“正方體截面的探究”單元教學(xué)之課時(shí)要素設(shè)計(jì)

胡勇進(jìn)

[摘 ?要] “課時(shí)要素設(shè)計(jì)”是單元教學(xué)整體設(shè)計(jì)的第二階段，采用“問(wèn)題鏈+任務(wù)單”教學(xué)方法，創(chuàng)設(shè)情境與問(wèn)題，設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生真實(shí)學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 正方體截面的形狀;課時(shí)要素設(shè)計(jì)

前文《“正方體截面的探究”單元教學(xué)之單元要素整體設(shè)計(jì)》已說(shuō)明本單元教學(xué)劃分為2個(gè)課時(shí)內(nèi)容，第1課時(shí)為“正方體截面的形狀”，第2課時(shí)為“正方體截面的作法”，它們是自主合作探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和作圖論證解決問(wèn)題的關(guān)聯(lián)融合關(guān)系. 本文以“正方體截面的探究”單元教學(xué)之第1課時(shí)“正方體截面的形狀”為例，介紹單元整體教學(xué)之“課時(shí)要素設(shè)計(jì)”的主要內(nèi)容.

教學(xué)目標(biāo)

經(jīng)歷觀察與發(fā)現(xiàn)、探究與證明的過(guò)程，歸納正方體截面的形狀，增強(qiáng)正方體模型意識(shí);在情境與問(wèn)題中體驗(yàn)分類討論、數(shù)形結(jié)合思想;發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

教學(xué)策略

教學(xué)重點(diǎn)：分類找出所有可能的截面.

教學(xué)難點(diǎn)：證明截面的某形狀存在或不存在.

教學(xué)資源：自制教具、數(shù)字化平臺(tái)、平板電腦.

教學(xué)方法：基于單元導(dǎo)引的“問(wèn)題鏈+任務(wù)單”教學(xué)方法.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

見(jiàn)表1.

教學(xué)流程

流程圖參見(jiàn)前文《高中數(shù)學(xué)“問(wèn)題鏈+任務(wù)單”單元式教學(xué)策略探索》.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 課前學(xué)習(xí)單

準(zhǔn)備多個(gè)可以切割的正方體模型（比如蘿卜塊、花泥等），有顏色的水和正方體玻璃缸.

2. 情境導(dǎo)入

播放《舌尖上的中國(guó)》廚師切食材的切面形狀，導(dǎo)入本節(jié)課的截面概念，播放各小組學(xué)生在課前學(xué)習(xí)單中的探究視頻.

【問(wèn)題1】什么是截面？多邊形截面的邊是如何形成的？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)動(dòng)手操作切蘿卜塊或花泥，或者往正方體玻璃缸注入有顏色的水，觀察不同擺放位置、不同水量時(shí)的液體表面的形狀，借助信息技術(shù)設(shè)備直觀快捷地展示各種可能的截面，體驗(yàn)生活中幾何體的截面形狀，對(duì)截面形狀提出猜想，啟發(fā)學(xué)生的思路，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，抽象出截面概念.

3. 探究交流，成果展示

【問(wèn)題2】請(qǐng)各小組做實(shí)驗(yàn)，向玻璃缸注入有顏色的水，觀察截面形狀.

【任務(wù)1】討論正方體的截面形狀的邊數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)探究過(guò)程，包括觀察、想象、猜想、驗(yàn)證、推理等思維發(fā)生發(fā)展過(guò)程，歸納正方體的截面形狀有三角形、四邊形、五邊形、六邊形.

【問(wèn)題3】如果截面是三角形，可以截出幾類不同的三角形？為什么？

【追問(wèn)1】觀察水面與正方體的頂點(diǎn)、棱、面之間的位置關(guān)系，并畫(huà)出三角形截面示意圖.

【追問(wèn)2】請(qǐng)分享畫(huà)出三角形截面的過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生有序、有邏輯地從宏觀到微觀進(jìn)行分類探究，層層遞進(jìn)，在探究過(guò)程中理解空間幾何體的基本要素為形狀、大小和位置關(guān)系.引導(dǎo)學(xué)生從正方體的頂點(diǎn)、棱、面與三角形截面的圖形特征去研究三角形截面的形狀，并能描述大致示意圖.

【問(wèn)題4】如果截面是等邊三角形、等腰三角形，棱與截面交點(diǎn)的位置特征有哪些？

【追問(wèn)3】我們還可以從哪個(gè)角度去探究？三角形截面有什么共同特征？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)對(duì)三角形截面的邊角關(guān)系進(jìn)行分類探究，初步了解棱與截面交點(diǎn)的位置特征是一個(gè)重要抓手.

【問(wèn)題5】實(shí)驗(yàn)表明，三角形截面只能是銳角三角形，不能是直角三角形和鈍角三角形，為什么？說(shuō)明理由.

【任務(wù)2】學(xué)習(xí)小組利用平板設(shè)備投屏分享展示.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)操作觀察和猜想，分類找出所有可能的截面，并證明哪些形狀的截面一定存在或一定不存在，讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般、分類討論數(shù)學(xué)思想.利用余弦定理可以證明截面的形狀為銳角三角形，并歸納銳角三角形為截面的共性結(jié)構(gòu)特征. 如圖1所示.

【問(wèn)題6】是否存在截面面積最大的三角形？如果存在，這樣的三角形是什么形狀？

【追問(wèn)4】假定正方體棱長(zhǎng)為2，截面面積最大的三角形面積是多少？

設(shè)計(jì)意圖 如圖2和圖3，通過(guò)對(duì)三角形截面面積和截面圖形的大小進(jìn)行探究，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)正方體截面形狀、大小、位置關(guān)系特征的理解，初步了解如何通過(guò)運(yùn)算求解定量描述位置關(guān)系.

【問(wèn)題7】如果截面是四邊形，可以截出幾類不同的四邊形？為什么？

【追問(wèn)5】你能作出相應(yīng)形狀的示意圖嗎？

【任務(wù)3】學(xué)習(xí)小組轉(zhuǎn)動(dòng)玻璃缸，并畫(huà)出示意圖，借助幾何畫(huà)板分享展示成果. 如圖4所示.

【追問(wèn)6】還能截出哪些多邊形？為什么？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)三角形截面類比四邊形截面的探究，培養(yǎng)學(xué)生的合作探究能力、直觀想象數(shù)學(xué)素養(yǎng)、轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想.

【問(wèn)題8】如果截面是五邊形，這些五邊形的幾何特征有哪些？

【追問(wèn)7】是否存在正五邊形截面？為什么？

【任務(wù)4】學(xué)習(xí)小組轉(zhuǎn)動(dòng)玻璃缸，記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果并拍照上傳平板設(shè)備，如圖5所示. 畫(huà)出示意圖，如圖6所示. 思考：是否存在正五邊形截面，為什么？

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生利用正方體玻璃缸進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)活動(dòng)和利用示意圖進(jìn)行討論探究，訓(xùn)練學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、作圖表達(dá)、推理論證等能力.

【問(wèn)題9】截面的形狀可以是六邊形嗎？

【追問(wèn)8】是否存在正六邊形截面？為什么？

【任務(wù)5】轉(zhuǎn)動(dòng)玻璃缸，記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果并拍照上傳平板設(shè)備，如圖7所示. 畫(huà)出示意圖，如圖8所示. 思考：是否存在正六邊形截面，為什么？

【追問(wèn)9】學(xué)習(xí)小組轉(zhuǎn)動(dòng)玻璃缸，觀察截面形狀，存在超過(guò)六邊形的截面嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖 類似尋找四邊形、五邊形截面的實(shí)驗(yàn)操作，類比發(fā)現(xiàn)截面形狀可以是六邊形.學(xué)習(xí)小組轉(zhuǎn)動(dòng)玻璃缸，引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)驗(yàn)過(guò)程，提出可能存在正六邊形的猜想，通過(guò)畫(huà)示意圖進(jìn)行驗(yàn)證、推理分析并給予證明.進(jìn)一步觀察，引導(dǎo)學(xué)生聚焦棱與截面交點(diǎn)的位置，由于任何截面至少與三個(gè)面相交，至多與六個(gè)面相交，所以不可能存在超過(guò)六邊形的截面. 學(xué)生完整經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過(guò)程，在實(shí)驗(yàn)探究、推理論證中提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

【問(wèn)題10】學(xué)習(xí)小組轉(zhuǎn)動(dòng)玻璃缸，并畫(huà)出示意圖，記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果并拍照上傳平板設(shè)備，思考：是否存在直角梯形，為什么？

設(shè)計(jì)意圖 設(shè)計(jì)以上問(wèn)題鏈，學(xué)生經(jīng)歷觀察、探究、交流、試驗(yàn)、歸納、猜想、證明等過(guò)程，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中，觀察歸納截面的圖形特征，分享展示證明方法，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想.

4. 構(gòu)建數(shù)學(xué)

【問(wèn)題11】觀察正方體的棱與截面的交點(diǎn)，分析交點(diǎn)的位置與截面形狀的聯(lián)系.指出正方體截面有三角形、正方形、矩形、梯形、五邊形、六邊形等六種情況. 如圖9所示.

【任務(wù)6】回顧一下，我們是以怎樣的流程和步驟來(lái)探究正方體的三角形截面的？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生經(jīng)歷“事實(shí)—發(fā)現(xiàn)—猜想—論證”過(guò)程，分類找出所有可能的截面，積累從直觀到抽象的探究活動(dòng)體驗(yàn)，增強(qiáng)正方體模型意識(shí). 理解聚焦棱與截面交點(diǎn)的位置是確定正方體的截面形狀的關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究的科學(xué)精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度.

5. 學(xué)以致用

【問(wèn)題12】正方體的所有截面中哪個(gè)截面面積最大？

設(shè)計(jì)意圖 設(shè)計(jì)探究性和開(kāi)放性問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分類討論、作圖表達(dá)、推理論證等能力.在具體情境中，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)探究過(guò)程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，感受獲得成功的愉悅.

6. 課堂總結(jié)

【問(wèn)題13】請(qǐng)梳理與本節(jié)課相關(guān)聯(lián)的必備知識(shí).

【追問(wèn)10】請(qǐng)梳理數(shù)學(xué)探究的一般過(guò)程，說(shuō)一說(shuō)本節(jié)課涉及的數(shù)學(xué)思想方法.

【追問(wèn)11】談一談本節(jié)課涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

7. 課后作業(yè)單

若正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為1，P是棱BC的中點(diǎn)，Q為棱CC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的圖形為_(kāi)____，其面積為_(kāi)____.