基于湊微分的“四部曲”做題法的教學(xué)設(shè)計(jì)

摘?要：本文針對(duì)高等數(shù)學(xué)中的湊微分法提出了“四部曲”做題法，該方法以所湊微分為目標(biāo)，明確需要湊的導(dǎo)數(shù)形式，再補(bǔ)全等式，學(xué)生通過(guò)這種做題方法能在不背公式的情況下完成各種湊微分情況，并加深對(duì)湊微分的理解。對(duì)于湊微分法的教學(xué)設(shè)計(jì)，額外補(bǔ)充了特殊形式的積分求解方法，豐富教學(xué)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)因材施教。

關(guān)鍵詞：湊微分法；“四部曲”做題法；教學(xué)設(shè)計(jì)

高等數(shù)學(xué)又稱(chēng)微積分，其中最重要的內(nèi)容便是微分和積分，其中，微分主要涉及的求導(dǎo)運(yùn)算是大部分同學(xué)高中就接觸過(guò)的，因此接受起來(lái)比較快。相反，積分是高中階段沒(méi)有接觸過(guò)的運(yùn)算，并且運(yùn)算更復(fù)雜，以求導(dǎo)為基礎(chǔ)，卻不能只靠套用求導(dǎo)公式。因此，在教學(xué)過(guò)程中最先出現(xiàn)的積分方法，即湊微分法，成了很多同學(xué)開(kāi)始掉隊(duì)的地方，本文針對(duì)湊微分法提出了“四部曲”做題法，將湊微分過(guò)程以目標(biāo)為導(dǎo)向逐步填充，幫助同學(xué)們快速掌握湊微分法，完成湊微分的過(guò)程，并在“四部曲”做題法基礎(chǔ)上進(jìn)行具體的教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)情分析

湊微分是學(xué)習(xí)不定積分時(shí)非常重要的積分方法之一，也是按照教學(xué)進(jìn)度最先出現(xiàn)的積分技巧，在湊微分時(shí)，需要先通過(guò)求導(dǎo)的經(jīng)驗(yàn)去找到需要湊的微分，然后再套用積分公式去求解，過(guò)程中需要將求導(dǎo)和求積分熟練于心才能快速實(shí)現(xiàn)，對(duì)學(xué)生的公式熟練度要求很高。在實(shí)際教學(xué)中，由于剛剛講授完不定積分的定義和直接積分法，很多同學(xué)對(duì)積分公式掌握得并不熟練，有些同學(xué)因?yàn)楦咧谢A(chǔ)不好，對(duì)稍微復(fù)雜一些的求導(dǎo)問(wèn)題及反三角函數(shù)等新的求導(dǎo)公式也不是很熟悉，這就導(dǎo)致了在集中應(yīng)用兩種運(yùn)算時(shí)易混淆，不知道該求導(dǎo)還是該求積分的混亂情況，這也使得湊微分成了很多同學(xué)開(kāi)始掉隊(duì)的一課。

二、湊微分的“四部曲”做題法

由于湊微分涉及求導(dǎo)和積分兩種運(yùn)算，剛開(kāi)始很多同學(xué)容易分不清什么時(shí)候該做什么，湊微分的目標(biāo)也不明確，因此本文給出一種以目標(biāo)為導(dǎo)向的湊微分“四部曲”，將湊微分的做題步驟拆分如下：

（1）將目標(biāo)放到微分“d”里。先預(yù)留兩行等號(hào)，在第二行后半段將預(yù)計(jì)想湊的微分放到微分符號(hào)“d”的后面。在做題時(shí)，先在這一步將想湊的目標(biāo)擺在第二行，再進(jìn)行其他部分。

（2）求微分。將第二行的微分通過(guò)求導(dǎo)求解出來(lái)，寫(xiě)在第一行后半段。這一步需要學(xué)生掌握微分的基本概念，即dy=y'dx，通過(guò)求導(dǎo)將需要湊的具體形式明確下來(lái)并體現(xiàn)在第一行后半段。

（3）湊等號(hào)。將第一行前半段根據(jù)相等關(guān)系補(bǔ)齊，如需要湊系數(shù)，可在這一步完成。

（4）補(bǔ)全。將上一步的第一行前半段直接抄在第二行前半段，或者整理好形式抄下來(lái)，此時(shí)兩行式子全部完成，湊微分的效果也完全展示出來(lái)了。具體過(guò)程如圖1。

圖1中的標(biāo)號(hào)即為實(shí)際做題時(shí)的書(shū)寫(xiě)順序，其中曲線(xiàn)和實(shí)線(xiàn)標(biāo)記的部分分別各自相等，教學(xué)過(guò)程中可提示大家按逆時(shí)針順序完成。

在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，該方法在應(yīng)對(duì)u=ax+b的時(shí)候可能不如直接背公式上手快，但在其他湊微分的情況下全都適用，不需要背過(guò)多的公式。學(xué)生如果沒(méi)有按“四部曲”方式學(xué)習(xí)湊微分，在學(xué)過(guò)湊ax+b的微分后，繼續(xù)學(xué)其他情況會(huì)有“感覺(jué)突然很難”的情況，而采用“四部曲”方法教學(xué)，同學(xué)們一旦習(xí)慣了這種做題方式，不論是湊ax+b的微分，還是湊其他形式的微分感覺(jué)都是一樣的，并且對(duì)于湊微分法的理解和感受會(huì)更加深入和具體。

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）湊微分基本理論

結(jié)合實(shí)際使用的教材講授湊微分法的原理。換元積分法的基本思想就是，若∫f（x）dx=F（x）+C成立，則當(dāng)u是x的可導(dǎo)函數(shù)u（x）時(shí)，∫f（u）du=F（u）+C也成立。即將不定積分公式中所有的x同時(shí)換成u（x）時(shí)，公式也能成立，在這個(gè)變量替換過(guò)程中有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是dx也換成了du，所以如果想對(duì)u套用以往學(xué)過(guò)的不定積分公式，就要把u放到微分里面，形成du的形式。

經(jīng)過(guò)理論的講解，同學(xué)們對(duì)湊微分的基本認(rèn)識(shí)其實(shí)還很模糊，沒(méi)有具體的概念。

（二）利用湊微分“四部曲”法講授教材例題

根據(jù)實(shí)際教材例題及習(xí)題內(nèi)容以講練結(jié)合的方式進(jìn)行講授，一般分為u=ax+b和一般的u（x）兩種情況。

這個(gè)過(guò)程只需要將每個(gè)例題按“四部曲”方式講授，不需要對(duì)教學(xué)進(jìn)程進(jìn)行其他改動(dòng)。例題講解期間可能會(huì)有和原教材不完全一致的步驟，教師在這里需要給予學(xué)生必要的解釋說(shuō)明，提示學(xué)生湊微分的本質(zhì)和“四部曲”的意圖，不強(qiáng)求學(xué)生一定要按照這種方法做，只要能夠完成題目即可。

針對(duì)“四部曲”的四個(gè)步驟，在教學(xué)時(shí)要注意幾點(diǎn)：

第一，在試圖將目標(biāo)放到微分“d”里時(shí)，要由簡(jiǎn)到難設(shè)置例題，先讓同學(xué)熟悉做題過(guò)程，再引導(dǎo)其靈活運(yùn)用，可以將一些常見(jiàn)情況逐個(gè)展示，例如乘法形式或分?jǐn)?shù)形式的表達(dá)式等，讓學(xué)生多見(jiàn)多積累，進(jìn)而在自己獨(dú)立做題時(shí)有更多的經(jīng)驗(yàn)。

第二，通過(guò)實(shí)際教學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行到求微分的步驟時(shí)，很多同學(xué)可能不能及時(shí)反應(yīng)，其原因在于在之前的課程中，同學(xué)們更多偏重于求導(dǎo)運(yùn)算，對(duì)于求微分這個(gè)同類(lèi)的運(yùn)算印象不深，對(duì)此可以將微分的定義式即dy=y'dx寫(xiě)在黑板上，或者始終展示在PPT空白處。

第三，湊等號(hào)這一步在湊的時(shí)候大部分是湊一些倍數(shù)，這里要提示大家書(shū)寫(xiě)要清晰，不用急著把系數(shù)寫(xiě)到積分外面，以免運(yùn)算有遺漏。另外注意這一步是將第一行與題干進(jìn)行對(duì)比，保持等號(hào)成立。

第四，在補(bǔ)全第二行算式的時(shí)候可以進(jìn)行一些形式上的整理，例如系數(shù)的合并和運(yùn)算，表達(dá)式如果看上去不直觀也可以整理一下，方便后面套用基本積分公式。注意這一步是將第二行與第一行進(jìn)行對(duì)比，保持等號(hào)成立，與第三步有區(qū)別。

按照以上幾點(diǎn)完成湊微分的“四部曲”運(yùn)算后，只是完成了湊微分的步驟，后面求原函數(shù)時(shí)還需要套用基本積分公式，實(shí)際做題時(shí)，很多同學(xué)也會(huì)在這個(gè)步驟出問(wèn)題，主要還是積分公式不熟練，同時(shí)，將以往的積分公式中的x換成其他x的函數(shù)u（x）時(shí)，同學(xué)們會(huì)不習(xí)慣。

由于湊微分的題目離不開(kāi)求導(dǎo)公式的應(yīng)用，需要同學(xué)們?cè)谡莆涨髮?dǎo)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)，如果教學(xué)過(guò)程中有學(xué)生因?yàn)榛A(chǔ)不扎實(shí)遇到問(wèn)題，可提示學(xué)生到導(dǎo)數(shù)的章節(jié)查找公式。

（三）補(bǔ)充題型

在講授完兩種情況的題目后，可根據(jù)實(shí)際授課學(xué)時(shí)補(bǔ)充形如∫1ax2+bx+cdx的題型。舉例如下：

例1：∫1x2+2x+1dx；例2：∫1x2+2xdx；例3：∫1x2+2x+2dx。

首先引導(dǎo)學(xué)生回憶對(duì)于ax2+bx+c=0，學(xué)過(guò)什么非常重要的公式？部分同學(xué)會(huì)想到Δ，還有同學(xué)會(huì)說(shuō)求根公式。幫助大家回顧公式Δ=b2-4ac后，提問(wèn)大家舉例的三個(gè)題的分母都是哪種情況，同學(xué)們通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)三個(gè)題雖然只在分母差了一個(gè)常數(shù)，但所屬情況完全不同。

最后對(duì)三個(gè)例題分別進(jìn)行講解。該類(lèi)題型根據(jù)分母的Δ的符號(hào)可分為三類(lèi)，這三類(lèi)問(wèn)題采取了完全不同的處理方法。

（1）Δ=0時(shí)，分母能湊成完全平方式，再湊平方里面的微分，即：

例1：∫1x2+2x+1dx=∫1（x+1）2dx=∫（x+1）-2d（x+1）

=-（x+1）-1+C=-1x+1+C

（2）Δ>0時(shí)，分母可以因式分解，拆分成兩個(gè)分式再分別湊微分，即：

例2：∫1x2+2xdx=∫1（x+2）xdx=∫12（1x-1x+2）dx

=12［∫1xdx-∫1x+2d（x+2）］

=12［lnx-lnx+2+C］=12lnxx+2+C

（3）Δ<0時(shí)，分母不能因式分解，先湊平方，然后將平方以外的正數(shù)通過(guò)變換調(diào)整為1，再套用積分公式∫11+x2dx=arctanx+C，即：

例3：∫1x2+2x+2dx=∫11+（x+1）2dx=∫11+（x+1）2d（x+1）=arctan（x+1）+C

以上三種類(lèi)型是按難易順序排列的，Δ是同學(xué)們高中接觸過(guò)的概念，該概念除了確定根的個(gè)數(shù)還決定了一元二次多項(xiàng)式是否能因式分解，是對(duì)高中知識(shí)的一個(gè)引申。通過(guò)這套例子，使同學(xué)們發(fā)現(xiàn)中學(xué)知識(shí)在高等數(shù)學(xué)的體現(xiàn)，感受數(shù)學(xué)整個(gè)理論體系的內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到任何形如∫1ax2+bx+cdx的積分問(wèn)題，均可以借助湊微分法找到原函數(shù)，充分展現(xiàn)湊微分的靈活性，體現(xiàn)湊微分法在微積分這門(mén)學(xué)科中的價(jià)值。通過(guò)利用Δ進(jìn)行分類(lèi)，提高同學(xué)們歸納總結(jié)的能力，提示同學(xué)們要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)。

教師也可以通過(guò)這個(gè)例子進(jìn)一步了解同學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，發(fā)現(xiàn)個(gè)別同學(xué)的知識(shí)漏洞，在未來(lái)教學(xué)中可以有針對(duì)性地補(bǔ)漏，例如布置課前回顧任務(wù)等。通過(guò)學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋，掌握學(xué)生對(duì)知識(shí)應(yīng)用的熟練程度。

（四）課堂總結(jié)及作業(yè)布置

總結(jié)該堂課的教學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)湊微分的做題方法。同時(shí)，對(duì)于求不定積分而言，其難度還在于識(shí)別題目屬于哪種積分方法，因此在最后總結(jié)時(shí)，教師應(yīng)著重提示大家湊微分的特點(diǎn)是能在被積函數(shù)中找到某一部分是另一部分的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)的倍數(shù)，借此和后續(xù)其他積分方法區(qū)分開(kāi)來(lái)。

布置課后作業(yè)時(shí)，可以將前述補(bǔ)充題型中的例3加大難度，改成湊平方后需要先湊分母中的1，作為課后作業(yè)的補(bǔ)充，例如：

例4：∫1x2+2x+5dx=∫14+（x+1）2dx=∫141+（x+1）24dx

=∫14·11+（x+12）2dx=14∫21+（x+12）2·12dx

=12∫11+（x+12）2d（x+12）=12arctan（x+12）+C

也可將該例子引申為分子有一次項(xiàng)的情況，如下方例5，留作課后的思考題。

例5：∫2x-1x2+2x+2dx=∫2x+2-3x2+2x+2dx

對(duì)于例5，可以給出如上第一步提示，之所以分母拆分出2x+2，是因?yàn)檫@樣剛好是分母的導(dǎo)數(shù)形式，對(duì)于這種分子次數(shù)比分母次數(shù)低一次的情況，經(jīng)?？梢圆捎眠@種思想，在分子中找到分母的導(dǎo)數(shù)后，就能用來(lái)湊微分了，后續(xù)求解過(guò)程如下：

∫2x-1x2+2x+2dx=∫2x+2x2+2x+2dx-∫3x2+2x+2dx

=∫1x2+2x+2d（x2+2x+2）-∫3x2+2x+2dx

=ln（x2+2x+2）-∫3x2+2x+2dx

=ln（x2+2x+2）-3arctan（x+1）+C（具體過(guò)程參考例3）

通過(guò)例5可以展示出，任意形如∫mx+nax2+bx+cdx的問(wèn)題都可以借助湊微分法處理，只需要將分子適當(dāng)拆分成兩個(gè)問(wèn)題，分別處理即可，其中常數(shù)部分又回歸到了之前提到的例1—例3的問(wèn)題。

以上補(bǔ)充例子相對(duì)較難，可以讓同學(xué)們選做，同學(xué)可以根據(jù)自己未來(lái)的發(fā)展規(guī)劃及感興趣程度決定是否深入思考。

四、結(jié)合信息化教學(xué)

針對(duì)本文提出的“四部曲”做題法，結(jié)合信息化手段進(jìn)行教學(xué)和進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)授課時(shí)，作為教師也需要進(jìn)行相應(yīng)的準(zhǔn)備。

如需要在網(wǎng)絡(luò)授課時(shí)講解此方法，在錄制視頻課或進(jìn)行直播課時(shí)，最好使用手寫(xiě)板，在屏幕上邊講邊做，按照“四部曲”順序進(jìn)行書(shū)寫(xiě)，更清晰地展示湊微分的思路。

在線(xiàn)下授課時(shí)，需要教師提前做好PPT中做題步驟的拆解動(dòng)畫(huà)，按講授順序展示例題答案的各個(gè)部分，如果覺(jué)得不方便，還是在黑板上進(jìn)行書(shū)寫(xiě)效果最佳。同時(shí)在學(xué)生做練習(xí)時(shí)，可以找同學(xué)在黑板上做，進(jìn)而看出同學(xué)的解題過(guò)程，如果有不同的寫(xiě)法，應(yīng)當(dāng)一并在黑板上讓學(xué)生進(jìn)行展示，增加學(xué)生的自信，并且讓學(xué)生們看到更多的做題思路，找到適合自己的方法，只要最后能夠完成題目即可。

不論是線(xiàn)上還是線(xiàn)下課，都涉及其他信息化手段的使用，例如互動(dòng)和測(cè)試等。對(duì)于本節(jié)課的內(nèi)容，還是以具體手寫(xiě)計(jì)算過(guò)程為主，如果希望通過(guò)小測(cè)試活躍課堂氣氛，快速量化學(xué)生的掌握情況，而教學(xué)軟件不能很好地支持多種題型時(shí)，可以考慮設(shè)置一些找錯(cuò)誤的選擇題，如圖2。

圖2中的例題除了考查了湊微分的過(guò)程，還設(shè)置了一個(gè)易錯(cuò)選項(xiàng)B，在標(biāo)準(zhǔn)做題步驟中，B選項(xiàng)這一步應(yīng)該是d（x+1），此處寫(xiě)成dx與d（x+1）等價(jià)，除了考查湊微分，還考查了同學(xué)們對(duì)微分概念的掌握。教師在設(shè)計(jì)題目時(shí)可以參考類(lèi)似方式將其他知識(shí)點(diǎn)融入到本節(jié)題目中，起到區(qū)分題目難度的作用。

由于湊微分需要利用導(dǎo)數(shù)和積分公式等多種基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合才能完成，因此在課前可以通過(guò)教學(xué)平臺(tái)布置一些復(fù)習(xí)任務(wù)，以便更好地進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的講授，避免學(xué)生掉隊(duì)。同時(shí)對(duì)不同難度的課后任務(wù)進(jìn)行區(qū)分，通過(guò)教學(xué)軟件對(duì)學(xué)生課后任務(wù)及選做任務(wù)的完成情況進(jìn)行量化。

結(jié)語(yǔ)

本文就湊微分法提出了“四部曲”做題法，在預(yù)留兩行式子的情況下，強(qiáng)調(diào)以所湊目標(biāo)為導(dǎo)向，明確具體微分的求導(dǎo)結(jié)果，再和題目對(duì)比，湊上必要的系數(shù)，最后補(bǔ)全表達(dá)式，完成湊微分的過(guò)程。

在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中補(bǔ)充了分母為1，分子是二次多項(xiàng)式求積分的問(wèn)題，既聯(lián)系了高中知識(shí)，又展示了湊微分的靈活性，在實(shí)際教學(xué)時(shí)有學(xué)生感嘆“這才是‘湊微分的感覺(jué)”。在湊微分中除了此類(lèi)問(wèn)題還可以拓展出分子為mx+n，甚至更高次多項(xiàng)式的情況，都可通過(guò)拆解回歸到分子為1的問(wèn)題，教師可以根據(jù)實(shí)際教學(xué)要求的難度和課堂剩余時(shí)間進(jìn)行拓展，或留作思考題，讓感興趣的同學(xué)進(jìn)一步提升，達(dá)到因材施教的效果。

本文主要介紹的“四部曲”做題法在實(shí)際教學(xué)中能使學(xué)生明確做題目標(biāo)，避免求導(dǎo)與求積分混淆，不知如何進(jìn)行的情況。學(xué)生在做題時(shí)只要熟悉這個(gè)步驟，不管對(duì)于簡(jiǎn)單的u=ax+b，還是復(fù)雜的中間變量形式，都能以這一種方式進(jìn)行處理，也省去了背很多湊微分公式的過(guò)程，并且更能體會(huì)湊微分的內(nèi)涵和目的。

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作者簡(jiǎn)介：趙文雯（1989—?），女族，漢族，天津人，碩士，講師，研究方向：數(shù)學(xué)教育。