函數(shù)與方程思想在解題中的運(yùn)用

黃康芳

摘? ?要：函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用最為廣泛的基本思想之一，是解題過程的一個(gè)通性方法，可在處理實(shí)際應(yīng)用、數(shù)列、不等式、解析幾何與立體幾何問題過程發(fā)揮引導(dǎo)性的關(guān)鍵作用.在應(yīng)用過程中，需要強(qiáng)化學(xué)生的相關(guān)知識應(yīng)用意識，以及對問題進(jìn)行化簡化歸的意識，以不斷增強(qiáng)學(xué)生在相關(guān)問題的思維能力，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：函數(shù)；方程；思想方法

函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最具奠基性和總結(jié)性，應(yīng)用最為廣泛的基本思想之一.它是人們在概括了大量的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)之后產(chǎn)生的一種能反映數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的認(rèn)識.[ 1 ]函數(shù)與方程思想滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域，是歷屆高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.

在問題解決中應(yīng)用函數(shù)思想，一般是指構(gòu)造函數(shù)以將問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為函數(shù)關(guān)系并利用所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性等）解決原型問題的過程．在問題解決中應(yīng)用方程思想，一般是指將問題中待求的量設(shè)為未知數(shù)，將隱含的等量關(guān)系化歸為方程（組）的等式關(guān)系并通過解方程（組）達(dá)到解決原型問題的過程．

函數(shù)與方程思想可將待解決的問題轉(zhuǎn)化為有固定解決模式的函數(shù)與方程問題，二者關(guān)系密切：函數(shù)式y(tǒng)=f（x）可視為二元方程式y(tǒng)-f（x）=0；函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)即方程y=f（x）=0的解；函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f（x）=g（x）的解.方程問題和函數(shù)問題大都可以相互轉(zhuǎn)化．

構(gòu)造函數(shù)解析式、列方程（組）是應(yīng)用函數(shù)方程思想的關(guān)鍵，中學(xué)階段，應(yīng)用函數(shù)思想時(shí)構(gòu)造的函數(shù)主要是低于四次的整式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等．應(yīng)用方程思想時(shí)列出的方程也大都是上述函數(shù)所對應(yīng)的方程式．

高考通常使用選擇題和填空題考查簡單應(yīng)用函數(shù)與方程思想的能力，使用解答題在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處深層次考查綜合應(yīng)用函數(shù)與方程思想的能力．運(yùn)用函數(shù)與方程思想可以處理與函數(shù)建模有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題，也可以處理許多不等式、數(shù)列、解幾和立幾問題．

1? 運(yùn)用函數(shù)與方程思想處理實(shí)際應(yīng)用問題

例1．某地區(qū)有三個(gè)工廠，其位置分別可表示為矩形ABCD 的頂點(diǎn)A，B 和CD的中點(diǎn)P 處（如圖1），現(xiàn)已知AB=20 km，CB =10 km，為處理三個(gè)工廠排出的污水，須在矩形ABCD 所在區(qū)域上（含邊界），且與兩點(diǎn)A，B等距的點(diǎn)O處建一污水處理工廠，然后再鋪設(shè)排污管道AO，BO和OP .假設(shè)排污的管道總長為y km．

評析：運(yùn)用函數(shù)與方程思想處理實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)都有一個(gè)建立函數(shù)模型的過程[ 2 ]，建模時(shí)首先要審清題意確定一個(gè)自變量，并用它來表示其它各個(gè)變量，寫出函數(shù)關(guān)系式后，要依題設(shè)確定出自變量的范圍．問題（Ⅱ）選用函數(shù)關(guān)系式時(shí)，通過對比，選出的是一個(gè)使問題變得比較簡單的關(guān)系式．

2? 運(yùn)用函數(shù)與方程思想處理數(shù)列問題

例2．已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差是? ? ? ? ?．

分析：奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都構(gòu)成公差為2d的等差數(shù)列，列出以等差數(shù)列的基本量為未知數(shù)的方程組，求公差可歸結(jié)為解方程組問題．

解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，據(jù)題意得：5a1+20d=155a1+25d=30解得d=3，填3．

評析：有關(guān)等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算問題大都可使用方程思想進(jìn)行處理．

評析：解決幾何圖形的動(dòng)態(tài)變化問題，可分析各個(gè)量在變化中的相互關(guān)系，以從中找出一個(gè)自變量，通過構(gòu)造新的函數(shù)以將問題化為函數(shù)的求值問題．

總之，在幾何解題過程中，大都是將問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，而在代數(shù)與解析幾何解題過程中，大都是將問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)、解方程或解不等式的問題.因而，函數(shù)與方程思想在解題中的運(yùn)用，代表著數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要轉(zhuǎn)化與化歸方向，是日常數(shù)學(xué)解題的通性方法，需要解題者備加關(guān)注，通過強(qiáng)化相關(guān)知識的應(yīng)用意識，以及對問題進(jìn)行化簡化歸的意識，不斷增強(qiáng)學(xué)生在處理相關(guān)問題方面的思維能力，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)[ 3 ]．

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王欽敏，余明芳．?dāng)?shù)學(xué)思維素養(yǎng)深度涵育：教學(xué)的進(jìn)路與方略[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020（6）：56-60．

［2］ 白雪松.以“函數(shù)與方程思想”為例談數(shù)學(xué)思想的教學(xué)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（7）：30-31．

［3］ 余明芳.數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的若干路徑與策略[J]．福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（10）：25-27．