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    數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)的誤區(qū)和出路

    2023-05-30 23:42:07孫旭花
    教育研究與評(píng)論 2023年3期
    關(guān)鍵詞:開放題數(shù)學(xué)問題練習(xí)題

    摘要:數(shù)學(xué)問題可以分為回憶型、連接型、反省型三類。一味重視練習(xí)題(回憶型問題),使得過程思維的發(fā)展空間狹窄。開放題(反省型問題)的出現(xiàn),旨在平衡內(nèi)容知識(shí)與過程思維。但是,開放題在進(jìn)入日常教學(xué)時(shí),遭遇了一些障礙。對(duì)此,應(yīng)該重視連接型問題組的設(shè)計(jì),將其作為課程載體,促進(jìn)從基礎(chǔ)知識(shí)到高層次思維的連續(xù)發(fā)展,促進(jìn)內(nèi)容與過程的平衡。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)問題;練習(xí)題;開放題;連接型問題組

    近幾十年來,美國數(shù)學(xué)課程中,“問題解決”被調(diào)整為數(shù)學(xué)教育的過程目標(biāo)之一,而不再像以前一樣作為數(shù)學(xué)教育的“核心”。這與“問題解決”中將問題界定為不熟悉的問題有關(guān):把不熟悉的問題絕對(duì)化,違背循序漸進(jìn)的原則,因?yàn)?,從熟悉的問題到不熟悉的問題需要過渡和連接;忽視人類學(xué)習(xí)的一般規(guī)律,畢竟,從熟悉的問題到不熟悉的問題的遷移學(xué)習(xí)扮演著重要的角色。此外,許多研究單單關(guān)注問題提出或思維,脫離知識(shí)。這樣的“問題解決”猶如離開水的魚,難以長期發(fā)展。

    一、數(shù)學(xué)問題的分類和角色

    問題在數(shù)學(xué)課程中扮演非常重要的角色。簡單來說,簡單問題(通常意義上的練習(xí))和例題類似,扮演記憶例題方法的角色,某種意義上,可以作為“雙基”的課程橋梁;難的問題需要思考探索,扮演思維的角色,某種意義上,可以作為高層次思維能力的課程載體。

    PISA曾按照一個(gè)公民在日常生活中理解數(shù)學(xué)、作出判斷、使用和從事數(shù)學(xué)的能力評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)素養(yǎng),把用于評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)問題更為清晰地分為回憶型(reproduce cluster)問題、連接型(connection cluster)問題、反省型(reflection cluster)問題三類,較為廣泛地被公眾所接受。

    回憶型問題是指涉及回憶練習(xí)性的知識(shí),關(guān)聯(lián)標(biāo)準(zhǔn)算法、技巧,標(biāo)準(zhǔn)公式、應(yīng)用計(jì)算,常規(guī)性操作、常規(guī)問題解決的問題。其特征包括標(biāo)準(zhǔn)表征和定義、常規(guī)問題解決。例如:(1)(PISA 2003第7號(hào)例子)把69%寫成分?jǐn)?shù)。(2)(PISA 2003第6號(hào)例子)求7、12、8、14、15、9的平均數(shù)。

    連接型問題是指在回憶型問題的基礎(chǔ)上,在熟悉或半熟悉的背景下,涉及并不簡單的常規(guī)問題解決,需要把不同的問題表征進(jìn)行整合,連接不同的課程內(nèi)容的問題。其特征包括模型化、標(biāo)準(zhǔn)問題解決的轉(zhuǎn)化與整合、多種常規(guī)結(jié)構(gòu)方法的整合。例如:(1)(PISA2003第10號(hào)例子)馬麗距離學(xué)校2公里,馬丁距離學(xué)校5公里,他們距離有多遠(yuǎn)?(2)(PISA 2003第12號(hào)例子)一個(gè)比薩公司生產(chǎn)兩種同樣厚度的比薩,小的直徑30cm,賣30zeds,大的直徑40cm,賣40 zeds,哪種更值?解釋你的推理。

    反省型問題是指在連接型問題的基礎(chǔ)上,解決過程更有創(chuàng)造性或更加陌生,涉及高級(jí)推理、抽象化、概括性、應(yīng)用新背景模型化能力的問題。其特征包括復(fù)雜的問題解決和提出、反省和深度洞察、創(chuàng)造性的方法、多種復(fù)雜方法等。例如:(PISA 2003第14號(hào)例子)某個(gè)國家1980年的國防開支是3千萬美元,當(dāng)年的國民收入總值是50千萬美元;1981年的國防開支是3.5千萬美元,當(dāng)年的國民收入總值是60.5千萬美元。兩年來國民收入總值的通貨膨脹率為10%。如果你被邀請(qǐng)為和平愛好者做演說,你打算解釋國防開支降低,你如何來做?如果你被邀請(qǐng)為軍事學(xué)術(shù)部門做演說,你打算解釋國防開支提高,你如何來做?

    這三類問題,搭建起了“容易一中難一最難”的階梯。其中,回憶型問題可以用來學(xué)習(xí)內(nèi)容知識(shí);反省型問題可以用來學(xué)習(xí)過程思維;連接型問題是對(duì)內(nèi)容知識(shí)和過程思維的統(tǒng)整,也可說是對(duì)內(nèi)容知識(shí)的消化吸收,在不同的情境下靈活應(yīng)用,是進(jìn)一步解決更開放的反省型問題,學(xué)習(xí)過程思維,形成高層次思維能力的中間過渡載體。

    二、開放題的出現(xiàn),旨在平衡內(nèi)容與過程

    事實(shí)上,問題設(shè)計(jì)常常出現(xiàn)兩個(gè)極端,或者重視回憶型問題,或者強(qiáng)調(diào)反省型問題,而相對(duì)地忽視中間過渡的連接型問題。這導(dǎo)致缺乏內(nèi)容知識(shí)與過程思維的平衡。正如黃毅英等人所強(qiáng)調(diào)的,各國數(shù)學(xué)課程改革亟待解決的問題就是內(nèi)容與過程的平衡:“各國數(shù)學(xué)課程改革的新趨勢表明,于響應(yīng)社會(huì)轉(zhuǎn)型的挑戰(zhàn)中,培育下一代之高層次思維能力至為重要。但如何同時(shí)保持堅(jiān)定的基礎(chǔ)知識(shí),是當(dāng)前數(shù)學(xué)課程發(fā)展刻不容緩的任務(wù)。如何在提升高層次思維能力和共通能力之余不會(huì)丟失堅(jiān)實(shí)的學(xué)科基礎(chǔ),以及如何在'過程'與'內(nèi)容'間找到平衡,變成眾多問題的重中之重。”

    重視內(nèi)容的教學(xué)問題扮演了知識(shí)掌握的角色,主要以一般性的練習(xí)題(回憶型問題)為載體,以課堂例題、課堂練習(xí)、課后練習(xí)等形式呈現(xiàn),幫助學(xué)生鞏固和發(fā)展概念、法則、定理等。一般性練習(xí)題的完整條件,使學(xué)生只要回憶學(xué)過的知識(shí),選擇合適的知識(shí),即可作出回答,即“只要記,不用想”。而這就意味著過程思維(尤其是高層次思維)的發(fā)展空間狹窄。

    以美國為例。部分美國教材編寫者為提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,也為使每一個(gè)學(xué)生都能解決教材提供的問題,讓每一單元的問題都傾向解決一般形式的簡單模式。[2]有學(xué)者統(tǒng)計(jì)過一本新加坡教材和一本美國教材中不同類型分?jǐn)?shù)問題的占比,結(jié)果如表1所示。顯然,美國教材中的問題更淺、更易。

    在一定程度上,開放題被視為解決上述問題的對(duì)策—這也是開放題受到重視的原因之一。

    1971年,島田茂等人編著的《開放式途徑:關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)新建議》出版,正式提出了開放題。后來,各個(gè)國家的研究者把它貼上了不同的標(biāo)簽,比如現(xiàn)實(shí)主義數(shù)學(xué)(realistic mathematics)、調(diào)查性項(xiàng)目(investigative project)、探索性問題(exploratory problem)、真實(shí)的數(shù)學(xué)調(diào)查與問題提出(authentic mathematical investigation and problem posing)、開放式方法(open- ended approach)、結(jié)構(gòu)不良問題(ill-structure problem)、開放式問題(open problem)。盡管不同的標(biāo)簽代表不同的研究傾向、意義趨向,但是它們的基本含義是相同的。開放題在近幾十年全世界的數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域備受矚目,其深層次原因在于:彌補(bǔ)了一般性練習(xí)所缺乏的,為發(fā)展數(shù)學(xué)過程思維(尤其高層次思維)提供的自由空間(課程載體),使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相對(duì)于一般性的練習(xí)具備了更為深層(從任務(wù)到結(jié)果)的“過程”循環(huán)。

    簡單地說,開放題通過開放研究的任務(wù)和目標(biāo),開放條件或結(jié)論,即控制條件和結(jié)論的自由度,擴(kuò)大題設(shè)空間,促使解題者擴(kuò)大探索試驗(yàn)空間,產(chǎn)生多種策略。也就是說,開放題讓解題者有更多情感充分投入,有更多機(jī)會(huì)建構(gòu)自己的方法,驅(qū)動(dòng)相對(duì)高層次的數(shù)學(xué)思維,輸出相對(duì)深層結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)結(jié)果,對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和價(jià)值有相對(duì)深層的體會(huì)。

    以此為線索,人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),若只有回憶型練習(xí),則收窄了學(xué)習(xí)的任務(wù)和目標(biāo),容易導(dǎo)致解題者情感與策略的淺層參與,使用機(jī)械的、記憶題型的淺層數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式,獲得學(xué)習(xí)結(jié)果的淺層結(jié)構(gòu)。而淺層認(rèn)知結(jié)構(gòu),傳遞歪曲的數(shù)學(xué)態(tài)度和觀念、淺層的數(shù)學(xué)本質(zhì)和價(jià)值體會(huì),易使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變?yōu)橛善瘘c(diǎn)到終點(diǎn)的“淺循環(huán)”。

    三、開放題在進(jìn)入日常教學(xué)時(shí),遭遇了障礙

    重視培養(yǎng)過程思維的課程主要以開放題(反省型問題)為載體。雖然開放題為高層次思維提供了可能,但它在進(jìn)入日常教學(xué)時(shí),遭遇了一些障礙。

    首先,開放題對(duì)教師教學(xué)要求較高。一方面,解決開放題需要高層次思維。換句話說,開放題能為學(xué)生的思維發(fā)展提供較為廣闊的空間。這是開放題受到重視的主要原因。另一方面,既然解決開放題需要高層次思維,那么,學(xué)生不會(huì)時(shí),教師該如何來教?這對(duì)教師提出了較高的要求。開放題教學(xué)如何進(jìn)一步在中小學(xué)推廣和普及是當(dāng)務(wù)之急,高層次思維不是空中樓閣,也不會(huì)自動(dòng)生成,仍需要教學(xué)和課程的支持。[4]

    其次,開放題讓學(xué)生學(xué)習(xí)信心受挫。黃毅英等人研究發(fā)現(xiàn),大部分學(xué)生面對(duì)開放題時(shí)有失控感、挫敗感。幾次解不出來,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感、自信心也會(huì)降低,并由此不喜歡開放題—甚至能力較強(qiáng)的學(xué)生也不喜歡。的確,渴望成功是學(xué)生發(fā)展的第一需要,成就感是學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)之基礎(chǔ)。也有學(xué)者提及開放題教學(xué)遇到的障礙如下:(1)開放題在單一的技能訓(xùn)練、知識(shí)學(xué)習(xí)上費(fèi)時(shí)費(fèi)力,效率較低;(2)開放題教學(xué)容易受到課時(shí)的限制,課堂上常出現(xiàn)學(xué)生的思維在低層次上重復(fù)、不易進(jìn)入深度研究的情況;(3)現(xiàn)有適合教學(xué)的開放題數(shù)量太少,而開發(fā)和設(shè)計(jì)更多的開放題面臨較多的困難;(4)對(duì)有些開放題很難制定出客觀、公正的標(biāo)準(zhǔn),故用開放題做考試題困難重重。[6]

    再次,開放題讓師生不習(xí)慣。長期以來,師生已經(jīng)習(xí)慣練習(xí)題,視開放題為“額外的負(fù)擔(dān)”“多余的任務(wù)”。如此,課程的研究者對(duì)開放題的推行在不被接受的情況下,就變?yōu)椤耙粠樵浮?,面臨巨大挑戰(zhàn)。

    最后,開放題和日常教學(xué)脫離。開放題教學(xué)一直是“缺米之炊”“缺源之水”。開放題的設(shè)計(jì)非常困難,主要表現(xiàn)為教師很難準(zhǔn)備背景,以及題目很難合適學(xué)生的水平,很難結(jié)合學(xué)生的知識(shí)?!崩?,關(guān)于開放題的代表性著作《開放式途徑:關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)新建議》中所提出的,后來被視為典型開放題的棒球游戲和石子問題(baseball games,marble problem)適合任何年級(jí)的學(xué)生。這便從另一個(gè)側(cè)面說明,題目沒有結(jié)合學(xué)生的知識(shí),并和日常教學(xué)脫離。當(dāng)前的開放題教學(xué)在一定意義上只是日常數(shù)學(xué)教學(xué)的補(bǔ)充(常被形象地描述為“主食外的甜品”)。例如,戴再平提出的典型的開放題—郵路問題,雖然數(shù)學(xué)意義深刻,但只能成為日常數(shù)學(xué)教學(xué)的補(bǔ)充,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響不大。由此看來,離開傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容,與日常數(shù)學(xué)教學(xué)分家,開放題只能成為短暫的開闊思維、類似“腦筋急轉(zhuǎn)彎”的數(shù)學(xué)游戲,很難在數(shù)學(xué)課堂長久扎根,其教育價(jià)值很難真正落實(shí)。

    香港的情況更說明了這一點(diǎn)。2001年,香港教育署為了協(xié)助教師在中學(xué)一年級(jí)推行《中學(xué)課程綱要:數(shù)學(xué)科(中一至中五)》,提供了較為詳盡的幫助學(xué)生發(fā)展高層次思維的題目。例如:“大文正在籌備一個(gè)茶會(huì)。他買了一些飲品和雞翅。飲品每包5元,雞翅每只8元。(1)現(xiàn)有8人(包括大文)參加茶會(huì)。每人有1包飲品及2只雞翅。問大文需為茶會(huì)付款多少?(2)現(xiàn)有9人(包括大文)參加茶會(huì)。每人有3包飲品和一些雞翅。大文共付423元。問每人有多少只雞翅?(3)現(xiàn)有n人(包括大文)參加茶會(huì)。每人有x包飲品及2x只雞翅。大文共付款273元。參加茶會(huì)的人數(shù)是多少?每人有多少包飲品及多少只雞翅?”另搞一套教學(xué)資源,不言而喻,說明高層次思維培養(yǎng)和日常教學(xué)是脫離的。

    四、連接型問題組應(yīng)運(yùn)而生

    從根本上說,開放題遭遇這些障礙,是因?yàn)閷⑺c練習(xí)題截然分開,而忽視了它們通過連接型問題連接起來的可能性與必要性。因此,克服上述障礙的出路便在于,重視通過連接型問題連接回憶型問題和反省型問題的問題組(可以把這樣的問題組稱為“連接型問題組”)的設(shè)計(jì),從而將其作為課程載體,促進(jìn)從基礎(chǔ)的知識(shí)到高層次思維的連續(xù)發(fā)展,促進(jìn)內(nèi)容與過程的平衡。

    除了從包含的問題類型看,還可以從變化(變式)的角度看連接型問題組,即與例題相比,存在“小一中一大”的連續(xù)變化(“容易一中難一最難”的層次難度)。由此,在廣義上,連接型問題組是一種變式題組,也可以只包含回憶型問題與連接型問題。

    下面,先來看連接型問題組存在的可能性。理論上,根據(jù)上述PISA的問題分類框架,從回憶型問題到反省型問題存在連接的可能性。實(shí)際上,在中國內(nèi)地的數(shù)學(xué)課程中,有很多連接型問題組,其背后有深層次的文化土壤和根源。[9]這里,我們僅給出一個(gè)根據(jù)上述PISA 2003第14號(hào)例子設(shè)計(jì)的連接型問題組。

    PISA 2003第14號(hào)例子是一個(gè)評(píng)價(jià)高層次思維的反省型問題。據(jù)此,可以設(shè)計(jì)如下回憶型問題和連接型問題,組成連接型問題組,從而實(shí)現(xiàn)從內(nèi)容知識(shí)到過程思維的逐級(jí)提升。

    【回憶型問題】

    某個(gè)國家1980年的國防開支是3千萬美元,當(dāng)年的國民收入總值50千萬美元;1981年的國防開支是3.5千萬美元,當(dāng)年的國民收入總值60.5千萬美元。兩年來國民收入總值的通貨膨脹率為10%。1981年比1980年的國防開支多多少千萬美元?(或1980年比1981年的國防開支少多少千萬美元?)1980年的國防開支占國民收入總值的百分比是多少?1981年的國防開支占國民收入總值的百分比是多少?

    【連接型問題】

    某個(gè)國家1980年的國防開支是3千萬美元,當(dāng)年的國民收入總值50千萬美元;1981年的國防開支是3.5千萬美元,當(dāng)年的國民收入總值60.5千萬美元。兩年來國民收入總值的通貨膨脹率為10%。1981年的國防開支比1980年的國防開支多還是少?多多少?少多少?扣除通貨膨脹呢?說說你如何得出你的結(jié)論。

    再來看連接型問題組存在的必要性:相比于單道題,更強(qiáng)調(diào)問題之間的關(guān)系,更強(qiáng)調(diào)深層的數(shù)學(xué)意義與結(jié)構(gòu)理解,更能夠促進(jìn)學(xué)習(xí)的循序漸進(jìn)、螺旋上升。下面簡單舉幾個(gè)例子:

    【連接型問題組1】

    (1)6個(gè)餅,2個(gè)餅分一碟,共分多少碟?(2)6個(gè)餅,共分3碟,每碟有多少個(gè)餅?(3)要多少個(gè)餅,才可以2個(gè)餅分一碟,共分3碟?

    這里,第一題,學(xué)生記住除法的意義,就可以解答;第二題,學(xué)生必須比較其與第一題的異同,理解“包含除”與“等分除”的異同;第三題,學(xué)生必須思考除法的本質(zhì)特征是什么,除法和乘法的聯(lián)系是什么。因此,這個(gè)連接型問題組通過變化的連續(xù)性,連接除法的內(nèi)容知識(shí)和過程思維,促進(jìn)學(xué)習(xí)的循序漸進(jìn)。

    另外,這個(gè)連接型問題組相比于第一題這樣的單道題,優(yōu)勢在于更強(qiáng)調(diào)除法和乘法的關(guān)系(學(xué)生不容易區(qū)分的元素),更強(qiáng)調(diào)“恒等”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),更強(qiáng)調(diào)“方程”的數(shù)學(xué)思想,而不是除法的簡單應(yīng)用。

    【連接型問題組2】

    (1)3包巧克力,6個(gè)人分,每人分多少包?

    (2)6包巧克力,3個(gè)人分,每人分多少包?

    這個(gè)連接型問題組不僅聚焦除法的應(yīng)用,而且區(qū)分了被除數(shù)和除數(shù)的位置關(guān)系—不是由大小決定的,并非被除數(shù)總是大于除數(shù)。

    【連接型問題組3】

    (1)媽媽買了6個(gè)餅,小明分得2個(gè)餅,小明得到幾分之幾?

    (2)媽媽買了6個(gè)餅,小明分得,小明得到幾個(gè)餅?

    (3)小明分得2個(gè)餅,占總數(shù)的,媽媽買了幾個(gè)餅?

    (4)媽媽買了6個(gè)餅,小明分得1/3個(gè),還剩幾個(gè)餅?

    這個(gè)連接型問題組突出了分?jǐn)?shù)乘法、除法和分?jǐn)?shù)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別,區(qū)分了分?jǐn)?shù)的比率意義和數(shù)量意義(無單位和有單位)。這些都是學(xué)生通常難以區(qū)分,造成分?jǐn)?shù)意義與運(yùn)算理解困難的元素。

    五、結(jié)語

    概括而言,使用練習(xí)題引領(lǐng)學(xué)生開展知識(shí)學(xué)習(xí),使用開放題指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題解決,這種分離帶來了極端的問題:學(xué)科知識(shí)在問題解決中趨于無用;而且,問題解決的發(fā)展也不足以支持學(xué)科知識(shí)的發(fā)展。

    同時(shí),一些研究指出,問題解決使數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)“碎片化”。有研究認(rèn)為,情境在問題解決中的作用被過分強(qiáng)調(diào)了,而知識(shí)(經(jīng)驗(yàn))被過分忽視了;情境學(xué)習(xí)的核心主張,比如行動(dòng)基于其發(fā)生的具體情境,知識(shí)不會(huì)在任務(wù)之間遷移,抽象思維的用處不大,教學(xué)必須在復(fù)雜的社會(huì)環(huán)境中進(jìn)行……則過分夸大了情境教育的意義?!睂?shí)際上,數(shù)學(xué)知識(shí)有助于解釋情境的先決條件,數(shù)學(xué)知識(shí)和思維策略必須同時(shí)學(xué)習(xí)和使用。而從結(jié)構(gòu)良好的問題到結(jié)構(gòu)不良的問題應(yīng)該是連續(xù)的,不是絕對(duì)二分的—例如,背誦“九九表”可以改為在“九九表”中查找多重關(guān)系。

    特別要提的是,通過問題變式形成的連056接型問題組,在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著重要的作用。然而,很多教師不知道“連接型問題組”這一提法,而較為通俗地稱之為分散難點(diǎn)問題、題組或問題串、問題鏈。這導(dǎo)致相對(duì)于其重要性而言,連接型問題組在問題解決領(lǐng)域缺乏系統(tǒng)深入的研究—這實(shí)際上是一種“捧著金飯碗要飯”(鄭毓信教授語)的現(xiàn)象。筆者希望本文能起到拋磚引玉的作用,引起大家對(duì)連接型問題組的進(jìn)一步重視和研究。參考文獻(xiàn):

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    (孫旭花,澳門大學(xué)教育學(xué)院,助理教授。在廣州、香港、澳門等地負(fù)責(zé)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)30多年。曾擔(dān)任國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)“整數(shù)的數(shù)學(xué)教與學(xué)”專題國際統(tǒng)籌研究委員會(huì)協(xié)同主席、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系國際研究小組協(xié)同主席,并于第13界國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)做邀請(qǐng)報(bào)告。在中外期刊發(fā)表論文100余篇,主編斯普林格英文暢銷書《打好基礎(chǔ):整數(shù)教學(xué)》,著有《螺旋變式—解讀中國內(nèi)地?cái)?shù)學(xué)課程與教學(xué)之邏輯》。)

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