立足一線段 建模求最值

侯田華 左效平

【摘要】數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進而解決問題，直接為社會服務(wù).要對數(shù)學(xué)模型解決實際問題有清晰的認識，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑，學(xué)會用數(shù)學(xué)符號建立函數(shù)表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.數(shù)學(xué)建模已在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中占有重要地位，有助于培養(yǎng)學(xué)生理論與實踐相結(jié)合的能力、綜合學(xué)習(xí)能力、綜合運用能力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)建模；函數(shù)

數(shù)學(xué)模型就是以一個特定的對象為一個特定的目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)的思維方法，建立數(shù)學(xué)模型的目的是為了能更好、更高效、更有質(zhì)量地解決問題.

數(shù)學(xué)建模能力是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要組成部分，是學(xué)生必備的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力之一[1]，更是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵之一.數(shù)學(xué)建模思想是幫助學(xué)生將抽象問題、復(fù)雜問題，具象化、簡單化的重要手段，學(xué)生依托這一思想可以深入地進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[2].培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，是數(shù)學(xué)創(chuàng)新性學(xué)習(xí)的需要.

1特例構(gòu)建二次函數(shù)模型

如圖1，設(shè)點A是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上的一點，過點A作AB⊥x軸，交直線y=kx+b（k≠0）于點B，且點A在點B的下方，設(shè)A（m，am2+bm+c），則B（m，km+b），故AB=km+b－am2－bm－c=－am2+（k－b）m+b－c，當(dāng)m=－b2a=k－b2a時，線段AB有最大值.

應(yīng)用模型解題時，要印證已知條件，滿足模型的基本要求，符合模型的基本架構(gòu)，才能建模解題.

2模型的應(yīng)用

2.1探求線段的最值和動點的坐標(biāo)

例1如圖2，對稱軸為x=－1的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標(biāo)為（－3，0），C為拋物線與y軸的交點．

（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，請直接寫出線段QD長度的最大值和對應(yīng)的點Q的坐標(biāo)．

解析（1）易得拋物線的解析式為y=x2+2x－3．

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx-3，把（-3，0）代入解析式，得-3k-3=0，解得k=-1，所以直線AC的解析式為y=-x-3，設(shè)Q的坐標(biāo)為（n，-n-3），則D的坐標(biāo)為（n，n2+2n－3），所以QD=yQ－yD=-n-3-（n2+2n－3）=－n2－3n，所以當(dāng)n=－－32×（－1）=－32時，QD有最大值，且最大值為－（－32）2－3×（－32）=94，此時y=-x-3=－32，故點Q的坐標(biāo)為（－32，－32）．

點評這是模型的遷移版，與模型完全一致，只要熟練掌握基本模型，解答自然順利.

2.2探求帶系數(shù)線段和的最值和動點的坐標(biāo)

例2如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=－12x2+bx+c與x軸交于A，B（－4，0）兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C（0，2）．

（1）求拋物線的表達式；（2）如圖3，連接BC，點P為直線BC上方拋物線上（不與B、C重合）的一動點，過點P作PF∥y軸交x軸于點F，交BC于點E，過點P作PD⊥BC，垂足為點D，求5PD+2PF的最大值及此時點P的坐標(biāo).

解析（1）易得拋物線的解析式為y=－12x2－32x+2．

（2）連接AC，因為y=－12x2－32x+2的對稱軸為直線x=－32，B（－4，0），C（0，2）.

所以點A（1，0），AB2=［1－（－4）］2=25，BC2=22+42=20，AC2=22+12=5，所以△ABC是直角三角形，因為PD⊥BC，∠PED=∠BEF，PF∥y軸，所以∠DPE=∠FBE，所以cos∠DPE=cos∠FBE，所以PDPE=BCBA=255=25，所以5PD=2PE，所以5PD+2PF=2（PE+PF），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，所以0=－4k+b，

b=2，解得k=12，

b=2，所以直線BC的解析式為y=12x+2.

因為點P為直線BC上方拋物線y=－12x2－32x+2上，設(shè)P（m，－12m2－32m+2），則E（m，12m+2），F(xiàn)（m，0），所以PE=－12m2－32m+2－（12m+2）=－12m2－2m，PF=－12m2－32m+2，所以5PD+2PF=2（PE+PF）=2（－12m2－2m－12m2－32m+2）=－2（m+74）2+818，所以當(dāng)m=－74時，5PD+2PF的最大值為818，此時－12m2－32m+2=－12×（－74）2－32×（－74）+2=9932，所以P（－74，9932）．

點評這是模型的縱深型應(yīng)用，利用三角函數(shù)得到5PD=2PE，化5PD+2PF=2（PE+PF），為構(gòu)建模型解決問題奠定基礎(chǔ)．

2.3探求帶系數(shù)線段差的最值和動點的坐標(biāo)

例3如圖4，點P是拋物線y=－34x2+94x+3第一象限上的一動點，拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸的正半軸于點B，過點P作PQ⊥x軸于點Q，交AB于點M，則PQ-35AM取最大值時，點P的橫坐標(biāo)為.

解析因為y=－34x2+94x+3，令y=0，得－34x2+94x+3=0，解得x1=－1，x2=4，所以A（4，0），B（0，3），AB=32+42=5，所以sin∠OAB=OBAB=35=MQAM，所以MQ=35AM，所以PQ-35AM=PQ-MQ=PM.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3，把（4，0）代入解析式，得4k+3=0，解得k=－34，所以直線AB的解析式為y=－34x+3，設(shè)P的坐標(biāo)為（n，－34n2+94n+3），則M的坐標(biāo)為（n，－34n+3），所以PM=yP－yM=－34n2+94n+3+34n－3=－34n2+3n，所以當(dāng)n=－32×（－34）=2時，PM有最大值，即PQ-35AM有最大值時，故點P的橫坐標(biāo)為2．

點評解答時，巧妙運用三角函數(shù)的正弦函數(shù)化35AM為線段MQ，從而實現(xiàn)化陌生為熟悉，實現(xiàn)解題目標(biāo).這是數(shù)學(xué)化歸思想的靈活運用，要熟練掌握.其次，要熟練駕馭模型線段的計算方法，做到靈活、準確、高效入模、析模、解模，從而提高解題效率，助你克服畏難情緒，增強解題信心，感受解題樂趣.

2.4探求四邊形面積的最值和動點的坐標(biāo)

例4如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)為（2，9），與y軸交于點A（0，5），與x交于點E，B（點B在點E的右側(cè)）．

（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式；（2）過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點（點P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點D，當(dāng)點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？求出最大面積.

分析根據(jù)拋物線的解析式，確定點B，點E，點C的坐標(biāo)，確定直線AB的解析式為y=－x+5，設(shè)P（m，－m2+4m+5），則D（m，－m+5），根據(jù)S四邊形ADCP=12PD·AC構(gòu)造二次函數(shù)模型計算．

解（1）易得拋物線的解析式為y=－（x－2）2+9=－x2+4x+5．

（2）因為拋物線的解析式為y=－x2+4x+5，所以－x2+4x+5=0，解得x1=－1，x2=5，所以B（5，0），E（－1，0），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，所以5k+b=0，

b=5，解得k=－1，

b=5，所以直線AB的解析式為y=－x+5.

設(shè)P（m，－m2+4m+5），則D（m，－m+5），因為PD平行于y軸交AB于點D，所以PD=－m2+4m+5－（－m+5）=－m2+5m；因為AC平行于x軸，交拋物線于點C，A（0，5），C（xC，5），所以A，C是對稱點，xC+02=2，解得xC=4，所以AC=xC－xA=4，所以S四邊形APCD=12PD·AC=12×4×（－m2+5m）=－2（m－52）2+252，所以當(dāng)m=52時，四邊形APCD面積最大，最大面積為252，當(dāng)m=52時，－m2+4m+5=－（52）2+4×52+5=354，所以P（52，354）．

點評先構(gòu)建模型，后借助模型中的動線段，運用分割法表示四邊形的面積，構(gòu)建起面積的二次函數(shù)模型，求最值即可.

2.5探求四邊形周長的最值和動點的坐標(biāo)

例5如圖6，拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）經(jīng)過A（－1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）直線y=kx+3經(jīng)過點A，點P為該直線上的一個動點，且位于x軸的上方．點Q為拋物線上的一個動點，當(dāng)PQ⊥x軸時，作QM⊥PQ，交拋物線于點M（點M在點Q的右側(cè)），以PQ，QM為鄰邊作矩形PQMN，求該矩形周長的最小值．

分析用待定系數(shù)法確定直線y=kx+3的解析式，設(shè)P（t，3t+3），則Q（t，－12t2+32t+2），根據(jù)函數(shù)對稱性，確定PQ，QM的長度，計算2（PQ+QM），構(gòu)造以t為自變量的二次函數(shù)，根據(jù)最值確定法判斷計算即可．

解（1）該拋物線的解析式為y=－12x2+32x+2．

（2）因為直線y=kx+3經(jīng)過點A，所以－k+3=0．解得k=3．所以直線的解析式為y=3x+3．設(shè)P（t，3t+3），則Q（t，－12t2+32t+2）．由y=－12x2+32x+2=－12（x－32）2+258，得拋物線的對稱軸為直線x=32．如圖6，根據(jù)題意，點Q和M關(guān)于對稱軸對稱，所以QM=2（32－t）=3－2t．

因為PQ=3t+3－（－12t2+32t+2）=12t2+32t+1．所以2（PQ+QM）=t2－t+8=（t－12）2+314，所以當(dāng)t=12時，2（PQ+QM）的值最小．

所以該矩形周長的最小值為314．

點評通過構(gòu)建模型，以四邊形的周長為函數(shù)建立二次函數(shù)模型，從而化周長的最小值為二次函數(shù)的最小值，巧妙實現(xiàn)解題目標(biāo).

3教學(xué)思考

建模思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)容之一，是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)分析問題、解決問題能力的重要活動載體之一，為此在教學(xué)中要扎實落實如下幾點.

3.1建模教學(xué)要落實教師意識先行原則

教師作為知識的傳播者，首先自己對數(shù)學(xué)建模要高度重視，有積極向上的建模意識，全面縝密的建模思維，敢于建模的思考習(xí)慣，確實把建模教學(xué)作為教師個人業(yè)務(wù)提升、教學(xué)風(fēng)格形成的重要體現(xiàn)，同時，也要把建模教學(xué)作為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新學(xué)習(xí)、創(chuàng)新能力培養(yǎng)的切入點和突破口，科學(xué)選擇模型背景，大膽嘗試探索，讓建模教學(xué)扎根自己的課堂，植根學(xué)生的心田，相信師生假以時日歷練，定能探索出一條建模教學(xué)的成功之路.

3.2建模教學(xué)要落實理論聯(lián)系實際原則

數(shù)學(xué)建模的過程，是實踐—理論—再實踐的過程，是理論與實踐的有機融合，共同引領(lǐng)學(xué)生積極主動思考數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和探索數(shù)學(xué)的過程.教師不斷強化數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，不僅能讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，學(xué)會數(shù)學(xué)的思想、方法、語言，也能讓學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀，增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，全面認識數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)、社會的關(guān)系，提高分析問題和解決問題的能力.

3.3建模教學(xué)要遵循循序漸進原則

數(shù)學(xué)建模教學(xué)不是一朝一夕就能實現(xiàn)和完成的，需要數(shù)學(xué)教師有強烈的耐心和穩(wěn)定的心態(tài)，建模教學(xué)急不得，它必須建立在學(xué)生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)之上，符合學(xué)生的認知規(guī)律和特點，是學(xué)生基礎(chǔ)知識的再認識、再提升、再錘煉的產(chǎn)物，是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想共同孕育的數(shù)學(xué)智慧的結(jié)晶，就像一個剛出生的嬰兒，需要嚴格按照成長階段來生長，建模教學(xué)也是如此，這就需要教師要夯實學(xué)生的數(shù)學(xué)根基，織密學(xué)生的思維智網(wǎng)，啟明學(xué)生的數(shù)學(xué)思想燈塔，開啟學(xué)生的建模思維之門，在老師的“輔佐”下，漸入佳境，錘煉自我，提升能力和素養(yǎng).

參考文獻

[1]孫凱.初中生數(shù)學(xué)建模能力評價框架的構(gòu)建[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報，2023（01）：83-88.

[2]嚴蘇娟.以數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)實踐[J].考試周刊，2018（11）：71-72.

作者簡介侯田華（1966—），男，山東沂源人，中學(xué)一級教師;縣優(yōu)秀班主任，教學(xué)工作先進個人;主要研究解題方法的探究和學(xué)法指導(dǎo).

左效平（1967—），男，山東沂源人，中學(xué)高級教師;全國數(shù)理化能力競賽優(yōu)秀輔導(dǎo)教師，市教師教育工作先進個人，縣優(yōu)秀班主任，縣優(yōu)秀德育工作者;主要研究解題方法的探究和學(xué)法指導(dǎo);發(fā)表論文近100篇.