在“雞兔同籠”教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的探索

【摘要】本文聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“雞兔同籠”問(wèn)題模型，探討培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的策略方法，提煉出兩點(diǎn)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)：一是基于學(xué)生的基礎(chǔ)認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)常規(guī)方法的歸納、類比發(fā)現(xiàn)“假設(shè)思想”應(yīng)用的規(guī)律，建立“雞兔同籠”問(wèn)題解決的基本模型，初步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)；二是創(chuàng)設(shè)新的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生基于問(wèn)題解決基本模型，探索一些非常規(guī)的問(wèn)題解決思路和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) “雞兔同籠” 模型意識(shí)

創(chuàng)新意識(shí)

【中圖分類號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2023）04-0065-04

創(chuàng)新意識(shí)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》）提出的三個(gè)方面數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在小學(xué)和初中階段的具體表現(xiàn)之一，主要表現(xiàn)為主動(dòng)嘗試從日常生活、自然現(xiàn)象或科學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，包括“初步學(xué)會(huì)通過(guò)具體的實(shí)例，運(yùn)用歸納和類比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律”“提出數(shù)學(xué)命題與猜想，并加以驗(yàn)證”“勇于探索一些開(kāi)放性的、非常規(guī)的實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題”等。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，有助于學(xué)生形成獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度與理性精神。

“雞兔同籠”問(wèn)題是1 500年前我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載的一種數(shù)學(xué)趣題，也是一種較為典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題模型，該模型不僅可用于解決“雞兔同籠”的基礎(chǔ)問(wèn)題，而且可用于解決生活中類似的“人馬問(wèn)題”“租船問(wèn)題”等。“雞兔同籠”問(wèn)題安排在人教版四年級(jí)下冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角”，筆者嘗試在“雞兔同籠”教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，進(jìn)行了一些實(shí)踐探索，積累了一定的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

一、基于學(xué)生的基礎(chǔ)認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)常規(guī)方法的歸納、類比發(fā)現(xiàn)“假設(shè)思想”應(yīng)用的規(guī)律，建立“雞兔同籠”問(wèn)題解決的基本模型，初步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

四年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，掌握了一定的數(shù)學(xué)思想方法。本課開(kāi)始，筆者決定從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生完全憑借自己的理解和現(xiàn)有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)去尋找解決問(wèn)題的路徑和方法，然后同組之間進(jìn)行平等交流，從中提煉出問(wèn)題解決的基本模型，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。在學(xué)生獨(dú)立思考、合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中，筆者不給出任何提示。

在課堂教學(xué)中，筆者立足教材，先給學(xué)生講解了“雞兔同籠”問(wèn)題的來(lái)歷，再?gòu)暮?jiǎn)單的問(wèn)題入手引出教材中的例題1：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”接下來(lái)讓學(xué)生根據(jù)題目中給出的條件自行“猜測(cè)”兩種動(dòng)物的數(shù)量；再借助題目中給出的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行合理分析，得出問(wèn)題解決的方法和結(jié)論；最后在班級(jí)中展開(kāi)討論。在學(xué)生獨(dú)立思考、合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教師側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生在列表填數(shù)和畫(huà)圖思考的過(guò)程中認(rèn)清定量和變量，培養(yǎng)有序思考的習(xí)慣，順勢(shì)歸納“極端假設(shè)”的方法，形成解決一類問(wèn)題的基本模型，發(fā)展問(wèn)題解決能力。

學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作探究的過(guò)程中，總共給出了三種問(wèn)題解決的方法。第一種是猜測(cè)列表法，第二種是畫(huà)圖法，第三種是算術(shù)法。

（一）猜測(cè)列表法中的有序思維

針對(duì)猜測(cè)列表法的形成過(guò)程，筆者與相關(guān)學(xué)生展開(kāi)了下面的課堂對(duì)話。

師：請(qǐng)問(wèn)你是如何得出這個(gè)結(jié)果的？

生1：我其實(shí)是胡亂分配數(shù)量的。我想，只要它們的和滿足了8只這個(gè)條件就行，于是我先猜測(cè)可能有5只雞、3只兔。但是，在計(jì)算兩種動(dòng)物的腳數(shù)時(shí)我發(fā)現(xiàn)5只雞、3只兔總共才有22只腳。

師：這個(gè)結(jié)果便與題目中給出的總腳數(shù)發(fā)生了沖突。接下來(lái)該怎么辦呢？

生1：我發(fā)現(xiàn)這樣算出的總腳數(shù)比實(shí)際總腳數(shù)少了，因?yàn)槊恐煌檬?只腳，每只雞只有2只腳，每只兔子的腳數(shù)多于每只雞的腳數(shù)，所以，我前面的猜測(cè)，應(yīng)該是兔的只數(shù)猜少了、雞的只數(shù)猜多了。

師：條分縷析，分析得頭頭是道！既然知道問(wèn)題出在哪里了，你接下來(lái)是怎么做的？

生1：我就增加兔的只數(shù)唄。我再猜兔6只、雞2只。但是，結(jié)果還是對(duì)不上，總的腳數(shù)又多了。于是我只好再減掉一只兔，變成兔5只、雞3只，這一次總算對(duì)上了。

師：千辛萬(wàn)苦，總算是對(duì)上了！老師為你不屈不撓的精神點(diǎn)贊！不過(guò)，你這種方法雖然可行，但你變換雞和兔的只數(shù)的過(guò)程有點(diǎn)過(guò)于隨意，缺乏章法，這樣的思考通常效率低、成本高。你雖然能得出結(jié)果，但探究過(guò)程帶有極強(qiáng)的偶然性，因?yàn)楸绢}中雞和兔的總只數(shù)較少。如果在第一次試取數(shù)對(duì)失敗之后，我們按照一定的順序增減調(diào)試，效果會(huì)更好，特別當(dāng)我們遇到較大的數(shù)的時(shí)候，尤其需要有序地思考和調(diào)試。比如，首次猜測(cè)失敗后，我們?cè)谑状尾聹y(cè)的基礎(chǔ)上減去1只雞、增加1只兔，變成4只雞4只兔。這時(shí)的總腳數(shù)有24只了，但與總腳數(shù)相比，仍然欠缺2只，于是繼續(xù)調(diào)整，再減1只雞、追補(bǔ)1只兔，變成3只雞、5只兔，這時(shí)，雞和兔的總腳數(shù)才剛剛好是26只。雖然這個(gè)過(guò)程仍然并不簡(jiǎn)單，但它是有序地思考，不容易出現(xiàn)遺漏的情況。

教師一邊與學(xué)生進(jìn)行課堂對(duì)話，一邊用表格方式記錄雙方的問(wèn)答，在明晰了“猜測(cè)—驗(yàn)證—反思—推理”的思維過(guò)程與方法的同時(shí)，拓展數(shù)據(jù)“雞7兔1”“雞1兔7”，呈現(xiàn)出如表1所示的整體思維框架暨雞和兔的只數(shù)變化過(guò)程及其與二者總腳數(shù)之和的對(duì)應(yīng)關(guān)系；接著引導(dǎo)學(xué)生圍繞表格中“哪些元素發(fā)生了變化？”“哪些元素沒(méi)有發(fā)生變化？”展開(kāi)數(shù)據(jù)分析和討論。學(xué)生在討論中發(fā)現(xiàn)：首先，表格中變化的元素是雞和兔各自的只數(shù)以及它們的總腳數(shù)，變化的規(guī)律是“每把1只雞替換成1只兔，雞的只數(shù)減少1，兔的只數(shù)便會(huì)相應(yīng)增加1，而雞和兔的總腳數(shù)就會(huì)增加2只”“每把1只兔替換成1只雞，兔的只數(shù)減少1，雞的只數(shù)便會(huì)相應(yīng)增加1，而雞和兔的總腳數(shù)就會(huì)減少2只”。其次，不變的元素是雞和兔的總只數(shù)8以及雞和兔的總腳數(shù)26，這是題目的既定條件，無(wú)法更改。

針對(duì)上述猜測(cè)法，教師進(jìn)行了如下小結(jié)：大家可以先隨意猜測(cè)一個(gè)數(shù)對(duì)，只要符合雞和兔的總只數(shù)為8就行；然后一步一步增減調(diào)整，直到總腳數(shù)也符合既定的條件26即可。這種方法還真是管用，一道千年趣題居然就這么輕易地被大家破解了。那咱們以后就將這種自創(chuàng)的方法固定下來(lái)，作為解決“雞兔同籠”問(wèn)題的一種通用公式，如何？（生表示贊同）不過(guò)，這種不斷增減數(shù)據(jù)的方法多少有點(diǎn)煩瑣，咱們能不能找到一種更為簡(jiǎn)便的方法呢？

（二）畫(huà)圖法中的“極端假設(shè)”思想及其與算術(shù)法的推演關(guān)系

隨著教師的引問(wèn)，又一名學(xué)生出示了本組的問(wèn)題解決方法——畫(huà)圖法，如圖1所示。

生2：我先畫(huà)了8只雞，計(jì)算下來(lái)共有16只腳，和實(shí)際的總腳數(shù)相比，少了10只腳。因?yàn)?只雞比1只兔少2只腳，于是我就在1只雞上面添加2只腳，將它變成一只兔子，按照同樣的方法變雞為兔，結(jié)果我發(fā)現(xiàn)，只有將5只雞變成兔時(shí)，才能補(bǔ)足缺少的10只腳。于是，我最終確定了兔的只數(shù)是5、雞的只數(shù)是3。

生3：我和她畫(huà)圖的方法剛好相反。如圖2所示，我先畫(huà)了8只兔，算出共有32只腳，比實(shí)際腳數(shù)多了6只。這就說(shuō)明，兔的只數(shù)畫(huà)多了，只能通過(guò)將其中部分兔變成雞，才能使雞和兔的總腳數(shù)變小，又因?yàn)?只兔比1只雞多2只腳，我給每只兔子擦去2只腳使它變成雞，這樣一共擦去了3只兔子的總共6只腳，才使結(jié)果與條件達(dá)成了一致。于是我的結(jié)論是，共有5只兔、3只雞。

師：這樣看來(lái)，畫(huà)圖法似乎比猜測(cè)法更為直觀。那么這種辦法是不是最好的方法呢？將它作為最終的解題通用公式，你們意下如何？（學(xué)生表示同意）其實(shí)，無(wú)論是上面的猜測(cè)法還是畫(huà)圖法，其中都隱含了一種假設(shè)的思想：先隨意假設(shè)一種情況或假設(shè)一種極端情況，再對(duì)照條件對(duì)假設(shè)情況進(jìn)行調(diào)整，使之最終合乎題目中隱含的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得出正確的結(jié)果。在畫(huà)圖法中，還隱含了一種“極端假設(shè)”的思想，就是把籠子里的動(dòng)物全部假設(shè)為一種動(dòng)物，要么全是雞，要么全是兔。其實(shí)，“極端假設(shè)”與下面的算術(shù)法聯(lián)系更為緊密。

接下來(lái)，教師板書(shū)運(yùn)用算術(shù)法進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程：（1）先假設(shè)全是雞，于是總腳數(shù)有8×2=16只，與條件中的總腳數(shù)尚有一定距離，尚缺腳數(shù)26-16=10只，這說(shuō)明，籠子中不可能全是雞，還有一部分兔子被誤認(rèn)成了雞；而1只兔被誤認(rèn)為1只雞便會(huì)少4-2=2只腳，尚缺的10只腳實(shí)際來(lái)自10÷2=5只兔；于是兔的只數(shù)是5，雞的只數(shù)是8-5=3。（2）然后也可以假設(shè)全是兔……（解題過(guò)程略）

教師最后小結(jié)“極端假設(shè)”思想下例1中雞和兔的只數(shù)變化過(guò)程及其與二者總腳數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如表2所示。

數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，通常的應(yīng)用情形有兩種，一種是“以數(shù)解形”，一種是“以形助數(shù)”。所謂“以數(shù)解形”，指的是借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性；所謂“以形助數(shù)”，指的是借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的某種關(guān)系。基于小學(xué)生以具象思維為主的思維特點(diǎn)，“以形助數(shù)”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著更為廣泛的應(yīng)用。上面的教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生自己思考解決問(wèn)題的方法，學(xué)生除了運(yùn)用“假設(shè)”的思想方法，運(yùn)用畫(huà)圖法的學(xué)生還靈活運(yùn)用了“以形助數(shù)”的數(shù)學(xué)思想方法。的確，讓學(xué)生一下子想到算術(shù)法，無(wú)異于建筑“空中樓閣”，缺乏學(xué)情基礎(chǔ)。在學(xué)生自主、合作嘗試以后，教師適時(shí)引導(dǎo)，推出算術(shù)法便水到渠成了。在學(xué)生沒(méi)有任何經(jīng)驗(yàn)可供借鑒和沒(méi)有任何現(xiàn)成模型支撐的前提下，運(yùn)用常規(guī)的猜測(cè)法隨機(jī)猜測(cè)時(shí)，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“有序”猜測(cè)、合理猜測(cè)，在確?？傊粩?shù)為8、總腳數(shù)是26的前提下，學(xué)會(huì)用“漸變”的眼光看待問(wèn)題，發(fā)展邏輯思維，從而為后面算術(shù)法的形成建立了思維模型；之后結(jié)合學(xué)生畫(huà)圖法的幾何直觀，通過(guò)添加雞的腳數(shù)和削減兔的腳數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)雞和兔之間的“身份”轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯思維。用列表的方式呈現(xiàn)猜測(cè)法和畫(huà)圖法的有序思維過(guò)程，讓學(xué)生聯(lián)想到“極限法”，引出“極端假設(shè)”思想；從假設(shè)全部是兔（8只兔）這個(gè)極端情況起，通過(guò)不斷增減兩種事物的只數(shù)，一直推演到另一個(gè)極端（8只雞），便為算術(shù)法的形成打下了思維發(fā)展的基礎(chǔ)。其實(shí)，算術(shù)法的出現(xiàn)，就是以極端情況為基準(zhǔn)，先計(jì)算出極端情況下的總腳數(shù)與實(shí)際腳數(shù)的差，然后基于每只雞和兔的腳數(shù)的差，算出極端情況下的總腳數(shù)與實(shí)際腳數(shù)相差的具體量，最終確定雞的只數(shù)和兔的只數(shù)。顯然，算術(shù)法具有更強(qiáng)的抽象性和邏輯性，學(xué)生甚至可以根據(jù)這個(gè)公式計(jì)算出任何一道“雞兔同籠”問(wèn)題。因此，算術(shù)法才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所要追尋的問(wèn)題解決的基本模型。

二、創(chuàng)設(shè)新的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生基于問(wèn)題解決基本模型，探索出一些非常規(guī)的問(wèn)題解決思路和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力

在得出上述問(wèn)題解決基本模型之后，學(xué)生對(duì)假設(shè)思想有了更深的感悟。教師止步于此，也算初步達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)。但是，“雞兔同籠”問(wèn)題的確是一道千古趣題，讓學(xué)生從解決此類題目的過(guò)程中，沿著“極端假設(shè)”的思想更進(jìn)一步，找到新的解題方法，感受數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的趣味，是筆者想要達(dá)到的另一個(gè)教學(xué)目標(biāo)。于是，筆者決定繼續(xù)拓展學(xué)生的思維，通過(guò)創(chuàng)設(shè)新的問(wèn)題情境，將“抬腿法”引入“雞兔同籠”問(wèn)題的解決，使學(xué)生從中體驗(yàn)到創(chuàng)新思維的樂(lè)趣，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力。

（一）“抬腿法”與“多一原理”在“雞兔同籠”問(wèn)題解決中的應(yīng)用策略

為了拓展學(xué)生的解題思路，筆者向?qū)W生講述了“抬腿法”與“多一原理”在“雞兔同籠”問(wèn)題解決過(guò)程中的妙用：草地上有一群雞和一群兔。雞對(duì)兔吹噓道：“我們武藝高強(qiáng)，可以做金雞獨(dú)立式?！闭f(shuō)著每只雞都抬起了1只腳，只用1只腳站著。兔子們也不甘示弱地說(shuō)道：“這有何難，看看我們的兔子作揖?！闭f(shuō)罷，每只兔都抬起了2個(gè)前肢。這就是“雞兔同籠”問(wèn)題中的“抬腿法”。大家可別小看這個(gè)“抬腿法”，將它運(yùn)用在“雞兔同籠”問(wèn)題解決過(guò)程中，可以大大簡(jiǎn)化我們的解題步驟。（課件出示“抬腿法”的解題思路，如圖3所示。）在“抬腿法”的解題過(guò)程中，潛藏著一種“微妙的數(shù)量關(guān)系”，我們把它取名為“多一原理”。所謂“多一”，指兩種同類事物相比較，一種事物所含的部件數(shù)量與事物本身的個(gè)數(shù)相等，而另一種事物的相同部件比其數(shù)量“多一”。在這種特殊情況下，用兩種事物該部件的總量減去兩種事物總量所得的差，就是所含部件比事物本身的數(shù)量“多一”的那種事物的個(gè)數(shù)。例如，用“抬腿法”解決前面的問(wèn)題，解題過(guò)程便可簡(jiǎn)化如下：先假設(shè)每只動(dòng)物都抬起半數(shù)的腳，那落在地上的雞和兔的總腳數(shù)便變成了26÷2=13只腳；13-8=5，這個(gè)5就是兔子的只數(shù)；有了兔子的只數(shù)，剩下的雞的只數(shù)便是8-5=3只了。我們來(lái)總結(jié)一下：前面的猜測(cè)法和畫(huà)圖法都是從動(dòng)物的只數(shù)出發(fā)，算術(shù)法基于“極端假設(shè)”思想直接從腿數(shù)入手，“抬腿法”同樣是從腿數(shù)入手，但因?yàn)榻栌昧恕疤取笔雇葦?shù)減半后兩種動(dòng)物腿數(shù)“多一”的原理而有效避免了兩種動(dòng)物身份的轉(zhuǎn)換，巧妙推算出了雞和兔的只數(shù)。

作為一種典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決模型，“雞兔同籠”問(wèn)題可廣泛運(yùn)用于解決現(xiàn)實(shí)生活中有關(guān)兩種事物之間的數(shù)量關(guān)系的比較問(wèn)題。而這些生活中的問(wèn)題，在“抬腿”的情況下未必都能剛剛好符合“多一”的情況。比如下面的例題：“田野里有雞和蝴蝶12只，它們的總腿數(shù)是44條腿，請(qǐng)問(wèn)雞和蝴蝶各有多少只？”雖然運(yùn)用“抬腿法”，讓雞和蝴蝶各抬起一半的腿之后，雞落地的腿數(shù)與只數(shù)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，但每只蝴蝶落地（或下垂）的腿數(shù)則比每只雞落地的腿數(shù)多2條（蝴蝶共有6條腿），此時(shí)，用44÷2后可得到22，22-12后得到10，這個(gè)10仍然是多出的蝴蝶的腿數(shù)，因?yàn)殡u的腿數(shù)已經(jīng)全部減掉，那么此時(shí)的10條腿不能代表蝴蝶的數(shù)量，必須再除以2，運(yùn)用10÷2=5算出蝴蝶的只數(shù)。在該問(wèn)題的解決過(guò)程中，蝴蝶與雞“抬腿”后的腿數(shù)差雖然不是“多一”而是“多二”，但依然可以運(yùn)用“多一原理”，先排除雞的腿數(shù)，然后算出蝴蝶的只數(shù)5，再由蝴蝶只數(shù)推算出雞的只數(shù)12-5=7只。也就是說(shuō)，依此類推，“多一原理”依然可以與“抬腿法”相配合，無(wú)論是“多三”“多四”，都可以推算出兩種相關(guān)事物之間的數(shù)量關(guān)系。

（二）組織學(xué)生靈活運(yùn)用“抬腿法”和“多一原理”，巧妙解決生活中兩種事物之間數(shù)量關(guān)系比較的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題

在現(xiàn)實(shí)生活中，符合“多一原理”的問(wèn)題并不多見(jiàn)，這個(gè)時(shí)候便需要學(xué)生學(xué)會(huì)靈活變通，人為制造出“多一”的特效，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使較難解決的問(wèn)題在“多一原理”的支持下迎刃而解。

例如，課堂教學(xué)中，筆者出示了下面的例題：30名職工共同制作新年賀卡80張，男職工每人制作3張，女職工每人制作2張，請(qǐng)問(wèn)男、女職工各幾人？

乍一看，這道題的題干里根本不含“多一”的元素，但仔細(xì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)：如果用賀卡的總張數(shù)除以2，女職工的人數(shù)和她們制作的賀卡數(shù)就相等，男職工每人對(duì)應(yīng)的賀卡張數(shù)就由原來(lái)的2張縮減至1.5張，在“一人一卡”的基礎(chǔ)上，每個(gè)男職工就會(huì)多出半張，即在一人一卡的基礎(chǔ)上，每多出0.5張賀卡，就代表著存在一名男職工。于是，該題的解題過(guò)程如下：80÷2=40（張）；40-30=10（張）；10÷0.5=20（名男職工）；30-20=10（名女職工）。

當(dāng)然，還可以換一種方式運(yùn)用“多一原理”：第一步不用總賀卡數(shù)除以2，而是把每名職工制作新年賀卡的張數(shù)都減去1，解答會(huì)更簡(jiǎn)單。如果把每名職工制作新年賀卡的張數(shù)都減少1，則：女職工每人制作賀卡1張，賀卡數(shù)量和人數(shù)形成了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；男職工每人制作賀卡2張，制作的新年賀卡數(shù)就比人數(shù)“多1”，在“一人一卡”的基礎(chǔ)上卡數(shù)比人數(shù)多了幾張，就代表著存在幾名男職工。解題過(guò)程如下：80-30=50（張）；50-30=20（名男職工）；30-20=10（名女職工）。

由上面的例題，可以總結(jié)出“多一原理”應(yīng)用的核心是實(shí)現(xiàn)某種事物的數(shù)量與其某個(gè)部件數(shù)量的一一對(duì)應(yīng)，而另一種事物與其某個(gè)相同部件的數(shù)量既可以“多一”，也可以“多二”“多三”“多四”……實(shí)現(xiàn)一一對(duì)應(yīng)的方法，既可以運(yùn)用除法的方式來(lái)制造，也可以運(yùn)用減法的方式。需要說(shuō)明的是，在完成“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系的制造后，總數(shù)一定要隨之發(fā)生變化：如果用的是除法，總數(shù)就要縮小相應(yīng)的倍數(shù)；如果用的是減法，總數(shù)也要核減相應(yīng)的數(shù)量，這才是“多一原理”運(yùn)用中變與不變的核心思想。也就是說(shuō)，無(wú)論現(xiàn)實(shí)的情況如何，都可以制造出一個(gè)事物的一一對(duì)應(yīng)，但是，大前提是兩種事物的某個(gè)特定部件在數(shù)量上形成了一定的比例關(guān)系。條件再次放寬，也就是滿足這個(gè)條件的問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)化為“雞兔同籠”問(wèn)題。

總之，教師要善于創(chuàng)造機(jī)會(huì)和平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中樹(shù)立創(chuàng)新意識(shí)，學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，激發(fā)思維的靈活性，培養(yǎng)和發(fā)展創(chuàng)新思維能力。

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

作者簡(jiǎn)介：黃春蓮（1979— ），廣西博白人，本科，一級(jí)教師，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育。

（責(zé)編 白聰敏）