突顯函數(shù)單調(diào)性的示范作用 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

廣西南寧市第三中學(xué) (530021) 鄒信武

1 問(wèn)題的提出

函數(shù)單調(diào)性是反映函數(shù)變化規(guī)律的一個(gè)基本性質(zhì),由于它的“抽象性”和“應(yīng)用性”,歷來(lái)都是高中數(shù)學(xué)教師研究的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容.在以往的教學(xué)設(shè)計(jì)中,重點(diǎn)往往在于如何引導(dǎo)學(xué)生理解“符號(hào)化表示”和“任意性”上,誠(chéng)然,這是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性時(shí)的認(rèn)知障礙,但是,從發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度,函數(shù)單調(diào)性還承載著更多的教育教學(xué)作用.

2 函數(shù)單調(diào)性教學(xué)作用

2.1 函數(shù)單調(diào)性是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的優(yōu)良載體

函數(shù)單調(diào)性是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好教學(xué)素材.函數(shù)單調(diào)性概念的形成中,學(xué)生經(jīng)歷了從圖形語(yǔ)言、自然語(yǔ)言再到符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的過(guò)程,從具體到一般,從“定性分析”到“定量刻畫”,可以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);在經(jīng)歷具體函數(shù)圖象的單調(diào)性提煉和函數(shù)單調(diào)性在具體函數(shù)的“直觀圖象”中,發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng);在理解函數(shù)單調(diào)性概念中的“全稱量詞”、“特稱量詞”等邏輯用語(yǔ)中,發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng);在利用函數(shù)單調(diào)性定義解決具體問(wèn)題中,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

2.2 函數(shù)單調(diào)性是后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)的優(yōu)良“示范”

學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念和函數(shù)的表示方法之后,在學(xué)生心中可以產(chǎn)生大量的問(wèn)題,如下一步應(yīng)該學(xué)習(xí)(思考)函數(shù)的什么呢?什么是函數(shù)的性質(zhì)?如何尋找函數(shù)的性質(zhì)?又應(yīng)該表達(dá)它們呢?這樣做有什么作用呢?……這些問(wèn)題恰恰利于發(fā)展學(xué)生的“理性思維”.因此,應(yīng)該把握住這一教學(xué)契機(jī),在函數(shù)單調(diào)性的探求過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生逐步明了研究函數(shù)性質(zhì)的基本框架和路徑,使數(shù)學(xué)中發(fā)展特有的目標(biāo)取向、思考結(jié)構(gòu)、思維方式和符號(hào)化表達(dá)有機(jī)的融入系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)中,形成一個(gè)完整的數(shù)學(xué)研究過(guò)程,為后續(xù)函數(shù)性質(zhì)研究提供一個(gè)“示范”.

3 函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)過(guò)程

函數(shù)的單調(diào)性概念的形式化過(guò)程,本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)概念的抽象過(guò)程.關(guān)于數(shù)學(xué)抽象,史寧中教授將它分成三個(gè)階段:一是簡(jiǎn)約階段,即抓住事物特征,語(yǔ)言表達(dá);二是符號(hào)階段,即抓住事物本質(zhì),符號(hào)表達(dá);三是普適階段,即抓住事物關(guān)聯(lián),模型表達(dá).函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)過(guò)程應(yīng)尊重?cái)?shù)學(xué)抽象的層次性,兼顧學(xué)生思維的發(fā)展水平,概念形成與概念同化相結(jié)合.如圖1,將函數(shù)單調(diào)性的概念學(xué)習(xí)分為四個(gè)階段:方法與途徑、辨別與提煉、表征與定義、完備與應(yīng)用.

圖1 函數(shù)-單調(diào)性學(xué)習(xí)過(guò)程

4 函數(shù)單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

4.1 方法與途徑

引入:前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義和表示法,知道函數(shù)是描述客觀世界中變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.這樣,我們就可以通過(guò)研究函數(shù)的變量間的變化規(guī)律來(lái)把握客觀世界中事物的間的變化規(guī)律,變化中的不變性就是性質(zhì),變化中的規(guī)律性也是性質(zhì).因此,研究函數(shù)的性質(zhì),就是研究自變量在變化時(shí),函數(shù)值呈現(xiàn)出什么樣的變化規(guī)律.那么,哪一種函數(shù)表示方法可以直觀的反映規(guī)律性呢?

設(shè)計(jì)意圖:承前啟后,交代清楚性質(zhì)和函數(shù)性質(zhì)的涵義.引出了本節(jié)課的主題——研究函數(shù)的性質(zhì),同時(shí)指出了研究的途徑:尋找自變量與函數(shù)值的變化規(guī)律;并且指出研究的出發(fā)點(diǎn):函數(shù)的圖象.

4.2 辨別與提煉

問(wèn)題1觀察圖2中的三個(gè)函數(shù)圖象,你能說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些性質(zhì)嗎?哪些是三個(gè)函數(shù)圖象共有的性質(zhì)?

圖2

設(shè)計(jì)意圖:這樣的處理,既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象中“簡(jiǎn)約階段”的特征,又能統(tǒng)攝后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容,體現(xiàn)“大單元”教學(xué)觀.學(xué)生從特殊的三個(gè)函數(shù)圖象中,分析變化規(guī)律,并進(jìn)一步對(duì)它們進(jìn)行提煉和類化,進(jìn)而得到某些“規(guī)律性特征”.這幾個(gè)圖象中,有“上升”、“下降”——單調(diào)性,有中心對(duì)稱和軸對(duì)稱——奇偶性,有極值和最值,還有變化快慢等特征,這些都是今后要研究的性質(zhì).當(dāng)學(xué)生提煉了種種性質(zhì)之后,再指出“上升”、“下降”這樣的圖形特征我們稱為函數(shù)的單調(diào)性,本節(jié)課的目標(biāo)就是準(zhǔn)確的描述這樣的圖象特征.

4.3 表征與定義

問(wèn)題2 我們從簡(jiǎn)單的函數(shù)開始,先研究函數(shù)f(x)=x2,g(x)=x3的單調(diào)性.請(qǐng)同學(xué)們用描點(diǎn)法畫出它的圖象,并描述出它的單調(diào)性情況.

設(shè)計(jì)意圖:這是本節(jié)課的關(guān)鍵問(wèn)題,設(shè)計(jì)主要從以下幾個(gè)方面考慮:

(1)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,從特殊到一般,是我們研究問(wèn)題的一種常見(jiàn)方法.利用特殊函數(shù)的圖象引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明晰單調(diào)性的圖形直觀,并得出圖形直觀描述:從左往右看,y=g(x)圖象在“上升”;當(dāng)x<0時(shí),y=f(x)圖象“下降”,當(dāng)x>0時(shí),y=f(x)圖象“上升”.

(2)此處要求學(xué)生使用描點(diǎn)法作圖,使學(xué)生在列表描點(diǎn)過(guò)程中,能直接感受自變量變化時(shí)函數(shù)值的變化規(guī)律,并且把這樣的規(guī)律與圖象變化建立聯(lián)系,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)圖象描述向代數(shù)刻畫轉(zhuǎn)變.

(3)選擇f(x)=x2和g(x)=x3的原因還有兩個(gè):一是通過(guò)對(duì)比,讓學(xué)生體會(huì)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì),并且具有普遍性;二是為后面函數(shù)奇偶性的研究埋下伏筆.

追問(wèn)1:函數(shù)是自變量與因變量的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)于f(x)=x2,你能用自變量x與函數(shù)值f(x)描述剛剛大家得到的函數(shù)圖象的“上升”和 “下降”嗎?

設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生經(jīng)歷了描點(diǎn)法作圖過(guò)程,就不難從圖形描述轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)描述性語(yǔ)言:當(dāng)x<0時(shí),f(x)越小;當(dāng)x>0時(shí),x越大,f(x)越大.值得注意的是,雖然這樣的描述語(yǔ)言在初中已經(jīng)出現(xiàn),但是在以往教學(xué)實(shí)踐中,大部分學(xué)生依然不能精確地表述,因此這樣的復(fù)習(xí)還是有必要的.

追問(wèn)2:結(jié)合繪制f(x)=x2的過(guò)程,請(qǐng)你舉例說(shuō)明:當(dāng)x>0時(shí),x越大,f(x)越大.

設(shè)計(jì)意圖:函數(shù)單調(diào)性概念符號(hào)化過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn)就是如何讓學(xué)生自然地使用區(qū)間上兩點(diǎn)坐標(biāo)去刻畫變化規(guī)律.在這個(gè)問(wèn)題解決過(guò)程中,從一般到特殊,隨著學(xué)生不斷列舉實(shí)例(如1<2,則f(1)

追問(wèn)3:大家發(fā)現(xiàn)了“上升”部分兩點(diǎn)間存在大小關(guān)系,你能用剛才的發(fā)現(xiàn)來(lái)描述“當(dāng)x>0時(shí),x越大,f(x)越大”嗎?

設(shè)計(jì)意圖:從特殊到一般,引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言描述“上升”這一性質(zhì).這是達(dá)成抽象概念的重要過(guò)程,雖然描述不完善,但是描述脫離了圖象,完成了定性刻畫向定量刻畫的轉(zhuǎn)變.

追問(wèn)4:請(qǐng)同學(xué)們判斷:當(dāng)x1,x2∈[0,+∞),如果x1

設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生逆向思考,完成函數(shù)單調(diào)性概念形成過(guò)程中的“完備性”.此處是本節(jié)課的難點(diǎn)之一,通過(guò)設(shè)置充分必要條件的判斷,使學(xué)生意識(shí)到“所有點(diǎn)都應(yīng)滿足”,進(jìn)而體會(huì)x1、x2任意性的重要性.

追問(wèn)5:請(qǐng)同學(xué)們用準(zhǔn)確的語(yǔ)言刻畫f(x)=x2“上升”和“下降”的情況.對(duì)于g(x)=x3呢?

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)前面的層層鋪墊,達(dá)成數(shù)學(xué)抽象符號(hào)化.學(xué)生在使用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆?hào)語(yǔ)言刻畫f(x)=x2的g(x)=x3的單調(diào)性情況,體會(huì)符號(hào)語(yǔ)言的精煉與準(zhǔn)確.

追問(wèn)6:對(duì)于函數(shù)h(x)=|x|又有怎樣的單調(diào)性呢?你能描述出來(lái)嗎?

設(shè)計(jì)意圖:再通過(guò)一個(gè)特殊函數(shù)單調(diào)性的判斷,深化符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)與理解.讓學(xué)生再一次體會(huì)“圖形語(yǔ)言→自然語(yǔ)言→符號(hào)語(yǔ)言”這一數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程.

問(wèn)題3如圖3,對(duì)于一般的函數(shù),你能寫出這兩種情況的定義.

圖3

設(shè)計(jì)意圖:師生一起歸納單調(diào)遞增(減)、增(減)函數(shù)的定義和單調(diào)區(qū)間的定義.關(guān)注學(xué)生符號(hào)語(yǔ)言的準(zhǔn)確性,特別是在區(qū)間、任意、取點(diǎn)等地方的細(xì)節(jié).

4.4 完備與應(yīng)用

問(wèn)題4教材中的思考:

(1)設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合,而且?x1,x2∈A,當(dāng)x1

(2)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的,你還能舉出在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎?你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎?

設(shè)計(jì)意圖:這是概念同化的過(guò)程.因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)性概念的抽象性,可以提供幾個(gè)問(wèn)題給學(xué)生辨析,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解.教材中的兩個(gè)問(wèn)題分別從函數(shù)單調(diào)性中的“任意性”和區(qū)間兩個(gè)方面進(jìn)一步深化對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解.

問(wèn)題5 例1:根據(jù)定義,研究函數(shù)f(x)=kx+b(k≠0)的單調(diào)性.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)實(shí)例使學(xué)生體會(huì)單調(diào)性符號(hào)化定義的必要性和實(shí)用性,通過(guò)例1、例2歸納用單調(diào)性定義證明單調(diào)性的步驟,例3則是定義法證明單調(diào)性的推廣和應(yīng)用.

例1和例2本質(zhì)上分別是一次函數(shù)和反比例函數(shù)單調(diào)性的判斷,在初中我們一般采用圖象法進(jìn)行判斷單調(diào)性,這樣判斷的弊端是圖像往往只能得到局部的特征,對(duì)于“無(wú)窮”位置,是無(wú)法解釋的.因此,引導(dǎo)學(xué)生使用定義法證明幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性,有助于提升代數(shù)證明、推理能力,同時(shí)也有助于學(xué)生理解“無(wú)窮”的含義,體會(huì)“無(wú)窮”的數(shù)學(xué)處理方法,從中感受數(shù)學(xué)的美和力量.

例3則是通過(guò)一個(gè)學(xué)生相對(duì)陌生的函數(shù),引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算,進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?進(jìn)而判斷函數(shù)單調(diào)性,使學(xué)生體會(huì)定義法判斷單調(diào)性的強(qiáng)大作用和價(jià)值.

問(wèn)題6請(qǐng)同學(xué)們思考并回答以下問(wèn)題:

(1)什么叫函數(shù)的單調(diào)性?你能舉出一些具體例子嗎?

(2)你認(rèn)為在理解函數(shù)的單調(diào)性時(shí)應(yīng)把握好哪些關(guān)鍵問(wèn)題?

(3)利用定義證明單調(diào)性的步驟是什么?有哪些注意事項(xiàng)?

(4)結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程,你對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容和方法有什么體會(huì)?

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)問(wèn)題設(shè)置,將本節(jié)課的知識(shí)、方法、技能、過(guò)程等進(jìn)行回顧與提煉,突出函數(shù)單調(diào)性的概念內(nèi)涵和外延,歸納函數(shù)性質(zhì)的研究過(guò)程,為后續(xù)函數(shù)性質(zhì)研究的埋下鋪墊.

5 小結(jié)

通過(guò)函數(shù)單調(diào)性教學(xué),我們希望給學(xué)生建立一種研究函數(shù)性質(zhì)的“示范”,在這樣的“示范”下,后續(xù)性質(zhì)的教學(xué)就變成有目的、有方法、有路徑的探究學(xué)習(xí).學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中,得到的不僅僅是函數(shù)性質(zhì)本身,還有探尋和研究問(wèn)題的思維不斷得到鍛煉和提升,進(jìn)而達(dá)到“教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)”的教學(xué)效果,最終發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).