義務教育階段學生數(shù)學量感的教育價值及其實現(xiàn)路徑

甘水英 武小鵬

[作者簡介]甘水英（1994—），女（布依族）貴州貴定人。碩士研究生，主要研究方向為數(shù)學課程與教學。*[通信作者]武小鵬（1986—），男，甘肅天水人。博士，教授，碩士生導師，主要研究方向為教育測量與評價、數(shù)學課程與教學。[摘要]量作為刻畫世界萬物最為關鍵的一面，受到人們的普遍推崇。量感作為公民最基礎的量化素養(yǎng)的核心概念，同樣得到了教育界的普遍認同。新一輪課程標準也將量感作為義務教育階段的核心素養(yǎng)。但量感一詞在一線教師當中還是比較陌生。從量的內涵出發(fā)，刻畫了量感的基本特征，并深入分析了量感的重要價值，在此基礎上，從5個方面提出了量感的培養(yǎng)途徑，為深入理解量感的內涵以及落實量感的培養(yǎng)提供了參考。

[關鍵詞]量感；核心素養(yǎng)；義務教育；課程標準

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]1005-4634（2023）01-0081-05

學生應該學習哪些知識，一直以來都是教育學科討論的重點。隨著課程改革的不斷推進，發(fā)展學生素養(yǎng)為中心的教學將逐漸取代以知識為本的教學。近年來，我國啟動了各學科核心素養(yǎng)的研究與培養(yǎng)。在數(shù)學教育中，義務教育階段將量感引入新課程標準，其已成為和數(shù)感并列的重要核心素養(yǎng)。量在內涵和外延等方面都具有明確的特征。因此，本研究聚焦“義務教育階段學生的數(shù)學量感有什么內涵和特征？學生數(shù)學量感的培養(yǎng)有何種教育價值？學生數(shù)學量感的培養(yǎng)應該在哪些方面入手？”等問題進行分析。

1量感的內涵及特征

1.1量的內涵與特征

數(shù)學是一門研究數(shù)量關系、空間結果、信息等概念的科學[1]，其中“數(shù)”是用來度量不同事物的概念，是客觀存在量的意識表述[2]。數(shù)的本身是不包含單位量的，當需要數(shù)表示一個事物的量時，必須在數(shù)后帶上單位量，并且一個事物的量可以用不同的數(shù)來表示。因而，單純的數(shù)并不能表示出一個事物所固有的客觀存在的量?！皵?shù)”是主觀規(guī)定的，是可以進行改變的，而“量”是客觀實在的，不隨人們的意志而改變。辯證唯物主義認為：任何事物都可以從質和量兩個方面進行分析。質的存在讓人們更好地區(qū)分事物間的不同點，量卻向人們反饋了事物間的相同點。事物的相同點是指任何事物都可以用本身的一個小部分作為“標準的尺度”，來對事物進行度量的共同屬性。這些共同屬性一般包括事物的大小、范圍、輕重等多個方面。胡世華等人認為：基礎數(shù)學通常研究事物量的性質，并且是純粹的量[3]。如各種數(shù)系、點、直線、平面、圖形、因變量、代數(shù)方程、微積分方程、群、環(huán)、域、范疇、同構、同態(tài)等都是純粹的量?？偨Y起來，這些量具有以下6個方面的特征。

（1） 抽象性：量這個概念具有高度的抽象性，它能涵蓋較廣的范圍，同時量要抽去事物各種質的外殼，只從量的角度、形式去探索它的規(guī)律。

（2） 確定性：數(shù)學所研究的必須是從事物中抽象提取出的某一確定的對象[3]。這種確定性往往保證了結果的唯一性和客觀性，即在遵循一定的量的運算規(guī)律和邏輯判斷的基礎上，結果是唯一確定的。

（3） 可運算性：數(shù)學中一些相關的量，按照某一特定的運算（律）進行運算后，會得到一個新的量。并且這些運算是封閉性的，得到的這個新的量還可以繼續(xù)與相關的量進行運算，它呈現(xiàn)出量的運算是可以無限循環(huán)下去的。但無論進行多少次運算，其運算產(chǎn)生的量都是封閉的。

（4） 關聯(lián)性：在對量表述時，各個部分間、部分與整體間都會存在一定的關聯(lián)性，不可能是獨立存在的。它們之間必定會有順序、多少、大小和等價等關系，并且相關的量之間有一定的進率，它們之間是可以互相轉化和相互表示的。

（5） 可系統(tǒng)地符號化：對于量的表述，不僅可以用文字語言加以表示，還可以通過圖形或特定的（數(shù)學）符號加以描述，并且這些（數(shù)學）符號的表示和使用不斷統(tǒng)一和規(guī)范，這種表示就像編程一樣，必須遵循一定的編碼規(guī)范及要求。

（6） 一定的結構：在對量進行多次運算、變換后就會得到一個新的量，而這個新的量常常具有一定的結構。量有不同的表述形式，并且具有可運算性，這些都體現(xiàn)了學習量的復雜程度。

現(xiàn)實中常用的量可分為兩類[4]：一是具體而直觀的量，如毫米、分米、厘米等長度單位。這些量是可以被具體刻畫和表示出來的，教師通過形象的語言和動作進行講解，學生們也相對好理解和掌握。二是較抽象的量，如時間單位的秒、分、時，重量單位的克、千克、噸等。這類量是比較抽象的，很難用語言和動作描述出來。此時需要教師進行指導，持續(xù)不斷地讓學生感悟不同的量。

1.2量感的內涵

量感作為一個相對較新的概念，通常有3種觀點：（1）直接把量感和數(shù)感等同起來，認為兩者是同一個概念，即數(shù)量的體會與領悟，就是人們所提到的量感。（2）把視覺與觸覺等感官對物體的規(guī)模、重量、厚度等的感性認識看作是量感[5]。這是從宏觀角度給出的量感的界定。（3）量感是人們對事物的量的感知，也就是說是通過人自身的感覺對事物的量的猜測與推斷[6]（稱為量的推斷），或對實際事物和數(shù)學中的有關量的單位之間的相符性進行推理判斷的一種感悟（稱為量的區(qū)分）[7]，這種界定是從微觀角度給出的。量的推斷和量的區(qū)分組成了量感兩個要素。一般情況下，在人們的日常生活中，多數(shù)是在進行量的推斷，而量的區(qū)分一般出現(xiàn)在數(shù)學教學中。

在數(shù)學中，量感通常表示對數(shù)學研究對象的感性認知，一般包括它的時間、重量、面積、體積、長度等[8]。義務教育階段是學生量感逐漸形成和不斷發(fā)展的關鍵期，它通常表現(xiàn)為對量的比較和量的估算的深入感悟。這一階段學生的量感通常分為兩類：生活量感和數(shù)學量感。生活量感是指人們在生活中，通過不斷地使用量來解決問題，從而對量所產(chǎn)生的一種直覺。生活中遇到的量感往往是一時的、片面的、不確定的，是一種對事物基本的量化感知，但是隨著生活經(jīng)驗的不斷豐富，這種自發(fā)的直覺會不斷完善。數(shù)學量感往往具有一定的客觀性，它是在一定數(shù)學基本知識的支撐下，通過對事物的觀察、觸摸、思考、推斷、測量等活動，形成具體的數(shù)量表征，并循序漸進地內化成穩(wěn)定的判斷能力。這種判斷能力更有可能是理性的、全面的、精確的、穩(wěn)定的。這兩種量感是相互促進、相互依賴的。

1.3量感的特征

量感的建立是一個持續(xù)的、重復體驗的、陸續(xù)改變的歷程。量感的培養(yǎng)依附于人們的感性認識，而感性認識的準確率依賴于事物直接刺激人的感覺器官時在頭腦中所產(chǎn)生的對事物的表征。因此，要獲得感性認識，學生必須在教師的指導下，持續(xù)地參加社會實踐活動，直接與客觀事物接觸，這樣才能形成更加精確的量感。量感的形成往往與學生的生活經(jīng)驗、學習體驗、環(huán)境感知等多方面因素緊密結合。因此，在量感的培養(yǎng)中，一定要通過具體事物的感知，逐漸形成對事物比較穩(wěn)定的認識。當學習者具備有關活動的經(jīng)驗，會迅速而準確地在頭腦中形成量的表征，此時擁有的生活量感，會為課堂上學習數(shù)學量感奠定基礎。在學習的過程中，不僅使得學生的數(shù)學量感不斷形成，更能使得生活量感不斷完善。

“量感”的培養(yǎng)迫切需要滲透于整個數(shù)學的教學中[9]。專家們通過不斷修訂課標，讓教師們意識到量感的習得是數(shù)學教學的重點目標。量感是一種特殊的感覺，在教學中，需要教育工作者把量感的習得不斷滲透在教學中，豐富數(shù)學與學生實際生活的聯(lián)系，帶領學生進行適當?shù)臏y評，讓學生開展大量的數(shù)學實踐活動，讓學生在活動中潛移默化地形成和完善量感[10]。

2量感的教育價值

2.1提升公民的基本量化素養(yǎng)

公民的基本量化素養(yǎng)是指人們在遇到社會上的各種信息時，能用數(shù)量的形式表示出來的能力。量化的必要條件是劃分出在數(shù)量內容上不相同的同質客體[11]。量化是描述社會現(xiàn)象的一種形式。在義務教育階段，量化素養(yǎng)的培養(yǎng)首先是從人們對基本的物體長度、面積、體積、重量等量的估測開始，再到對不同量的比較和識別依序開展。在高中及以上階段，表現(xiàn)為對基本量的推理和運算。這些是公民生活中必不可少的基本素養(yǎng)。

愛因斯坦曾言：“教育指的是人們把在學校所學的知識全部忘掉后剩下的東西?！盵12]這里所說的“教育”，其實是一種素養(yǎng)。如果學生在學校形成、發(fā)展、完善了數(shù)學量感，當畢業(yè)許久后，他們可能會忘記相關單位之間的換算關系式，但會有如下行為：能較準確地描述看到場所離自己的距離；能夠估計從家到某個熟悉的地點行走所需的時間；通過拎一拎就能估計所買物品大概有多少斤等。這些都是他們在學習“量與計量”之后所形成的量化素養(yǎng)，這些量化素養(yǎng)形成最關鍵的就是量感的培養(yǎng)。

2.2提高學生分析和解決數(shù)學問題的能力

在學習“量與計量”的學習之后，學習者可能會出現(xiàn)一些低級的偏差。如在填寫一些量的單位時，如“一支普通鉛筆的重量大概4（）”，會出現(xiàn)千克或斤這樣的答案。出現(xiàn)這些答案的根本在于學生沒有相關的生活經(jīng)驗，也沒有建立相關的量感。若學生建立了量感，就會去思考“1克有多重？1千克有多重？1斤有多重？重量單位間的進率”等，然后根據(jù)生活經(jīng)驗和對量的對比得出，一支普通鉛筆不可能重4千克或者4斤，所以應該寫“克”。再如，估計每分鐘寫出阿拉伯數(shù)字的個數(shù)、計算十以內的加減法的題數(shù)和正常呼吸的次數(shù)等時，可以采用以下3種方法進行測量：（1）測量半分鐘，然后用所得的數(shù)據(jù)乘以2；（2）直接測量1分鐘；（3）測量2分鐘，將所得的數(shù)據(jù)除以2。教師可以引導學生感悟第一種方法的省時，但可能不太準確；第二種方法會比第一種好一些，但是效果并不是那么明顯；第三種方法雖然比較麻煩，但可能更準確一些。教學中，學生要在教師的幫助下，通過嘗試、體驗，進而選擇穩(wěn)定可靠的量感。當學生建立了量感后，遇到問題時，學生會分析問題并根據(jù)腦中已建立的生活經(jīng)驗、單位量感、疊加量感等，選擇最好的估測方法。然后，經(jīng)過不斷思考、矯正，給出正確的結果，以達到解決遇到的（數(shù)學）問題的目的。

2.3提高學生測量估計能力

估計是在沒有使用任何測量工具的前提下，通過一定的推測方法，得出測量結果的一種心理過程[13]。估測是根據(jù)已有的信息進行合理推測得到的，因此，估測是一種較為實用的生活技能。日常生活中，人們常常不具備（精確的）測量工具，但需要對各種量進行估計，這時擁有量感必不可少。讓學生掌握并會用估測，教師則需要讓學生多次運用一些估測策略。常見的有效估測策略有單位迭代、參照點、對比等[14]。但無論學生選擇哪一種估測策略，最關鍵的是擁有有關量感，此時的估測才是有意義的，學生的估測能力才能有所提高。

2.4培養(yǎng)和拓展學生的思維能力

思維能力是人們生活中重要的能力之一。當人們在遇到問題要加以解決時，總是會在頭腦中構建問題解決的方案，通過分析構建方案的能力就是思維能力。通俗地講，就是人們遇到困難時，總會認真地“想一想”，這個想的階段就是思維的過程[15]。這個過程通過類比、歸納、分析、概括等活動，對信息進行提取、加工，將書面材料進行加工得到理性思維以解決實際問題。學生在對量的大小進行推斷和估計的過程，其實也是在不斷地訓練學生的思維能力的過程。在教學中，教師引導學生通過類比推理的思維方式去構建量感，讓學生通過體驗、對比、推理、反思等活動找到解決問題的思維通道，感悟量感的構建過程。思維能力決定了量感構建的效率，而量感的完善簡化了思維活動的過程。

3量感培養(yǎng)的實現(xiàn)路徑

3.1積累感性材料，形成具身經(jīng)驗

“量”（liàng）來源于“量”（liáng）。學生量感的形成過程是通過視覺、觸覺和聽覺等多種感官活動創(chuàng)設的[10]。量感的建立需要不同感官相互協(xié)調與配合，學生經(jīng)歷看一看、猜一猜、量一量等感知活動，從而建立相關的量感。量感形成的過程，尤其對于復雜的抽象量而言，往往需要通過直觀具體的情景才可以將抽象的量所代表的內涵呈現(xiàn)出來，通過這種感知過程才可以形成量的清晰表征。可見，學生量感的形成不僅是對不同量的把握，而且是對量的計算的理解[16]。學生在建立清晰的量的表征之后，更能夠接受有關的數(shù)學知識。如在1千米的量感建立時，可采用下列3種方法：（1）在課堂上進行相應的講解。（2）讓學習者自行在操場的跑道上直接步行，體驗1千米到底有多長。（3）在上課之前，學生在長輩們的陪伴下，多次向不同的方向按直線勻速步行1千米，課堂上教師進行相應的講解。第一種方法學生難以獲得體驗，無法積累感性材料，對1千米的認識只停留在概念上，所以學生對1千米這一量沒有形成感知，也無法獲得有效的量感；第二種方法對學生形成1千米的量感有一定程度的幫助，但因跑道一般都是橢圓形的，學生還是難以建立準確的1千米表征；第三種方法是從學生自身體驗出發(fā)，學生通過對1千米這一概念的多次感知形成了具身經(jīng)驗，并且這種經(jīng)驗通過抽象化已成為學生較穩(wěn)定的量化感知能力和一種基本素養(yǎng)。再經(jīng)過課堂上教師形象的講解，學生就能循序漸進地建立1千米的量感。

3.2加強單位意識，形成單位量感

單位量感作為最直觀和最早接觸到的素養(yǎng)，在小學階段就應該得到較好的養(yǎng)成。如長度單位：米、分米、厘米；重量單位：克、千克；時間單位：小時、分鐘、秒等。不論是教材的編寫，還是教育工作者的教學，都會花費許多的時間和精力，采取各種各樣的方式，讓學生通過看一看、猜一猜、量一量等操作性活動去感悟量的大小，進而形成具體而清晰的量的表征，在過程體驗中獲得單位量感。如對1千克的量感體驗時，上課前，教師可以將學生分組，并購置一些蘋果、梨、香蕉等學生感興趣的水果。在設置教學活動時，教師可以讓學生以不同的單位量分配水果，并設計如下基于真實情景體驗的教學活動：（1）相同數(shù)量的水果，為什么重量是不一樣的呢？（2）重量相同的物品，提起來的時候感覺一樣重嗎？（3）相同重量的棉花和各種水果，提起來的時候感覺一樣重嗎？這樣可以引導學生對現(xiàn)實生活中遇到的不同重量單位的東西進行感知、思考，并形成較為穩(wěn)定的對質量這一單位的量感。這樣學生可以排除如水果的顏色、種類、大小等非本質的因素，從1千克這一量的本質屬性出發(fā)，感知它們的重量[17]。

3.3豐富感性材料，構建疊加量感

學生遇到的事物往往是復雜的，僅僅擁有單位量感還遠遠不夠。疊加量感是在比較不同單位大小的同時，構建起來的較為多元復雜的量感。現(xiàn)實生活中多數(shù)都是對疊加量的估測，如某某同學有多高、課堂上隨機估計離下課的時間、所購買的物品的重量、學校到家的距離等，讓學生逐漸形成不同的量感。如在學習單位“米”后，學生頭腦中已有1米的量感，則需要循序漸進地增加數(shù)量，讓學生形成3米、5米、8米、10米、15米、30米等數(shù)量的量感。當學生擁有疊加量的量感后，在估測時，就能靈活選擇恰當?shù)臄?shù)量作為參照點進行估測了[18]。再如估計教室到食堂的距離時，學生就不會再使用幾米的小單位去迭代，而是采用恰當?shù)膮⒄拯c，如采用20米、70米或100米等作為參照點去估測，這樣估測是最有效率的。疊加量感的運用為人們的生活提供更多的便利。

3.4開展估測活動，形成穩(wěn)定量感

量感在學生中穩(wěn)定的形成不僅需要積累較多的感性材料，同時還需要有效的教學方法。估計多少、估算大小、目測長度等教學活動，是通過學生感知和對具體結果的研究，進一步強化學生量感的有效方法。考慮到量感依賴于學生的感覺，因此，教學應開展大量的估算和概算活動，讓學生在不同的實踐活動中用不同的方式感受量。因為量感是估測的基礎，而估測活動可以使量感不斷精確。如學習“厘米和米”后，讓學生從小區(qū)里的某個地方到某個地方大約是多少米，學生每次完成估測后，陪同的人立刻用一些工具測量一下結果，說出誤差，并讓學生不斷地矯正。在不斷估測和矯正中，學生的量感則會不斷完善。同時，數(shù)學實驗活動不僅揭露了數(shù)學知識的本質，而且開發(fā)了兒童的思維，挖掘出學生的探索潛能。再如小學四至五年級“認識升”的學習，先讓學生觀察家中的水杯、食用油桶、牛奶瓶、飲料瓶等容器裝了多少液體，并把這些信息記錄下來。這為學生學習“升”提供了感性材料和經(jīng)驗基礎。課堂上，從學生們喝水的杯子中取出3個容量相近的水杯，讓學生比較容量的大小，并說明理由。使他們認識到容量大小是根據(jù)能容納液體的多少進行比較的，還知道當不能直接比較出容器容量大小時，要使用量筒測量，或者是把同一水杯作為參照物。課后，讓學生學會自制1升的量器估測家中容器的容量。

3.5注重知識聯(lián)系，提升量的內化

量感不是一個獨立的概念，它和數(shù)學中的其他概念有著緊密的聯(lián)系。數(shù)感，數(shù)是量的表征，它們之間往往聯(lián)系緊密，同時量的多少還與數(shù)學運算、數(shù)學抽象等多種因素相關。數(shù)學中不同知識和概念之間的連接與轉化，往往是形成一種素養(yǎng)的關鍵。因此在量感的形成中，教師要在知識與知識之間的交匯點上設計活動，通過讓學生體會知識之間的聯(lián)系，進而促進學生對量的進一步感知[19]。如“認識多位數(shù)”后，有練習如下：一支2B鉛筆的長度約為20厘米，則可以計算得出5支這樣的鉛筆的長度約為1米，那么100支2B鉛筆的長度約為多少米？再如一支2B鉛筆重量大概5克，照這樣計算，1 000支2B鉛筆重量大概5千克，那么1 000 000支2B鉛筆大約重多少噸？這樣的問題設計目的在于使學生對不同單位量進行有效的轉化，這樣更能讓學生感悟到厘米和米、克和千克之間的聯(lián)系。讓學生理解并掌握相關量間的進率，準確把握知識間的鏈接點，有效拓展了量的內化領域，促進了量感的形成和完善[20]。

3.6遵循學生身心的發(fā)展階段，分層提升量感素養(yǎng)

學生心智的成長具有階段性和層次性，量感的培養(yǎng)要遵循學生身心發(fā)展的階段性。皮亞杰把認知發(fā)展劃分以為4個階段，分別為感知運動階段、前運算階段、具體運算階段、形式運算階段[21]。小學基本處于具體運算階段，該階段的兒童開始具有邏輯思維和運算能力，他們對長度、重量、面積和體積等已經(jīng)有一定的認知，運算形式和內容以具體事物為依據(jù)。1～3年級著重培養(yǎng)學生關于長度、面積（規(guī)則的平面圖形）和重量的量感；4～6年級著重培養(yǎng)學生關于體積和容積的量感。初中階段（7～9年級）學生逐漸過渡到形式運算階段，該階段學生的思維具有靈活性、系統(tǒng)性、抽象性和可逆性，該階段著重培養(yǎng)學生關于面積（平面圖形）的量感。義務教育階段對于量感的培養(yǎng)是循序漸進的，教師要引導學生經(jīng)歷觀察、體驗、探索的全過程，只有“感”之后，學生才能“悟”，學生的量感才能拾級而上。

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AbstractAs one of the most important criteria for describing everything in the world， quantity has attracted widespread attention. Quantity sense is the core concept of citizens′ basic quantitative literacy， which has been attached great importance by educational researchers. The new curriculum standard also takes quantity sense as one of the core literacy of compulsory education. But the term "quantity sense" is still relatively unknown among front-line teachers. Starting from the connotation and characteristics of quantity， this paper describes the basic characteristics of quantity sense， and deeply analyzes the important value of it. On this basis， this paper puts forward five ways to cultivate students′ quantity sense， which provides a reference for further understanding the connotation of quantity sense and the cultivation of students′ quantity sense.

Keywordsquantity sense; key competence; compulsory education; curriculum standards

[責任編輯馬曉寧]