為何錯解如此流行
——老調(diào)重彈函數(shù)的單調(diào)性

廈門大學(xué)附屬實(shí)驗中學(xué) (363123) 田富德

不等式恒成立問題一直是高考、各類省市質(zhì)檢的熱點(diǎn).解決此類問題,最終均轉(zhuǎn)化函數(shù)的最值問題,而函數(shù)導(dǎo)數(shù)是求解函數(shù)最值的重要方法.為了增加試題靈活性和簡潔性,ex與lnx備受命題者的青睞.近幾年,ex與lnx同時出現(xiàn)的題也如雨后春筍,直接構(gòu)造函數(shù)求解往往比較復(fù)雜甚至不可解,利用同構(gòu)策略結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性大大減少了運(yùn)算量,這也讓廣大師生把同構(gòu)研究得更透徹.

1 同構(gòu)思想的含義

導(dǎo)數(shù)問題中經(jīng)常出現(xiàn)含參等式或不等式,很大一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的,如果我們能找到這個函數(shù)模型,無疑大大加快解決問題的速度．即通過變形,使式子左右兩邊結(jié)構(gòu)形式完全相同,找到不等式兩邊對應(yīng)的同一函數(shù)模型,這就是同構(gòu)法．例如:若F(x)≥0能等價變形為f[g(x)]≥f[h(x)],然后利用f(x)的單調(diào)性,如遞增,則轉(zhuǎn)化為g(x)≥h(x),簡化式子,事半功倍．同構(gòu)思想的本質(zhì)是借助于函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)對條件進(jìn)行等價變換.

二、同構(gòu)思想解題

例1 (2020山東高考)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

綜上,a≥1.

點(diǎn)評:顯然原不等式可化為aex-1-1+lna≥lnx,屬于指對數(shù)混合型不等式恒成立問題,顯然參數(shù)a是不可分離的,只能選擇直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo),此時往往導(dǎo)數(shù)較為復(fù)雜,上述解法利用函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)將原不等式等價轉(zhuǎn)換為aex-1≥x,顯然大大化簡了原不等式,接下來解題就勢如破竹了,這也是同構(gòu)解題策略受廣大師生青睞的原因.

三、為何錯解如此流行

筆者剛好帶了一屆高三,各地質(zhì)檢卷做了不少,發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上提供的解答、學(xué)生的答卷上、甚至部分老師提供的解答都清一色的犯了一個共同的錯誤——忽略了單調(diào)性變量取值的任意性,違背了“定義中的x1,x2均為區(qū)間內(nèi)的兩個任意取值,取值彼此互不依賴、互不影響.”錯用單調(diào)性的定義進(jìn)行解題.又由于錯解所得到的結(jié)果與正解的結(jié)果一致,故得到錯解的人還會以為自己獲得了妙解.

1.錯解展示

單調(diào)性經(jīng)典錯誤性質(zhì):?x∈E,當(dāng)g(x)、h(x)∈D且g(x)f(h(x)),則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.

說明:本文約定,對于不等式f(g(x))

錯因分析:雖然錯誤性質(zhì)的變量x具有任意性,但對f(x)來說,內(nèi)層函數(shù)變量的兩個取值g(x)、h(x)并不具有任意性,呈相互影響、相互約制關(guān)系,違背了單調(diào)性定義的變量取值任意性,因此,錯誤性質(zhì)條件下,得不到f(x)的單調(diào)性.

正確性質(zhì):“?x∈E,當(dāng)g(x)、h(x)∈D且g(x)f(h(x))”是“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減”的必要不充分條件.

本文展示筆者所在省份的3道題的錯誤解法.

例2 (2022年漳州3月質(zhì)檢)已知f(x)=x2-x-alnx.

(1)若a=1,求f(x)的最小值;

(2)當(dāng)x≥1時,f(2x-1)-2f(x)≥0,求a的取值范圍.

錯因分析:注意到上述解題過程中由“g(x2)≥g(2x-1)及x2≥2x-1”得到“g(x)在區(qū)間[1,+∞)單調(diào)遞增”,解題者忽略了x2與2x-1并不任意取值,當(dāng)其一確定,另一個變量的取值也隨之確定.

例3 (2022年泉州1月質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=ax-ex,?x∈(1,+∞),f(x)

A．(-∞,1)B．(-∞,1]

C．(-∞,e)D．(-∞,e]

錯解:因為alnx+a-ex=a(lnx+1)-elnx+1,所以?x∈(1,+∞),f(x)f(x)在(1,+∞)恒成立,因為1

錯因分析:注意到上述解題中由“f(lnx+1)>f(x)及1

(1)當(dāng)a=2時,f(x)≥3恒成立,求b的值;

(2)當(dāng)02時,f(x)>bln[a(x-1)]恒成立,求b的取值范圍.

2.反例展示

例5 已知函數(shù)f(x)=(x-1)(x-a),?x∈[0,+∞),f(2x)≥f(x)恒成立,求a的取值范圍.

正解:依題意有(2x-1)(2x-a)≥(x-1)(x-a)在x∈[0,+∞)時恒成立,即3x2-x≥ax在x∈[0,+∞)時恒成立,即a≤(3x-1)min,x∈[0,+∞),從而有a≤-1.

流行原因分析:錯解能得以流行的重要原因,其一,錯解所得結(jié)果與正解所得結(jié)果一致,才有機(jī)會讓大家認(rèn)可錯解,忽略錯因;其二,正解過程可能繁雜,或是遇繁而退或是遇難而另辟蹊徑,不小心誤入錯解.如例5所示,兩種結(jié)果一致,如例2、例3及例4所示,大家可以網(wǎng)上查閱正確解法,皆比錯解相對繁雜.

那么問題來了,我們總是可以利用錯解得到答案,是不是對任何試題錯解都能得到正確結(jié)果呢?答案顯然是否定的.我們看如下反例:

例6 已知函數(shù)f(x)=(x-1)(x-a),?x∈[1,+∞),f(2x)≥f(x)恒成立,求a的取值范圍.

正解:依題意有(2x-1)(2x-a)≥(x-1)(x-a)在x∈[1,+∞)時恒成立,即3x2-x≥ax在x∈[1,+∞)時恒成立,即a≤(3x-1)min,x∈[1,+∞),從而有a≤2.

在例6中,顯然錯解得不到與正確一樣的結(jié)果,那又為什么錯解在眾多試題屢屢成功騙到結(jié)果呢?對比例6與例2、例3、例4及例5的區(qū)別,可以發(fā)現(xiàn)例6在變量x起點(diǎn)處x=1時,內(nèi)層變量不相等“2x≠x”,在例5中變量起點(diǎn)處x=0時,內(nèi)層變量相等,即“2x=x”,這在例2、例3及例4也滿足了類似的條件.

為什么眾多試題均不更換區(qū)間起點(diǎn)來避開上述類似條件?筆者也嘗試考試過更換例2、例3及例4的恒成立區(qū)間,都發(fā)現(xiàn)要么過程繁雜或幾乎不可解,大家可以嘗試看看,顯然恒成立區(qū)間起點(diǎn)處內(nèi)層變量相等受命題者的青睞.

在恒成立區(qū)間起點(diǎn)處內(nèi)層函數(shù)變量相等的前提下,對于錯誤性質(zhì)是不是就成立了呢?答案也是否定的.我們再看如下反例:

例7 已知函數(shù)f(x)=(x-2)2(x-a),?x∈[0,+∞),有f(2x)≥f(x)恒成立,求a的取值范圍.

在例7中,滿足了變量起點(diǎn)處x=0時,內(nèi)層變量相等,即“2x=x”,但利用錯誤性質(zhì)仍不能得到正確結(jié)果.對比例7與前述例題,重大區(qū)別是,在參數(shù)變化中,例7的函數(shù)可能有3個單調(diào)區(qū)間,而例1至例6的函數(shù)均至多兩個單調(diào)區(qū)間,盡管有的函數(shù)求導(dǎo)復(fù)雜,但單調(diào)區(qū)間并不多.在例1至例5中,恒成立區(qū)間起點(diǎn)處內(nèi)層變量相等保證了在起點(diǎn)處附近函數(shù)只能單調(diào)遞增,這樣排除了先減后增的情況,先增后減又顯然違備條件,因此在同構(gòu)時,內(nèi)層函數(shù)至多兩個單調(diào)區(qū)間且區(qū)間起點(diǎn)處內(nèi)層變量相等,錯解可以得到正確的結(jié)果.但當(dāng)內(nèi)層函數(shù)可能3個或更多個區(qū)間時,錯解就幾乎不可能得到正確的結(jié)果了.

解題研究是中學(xué)數(shù)學(xué)一線教師及教研人員必做的功課,只能深刻理解試題背景蘊(yùn)含的本質(zhì),才能站在至高點(diǎn)上引導(dǎo)學(xué)生解題,函數(shù)題海博大精深,本文旨在拋磚引玉,讓更多的老師把此類問題研究的更加透徹,相互學(xué)習(xí).