2+(3y)2=b2;在Rt△BDE中,t2+(x+2y)2=b2;在Rt△ABF中, (3t)2+x2=c2,聯(lián)立方程組,消去t、x、y,得b、c等量關(guān)系,又∵b2=ac,消去b,也能得到a、c等量關(guān)系.

圖1

圖2

師:由以上多種解答思路不難看出,本題入口寬、方法多,很好地考查了解三角形的有關(guān)知識(shí)及思想方法,是一道質(zhì)量很高的選拔性試題.大家思考下這道題的各種解法背后都滲透著什么樣的數(shù)學(xué)思想方法.

生7:都是先將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件再運(yùn)算.

師:有沒有同學(xué)需要補(bǔ)充的?

生8:都是立足方程的思想來求解.

師:都說的很好,解三角形是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題,主要考查大家的基礎(chǔ)知識(shí)及基本技能.這類問題通常蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想,想著力考查大家的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).2021年新高考I卷第19題就是具備以上特點(diǎn)的一道好題.鑒于時(shí)間原因,課后大家把剛才六位同學(xué)講的思路認(rèn)真演算和整理出來,用心體會(huì),舉一反三,真正達(dá)到做一題會(huì)一類的水平.

二．教學(xué)反思

1.解三角形問題的必備意識(shí)和思想

求解三角形問題時(shí)要必備兩個(gè)意識(shí)和五種數(shù)學(xué)思想,兩個(gè)意識(shí)主要指邊角互化意識(shí)和信息可視化意識(shí).在解三角形問題所給條件中往往既有角又有邊,這就需要我們利用正余弦定理把二者進(jìn)行互化,達(dá)到邊角統(tǒng)一的目的.我們皆知若題中給出代數(shù)關(guān)系式,則需要我們對(duì)其進(jìn)行變形,考查的是數(shù)學(xué)運(yùn)算;若給出幾何關(guān)系,則需要我們將幾何條件轉(zhuǎn)換為代數(shù)式,考查的是推理論證.圖是初等數(shù)學(xué)的生命線,能不能用圖支撐思維活動(dòng)是能否學(xué)好初等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.清晰、干凈、準(zhǔn)確的圖形能幫助我們迅速找到題目所給的所有信息,可以大大提高解題效率.

五種數(shù)學(xué)思想主要指方程思想、不等式思想、函數(shù)思想、平面向量思想和解析幾何思想.求解有關(guān)字母值的問題多用方程思想;而處理有關(guān)范圍和最值的問題時(shí)常常會(huì)用到不等式和函數(shù)的思想;向量是數(shù)學(xué)中刻畫既有大小又有方向的量的數(shù)學(xué)語言,因此處理有關(guān)長度和角度的問題時(shí),也用向量來刻畫;解析幾何的研究對(duì)象是平面幾何圖形,思路是用代數(shù)的方法研究幾何問題,三角形是最常見的平面圖形之一,因此常常也用這個(gè)方法來研究.

2.關(guān)于高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的幾點(diǎn)思考

通過一段時(shí)間來的探究和學(xué)習(xí),發(fā)現(xiàn)習(xí)題課的教學(xué)模式主要有精選例題,解法研究,拓展思考,反思總結(jié)等階段.無論什么階段的習(xí)題課教學(xué),首先都是要選擇合適的題.一般來說,選題主要遵循如下標(biāo)準(zhǔn):針對(duì)性(層次、適量、豐富)、科學(xué)性(邏輯、正確)、創(chuàng)造性(靈活、探究).簡而言之就是要選擇有想法有思維的題,這樣才能最大限度地引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)思維的海洋中翱翔.解題主要有三個(gè)過程:理解題意,分析題目,解答問題.當(dāng)然最后不可缺少的一個(gè)環(huán)節(jié)就是反思,帶領(lǐng)學(xué)生反思解題過程,反思條件結(jié)論,反思解題方法和策略.重視解題后的反思有益于學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行深入的探究,達(dá)到“做一題會(huì)一類”的效果.

《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》要求高考試題全面深化基礎(chǔ)性考查,貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)提出的發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的指導(dǎo)目標(biāo),明確學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、范疇和考查路徑,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透,深入考查學(xué)生的基本知識(shí)和關(guān)鍵能力,優(yōu)化試題設(shè)計(jì),加大開放題的創(chuàng)新力度,發(fā)揮數(shù)學(xué)高考的選拔功能,助力提升學(xué)生的綜合素質(zhì).深化基礎(chǔ)性考查主要指向思維的靈活性,而思維的靈活性主要體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度理解上,體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想方法的深刻認(rèn)識(shí)上.數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本,是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí),也是數(shù)學(xué)知識(shí)到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的橋梁.因此老師只有認(rèn)真研究新課標(biāo)、新教材,在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中引領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)悟知識(shí)的本質(zhì),感悟數(shù)學(xué)的思想方法,積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提升學(xué)生的核心素養(yǎng),才能科學(xué)面對(duì)新高考.