GeoGebra助力直觀想象核心素養(yǎng)提升的應(yīng)用探討

肖陽(yáng)芳 邵貴明 徐金潤(rùn) 譚祿 熊建軍

[摘 ?要] 隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，全面發(fā)展的人才已成為社會(huì)發(fā)展的寶貴資源. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)人應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)，其中的直觀想象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，而提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)是傳統(tǒng)教學(xué)的難點(diǎn)、痛點(diǎn). 文章以外接球的切瓜模型為支撐點(diǎn)，適時(shí)、適當(dāng)、適切地引用GeoGebra軟件輔助教學(xué)，使學(xué)生通過(guò)視覺(jué)方法與幾何方法的交互作用，理解幾何知識(shí)的本質(zhì)，提高數(shù)形結(jié)合能力，幫助學(xué)生擴(kuò)展思維閾限，把提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)落于實(shí)處.

[關(guān)鍵詞] GeoGebra;直觀想象素養(yǎng);切瓜模型

問(wèn)題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱課程標(biāo)準(zhǔn)）指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的[1]. 目前提升學(xué)生核心素養(yǎng)的研究理論層面偏多，缺乏深層次與實(shí)踐互通，特別是融合我國(guó)傳統(tǒng)的教育方式提升直觀想象素養(yǎng)的研究有待深入. 例如，對(duì)于復(fù)雜的立體幾何問(wèn)題，學(xué)生難以理清圖形結(jié)構(gòu)與各要素的數(shù)量關(guān)系. 這類問(wèn)題往往會(huì)成為一線教學(xué)中提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的絆腳石. 范希爾曾說(shuō)過(guò)，假如能呈現(xiàn)對(duì)直觀的洞察，應(yīng)有助于學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)概念[2]. 若將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)有效結(jié)合，為學(xué)生提供探索實(shí)驗(yàn)的環(huán)境，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)提供背景鋪墊，為學(xué)生加深對(duì)幾何圖形及其交流的理解創(chuàng)造環(huán)境、提供工具，從而培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、空間感以及幾何作圖方法等數(shù)學(xué)能力，切實(shí)提升學(xué)生的核心素養(yǎng). 在科技迅猛發(fā)展的今天，如何具體適時(shí)、適切、適度地使用信息技術(shù)，優(yōu)化課堂教學(xué)？如何在教學(xué)實(shí)踐中提升核心素養(yǎng)？這都是值得大家深入思考的問(wèn)題.

理論依據(jù)

1. 直觀想象素養(yǎng)的重要性、提升難度及原因

數(shù)學(xué)在形成個(gè)人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著不可替代的作用，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)人應(yīng)當(dāng)具備的基本素養(yǎng). 其中直觀想象素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素之一，是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)，在培養(yǎng)人的全面發(fā)展中具有重要的作用.直觀想象素養(yǎng)旨在借助幾何直觀和空間想象讓學(xué)生從空間位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系中領(lǐng)悟形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，主動(dòng)從數(shù)與形的邏輯關(guān)系中建立新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模型，理解并掌握事物的本質(zhì)從而解決問(wèn)題. 至此，在中小學(xué)階段結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)尤其重要，以數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為“腳手架”培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)策略和路徑亟待探究和解決. 課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)教學(xué)提出的建議是，樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程[1]. 而在一線教學(xué)中，教師通常采用傳統(tǒng)方式進(jìn)行教學(xué)，對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用不大，對(duì)提升學(xué)生幾何直觀和空間想象能力更是棘手.這主要是因?yàn)閿?shù)學(xué)本身是較抽象的學(xué)科，且學(xué)生空間想象能力不足、作圖能力有限，生活中也缺少實(shí)物或者模型使學(xué)生將幾何模型印入腦海，無(wú)法較好地促使思維的具象化、可視化.

2. GeoGebra輔助教學(xué)——培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的指導(dǎo)作用

筆者在對(duì)一線教師關(guān)于提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的訪談過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，他們存在這樣的疑問(wèn)：一是如何引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)與形的聯(lián)系，把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)特殊的圖形表達(dá)出來(lái);二是如何依托教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生發(fā)展空間認(rèn)知和想象能力，借助幾何圖形描述問(wèn)題和理解問(wèn)題. 其實(shí)借助信息化手段輔助教學(xué)能有效地解決部分問(wèn)題，利用信息技術(shù)可以將代數(shù)與幾何圖形的變化聯(lián)系起來(lái)，將復(fù)雜的幾何圖形直觀呈現(xiàn)出來(lái)，這樣的過(guò)程容易印在學(xué)生的腦海里，給學(xué)生提供空間想象的固著點(diǎn)，此外，信息技術(shù)還具有“可視化”動(dòng)態(tài)功能，通過(guò)動(dòng)態(tài)圖形的呈現(xiàn)，使學(xué)生從不同方位觀察圖形以達(dá)到操作理解，踐行數(shù)形結(jié)合思想，從而幫助學(xué)生提升直觀想象素養(yǎng). 但“可視化”需要教師精心設(shè)計(jì)、細(xì)心引導(dǎo)，適時(shí)、適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生理解抽象晦澀的知識(shí)點(diǎn). GeoGebra是亞特蘭大大學(xué)數(shù)學(xué)教授設(shè)計(jì)的一款開放源代碼軟件，如圖1所示. 能同框顯示代數(shù)關(guān)系和幾何圖形，揭示數(shù)學(xué)各要素之間復(fù)雜動(dòng)態(tài)的邏輯關(guān)系，直觀地、動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)圖形變化，圖形動(dòng)態(tài)變化時(shí)代數(shù)區(qū)也跟隨變化，GeoGebra能將立體幾何圖形可視化，更重要的是其與使用者具有高度的互動(dòng)性，使用者可以通過(guò)“旋轉(zhuǎn)—拖曳”功能，依自己的目標(biāo)和想法操作幾何對(duì)象以觀察存在于其中的性質(zhì)或關(guān)系. 數(shù)學(xué)教學(xué)尤其需要這種“可視化”，因?yàn)樵谳^難理解的教學(xué)內(nèi)容中需要學(xué)生發(fā)揮空間想象能力，這時(shí)借助信息化手段，將“只可意會(huì)”的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為“能言傳”的內(nèi)容，更好地幫助學(xué)生剖析知識(shí)本質(zhì)，提升數(shù)形結(jié)合能力.

3. GeoGebra輔助教學(xué)——培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)策略

GeoGebra已經(jīng)為人教版教材（2019年版）編撰所采用.筆者通過(guò)CNKI檢索主題“直觀想象素養(yǎng)”，共檢索出中文文獻(xiàn)1943篇;檢索主題“GeoGebra”，共檢索出中文文獻(xiàn)591篇;以“直觀想象素養(yǎng)”和“GeoGebra”為主題，高級(jí)檢索出中文文獻(xiàn)21篇. 從文獻(xiàn)數(shù)據(jù)可知，直觀想象素養(yǎng)和GeoGebra都被教育領(lǐng)域所關(guān)注和重視，但將GeoGebra與直觀想象素養(yǎng)結(jié)合研究的成果尚少. 有研究者通過(guò)編制高中生直觀想象素養(yǎng)測(cè)試卷調(diào)研提出，在一線教學(xué)中，從提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范作圖能力、重視學(xué)生知識(shí)記憶策略、恰當(dāng)運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)、強(qiáng)化學(xué)生制作模型意識(shí)等方面著力提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)水平[3];還有研究者在高中生直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的研究中提出，通過(guò)加強(qiáng)作圖訓(xùn)練程度、注重實(shí)物模型演示和把信息技術(shù)融入課堂教學(xué)中，能改善學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)和空間想象能力較差的現(xiàn)象[4]. 鄭學(xué)蓉結(jié)合函數(shù)、幾何知識(shí)，認(rèn)為在概念教學(xué)中可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)、在動(dòng)態(tài)問(wèn)題教學(xué)中可以培養(yǎng)邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)、在探究教學(xué)中可以培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)，并給出了相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)[5]. 李向婷對(duì)高中生直觀想象素養(yǎng)發(fā)展策略進(jìn)行了研究，提出利用實(shí)物和信息技術(shù)加強(qiáng)高中生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，開展直觀想象素養(yǎng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)促進(jìn)動(dòng)手實(shí)踐與數(shù)學(xué)表達(dá)，利用高中生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展特點(diǎn)合理進(jìn)行因材施教等策略[6]. 結(jié)合以上的文獻(xiàn)成果，提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合和空間想象能力是重要基石. 教學(xué)是以課程內(nèi)容為載體，教給學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法和思維能力，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的一種復(fù)雜活動(dòng)，借助GeoGebra輔助教學(xué)的策略為：提供探索實(shí)驗(yàn)的環(huán)境，滲透猜想與驗(yàn)證思想，展示幾何元素的生成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟知識(shí)本質(zhì)，提升數(shù)形結(jié)合能力[7].

教學(xué)過(guò)程展示

多面體外接球問(wèn)題是提升學(xué)生空間想象能力的恰當(dāng)素材，因?yàn)榍蚺c多面體的切接是空間中一種特殊的位置關(guān)系，解答時(shí)需要想出或畫出圖形，以直觀方式來(lái)分析、思考，而部分學(xué)生因缺乏幾何直觀能力、空間想象能力，問(wèn)題變得抽象難懂，傳統(tǒng)教學(xué)通常以答題模板或秒殺公式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生解題，學(xué)生知其然不知其所以然，所以它是一塊合適的“試金石”，能全方位、多角度、深層次地考查學(xué)生的幾何直觀能力、空間想象能力. 下面以外接球的切瓜模型為載體，借助GeoGebra展示空間幾何體的生成過(guò)程，滲透轉(zhuǎn)化與化歸、空間問(wèn)題平面化、數(shù)形結(jié)合等思想方法，提升學(xué)生的幾何直觀能力、空間想象能力.

切瓜模型是指一側(cè)面垂直底面的棱錐形，常見(jiàn)的是兩個(gè)互相垂直的面都是特殊三角形. 如兩面都是直角三角形;一面是直角三角形，一面是等邊三角形;兩面都是等邊三角形;兩面都是一般三角形. 雖然新教材刪除了有關(guān)外接球的內(nèi)容，但是每年高考依然會(huì)出現(xiàn)外接球相關(guān)考題，故本文以切瓜模型經(jīng)典例題為“腳手架”展示培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)策略.

1. 問(wèn)題情境，理解本質(zhì)

題目：已知平面四邊形ABCD滿足AB=AD=2，∠A=60°，∠C=90°，將△ABD沿對(duì)角線BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD，如圖2所示，則四面體ABCD外接球的體積為多少？

根據(jù)球的體積公式V=πR3知道，若知球的半徑即知球的體積，而要知球的半徑先要找出球心，根據(jù)“球心是過(guò)兩截面圓的圓心作垂直于各截面圓的垂線的交點(diǎn)”這一定義，確定截面找出各外接圓圓心，并作垂線取交點(diǎn)得球心. 華羅庚曾說(shuō)過(guò)，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休. 先在GeoGebra中畫出立體圖形，在指令欄輸入“外接圓（B，C，D）、外接圓（A，B，D）”，再選擇“中點(diǎn)/中心”工具，得出兩個(gè)截面圓及圓心，如圖3所示. 用GeoGebra以直觀形式展示圖形，讓學(xué)生感受幾何關(guān)系的形成過(guò)程，給未來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力提供一個(gè)范式. 因?yàn)椤鰾CD是直角三角形，所以△BCD的外接圓圓心即斜邊BD的中點(diǎn);因?yàn)椤鰽BD是等邊三角形，所以△ABD的外接圓圓心是△ABD的重心. 確定截面圓及圓心后，在GeoGebra中運(yùn)用垂線工具作出截面圓的垂線，垂線的交點(diǎn)即球心O，連接點(diǎn)O與點(diǎn)D，OD即球的半徑. 在Geogebra中輸入命令“球面（O，D）”構(gòu)建外接球，如圖4所示. 這時(shí)通過(guò)GeoGebra的“拖曳”功能，旋轉(zhuǎn)視圖觀察球心O的位置關(guān)系，可知球心O是△ABD的重心，再通過(guò)三角形重心的性質(zhì)求出球的半徑.

在教學(xué)中，學(xué)生可以依據(jù)自己的想法和疑問(wèn)操作幾何對(duì)象，觀察其中的性質(zhì)或關(guān)系以達(dá)到對(duì)外接球位置關(guān)系的本質(zhì)理解. 也可以運(yùn)用GeoGebra的“縮放”功能，只改變圖形大小，不改變圖形數(shù)量關(guān)系，將這個(gè)例題的解題思路抽象為一面是直角三角形、一面是等邊三角形的通性通法. 讓學(xué)生用軟件看立體圖、畫圖或構(gòu)圖，運(yùn)用軟件的旋轉(zhuǎn)視角感受復(fù)雜幾何體的動(dòng)態(tài)生成過(guò)程，同時(shí)將立體問(wèn)題平面化，借助圖形直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題、表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題，啟迪解決此類問(wèn)題的思路，提高學(xué)生的幾何直觀能力和空間想象能力.

2. 問(wèn)題變式，思維升華

變式：在三棱錐D-ABC中，△ABC與△ABD都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且平面ABC⊥平面ABD，則該三棱錐外接球的表面積為多少？

先分析題目信息，根據(jù)球的表面積公式S=4πR2知道，需要找到球心來(lái)確定球半徑，由于教學(xué)中對(duì)這類立體圖形較難直觀呈現(xiàn)在黑板上，而且部分學(xué)生的幾何直觀能力和空間感欠佳，所以借助Geogebra輔助教學(xué)畫出立體圖形，能為學(xué)生探索幾何結(jié)構(gòu)創(chuàng)造環(huán)境.

根據(jù)“球心是過(guò)兩截面圓的圓心作垂直于各截面圓的垂線的交點(diǎn)”這一定義，在Geogebra中點(diǎn)擊“外接圓”后依次選點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C得到△ABC的外接圓，重復(fù)這些操作，得到△ABD的外接圓;在Geogebra中選擇“中點(diǎn)/中心”工具，得到兩個(gè)圓心點(diǎn)E、點(diǎn)F，如圖5所示. 運(yùn)用垂線工具分別作出垂直于各截面圓的垂線，垂線的交點(diǎn)為球心O，如圖6所示，連接線段OC即外接球的半徑.

在研究這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考察，斟酌問(wèn)題的具體情形，先把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系的問(wèn)題，再利用圖形性質(zhì)解決代數(shù)問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案，最后結(jié)合題目已知條件和直角三角形的性質(zhì)求出半徑.

結(jié)束語(yǔ)

幾何圖形是一種經(jīng)過(guò)抽象和形式化處理的數(shù)學(xué)概念，直觀想象是理解幾何圖形的基礎(chǔ). 通過(guò)信息技術(shù)改進(jìn)幾何教學(xué)，加深對(duì)幾何圖形及交流的理解，為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何概念和結(jié)構(gòu)創(chuàng)造環(huán)境、提供工具.當(dāng)多面體外接球問(wèn)題結(jié)合GeoGebra，可將其直觀化、規(guī)律化，降低求解難度，達(dá)到“看得見(jiàn)，看得清，理解快”的效果. 在合適的情境與教師的引導(dǎo)下，學(xué)生可以通過(guò)視覺(jué)方法與幾何方法的交互作用，識(shí)得幾何元素的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，習(xí)得較為完整的幾何知識(shí)，再根據(jù)完整的知識(shí)以一敵百解決更多的問(wèn)題. 但本文提出的樣例呈現(xiàn)的是靜態(tài)過(guò)程，在具體教學(xué)中，信息技術(shù)不能影響教學(xué)目的，只能作為一種輔助教學(xué)工具，要使教學(xué)有意義，需要學(xué)生具備一定的幾何知識(shí)，否則會(huì)損害學(xué)生的幾何思維.

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