共軛梯度最小二乘法和奇異值分解法識(shí)別移動(dòng)荷載對(duì)比研究

摘 要：【目的】移動(dòng)荷載識(shí)別（MFI）技術(shù)是通過(guò)采集橋梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)來(lái)識(shí)別橋上動(dòng)態(tài)車載時(shí)程的。由于車橋系統(tǒng)矩陣是不適定的，MFI需要求解這一典型結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第二類逆問(wèn)題?！痉椒ā勘狙芯客ㄟ^(guò)對(duì)比研究共軛梯度最小二乘（CGLS）法和奇異值分解（SVD）法識(shí)別移動(dòng)荷載的效果特征，總結(jié)CGLS法和SVD法識(shí)別移動(dòng)荷載的適用范圍。CGLS法為典型的迭代線搜索法，SVD法為直接正則化法，通過(guò)MATLAB軟件數(shù)值模擬對(duì)比CGLS法與SVD法識(shí)別移動(dòng)荷載的效果差異。【結(jié)果】CGLS法除上下橋時(shí)的誤差較大外，其他時(shí)段具有較好的參考價(jià)值，而SVD法在僅有單車軸在橋上時(shí)誤差小。【結(jié)論】CGLS法識(shí)別多軸荷載更具優(yōu)勢(shì)，SVD法能有效識(shí)別單軸荷載。

關(guān)鍵詞：移動(dòng)荷載識(shí)別；共軛梯度法；奇異值分解法

中圖分類號(hào)：TP391? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1003-5168（2023）08-0027-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2023.08.006

Comparative Study on Moving Force Identification by Conjugate

Gradient Least Squares and Singular Value Decomposition

CAO Yujie

（School of Civil Engineering and Communication，North China University of Water Resources and Electric Power，Zhengzhou 450045，China）

Abstract： [Purposes] Moving force identification obtains vehicle load time history by the dynamic response of the bridge. Since the vehicle-bridge system matrix is ill-posed， it is necessary to solve the typical second-class inverse problem of the structural dynamics. [Methods] In this study， the effect characteristics of conjugate gradient least squares method and singular value decomposition method in MFI are compared， and the applicable scope of CGLS method and SVD method in identifying movingforce is summarized.? CGLS method is a typical iterative line search method， and SVD method is a direct regularization method. CGLS method and SVD method are compared by MATLAB software. [Findings] CGLS method performs well except on getting into or out of the bridge; SVD method has small error when only single axle is on the bridge. [Conclusions] CGLS method has advantages in identifying multiaxial load， SVD method can effectively identify uniaxial load.

Keywords： MEI; CGLS;SVD

0 引言

車輛荷載是橋梁動(dòng)荷載的重要組成部分，研究真實(shí)車輛荷載信息對(duì)已有橋梁健康監(jiān)測(cè)和橋梁設(shè)計(jì)具有重要意義［1］。傳統(tǒng)停車稱重法不僅干擾正常交通，還要布設(shè)路面稱重裝置，該方法成本較高，容易對(duì)橋梁造成損壞。橋梁動(dòng)態(tài)稱重是將橋梁整體作為稱重工具，通過(guò)測(cè)量車輛過(guò)橋時(shí)橋梁動(dòng)力響應(yīng)來(lái)間接識(shí)別車重。該方法不用安裝稱重裝置，可避免對(duì)橋面鋪裝層造成破壞，通過(guò)在梁底部或支座附近安裝傳感器，不干擾交通，且成本低。移動(dòng)荷載識(shí)別（MFI）不同于僅能估測(cè)靜態(tài)車重的影響線類方法［2］，其能獲取車輛通過(guò)橋梁時(shí)的荷載動(dòng)態(tài)時(shí)程。

建立MFI基本數(shù)學(xué)模型的方法有時(shí)域法（TDM）、頻時(shí)域法、有限元法、狀態(tài)空間法等。在橋梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)不受噪聲干擾的前提下，采用TDM來(lái)識(shí)別移動(dòng)荷載時(shí)，能有效獲取動(dòng)荷載的時(shí)變特征，但當(dāng)響應(yīng)受到噪聲干擾時(shí)，使用TDM識(shí)別移動(dòng)荷載的結(jié)果受噪聲干擾嚴(yán)重［3］。

逆問(wèn)題具有不適定性是阻礙移動(dòng)荷載識(shí)別技術(shù)發(fā)展的難點(diǎn)。這是因?yàn)轫憫?yīng)中包含微小噪聲，所識(shí)別出的移動(dòng)荷載會(huì)產(chǎn)生誤差。為此，國(guó)內(nèi)外研究者提出一系列方法來(lái)抵抗不適定性，用于獲取高精度、高抗噪性的解。有以經(jīng)典Tikhonov正則化為基礎(chǔ)的正則化方法，如L1范數(shù)正則化法；以系數(shù)矩陣分解為基礎(chǔ)的算法，如奇異值分解法（SVD）和預(yù)處理最小二乘QR分解法；也有從解的表達(dá)入手的基函數(shù)法（BFM），這類方法更多考慮荷載先驗(yàn)信息，通過(guò)簡(jiǎn)化求解，最終識(shí)別精度受設(shè)置的基函數(shù)影響［4］。

采用不同的方法求解MFI，得到的識(shí)別結(jié)果有不同特征。目前，對(duì)不同類型求解方法來(lái)求解識(shí)別移動(dòng)荷載特點(diǎn)的對(duì)比分析較少。本研究使用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，對(duì)比基礎(chǔ)的CGLS法與奇異值分解法（SVD）、改進(jìn)截?cái)嗥娈愔捣纸夥ǎ∕TSVD）識(shí)別雙軸荷載的效果差異。在已知不同荷載先驗(yàn)信息的前提下，選擇合適的算法類型進(jìn)行求解。

1 移動(dòng)荷載識(shí)別理論基礎(chǔ)

本研究采用歐拉-伯努利簡(jiǎn)支梁為橋梁模型，如圖1所示。將二軸車簡(jiǎn)化為兩個(gè)保持恒定距離的時(shí)變力[f（t）]，這一恒定距離即為車軸距，兩個(gè)時(shí)變力以固定速度[c]沿直線運(yùn)動(dòng)。

采用TDM建立基本數(shù)學(xué)模型，移動(dòng)荷載作用下t時(shí)刻測(cè)點(diǎn)響應(yīng)[bt]的計(jì)算見(jiàn)式（1）。

[bt=0thgτ， t-τfτ] （1）

式中：[gt=ct]為t時(shí)刻荷載作用位置；[h（x，t）]為t時(shí)刻單位脈沖激勵(lì)在x處作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)。加速度響應(yīng)、彎矩響應(yīng)、位移響應(yīng)、應(yīng)變響應(yīng)都可用這種形式來(lái)表達(dá)。

響應(yīng)[b]在時(shí)間軸上，離散表示見(jiàn)式（2）。

[b=?t∑kj=1hgj?t，t-j?tfj?t? ? j=0，… ， k]

（2）

式中：k為時(shí)間區(qū)間（0， t］被等分的份數(shù)；[?t=t/k]為離散的小時(shí)間區(qū)間；[j?t]為第j個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)。

在時(shí)間區(qū)間[0，T]內(nèi)有m個(gè)采樣點(diǎn)，可建立m個(gè)線性方程，見(jiàn)式（3）。

[A1A2?Am×ft=b1b2?bm] （3）

線性方程組可表示為矩陣方程形式，見(jiàn)式（4）。

[Ax=b] （4）

式中：[A]為車橋系統(tǒng)矩陣，[A∈Rm×n]；b為橋梁響應(yīng)向量，[b∈Rm×1]；x為離散的移動(dòng)荷載向量，[x∈Rn×1]。

通過(guò)上述步驟，可將移動(dòng)荷載識(shí)別的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)化為線性方程組進(jìn)行求解。

2 共軛梯度法和系數(shù)矩陣分解法

2.1 共軛梯度最小二乘法

共軛梯度法屬Krylov子空間法。每一次迭代的搜索方向[d]或方程殘差向量[r]張成空間是一個(gè)Krylov子空間[Km]，殘差向量[r=b-Ax]。子空間[Km]的表達(dá)見(jiàn)式（5）。

[Km=span b，Ab，…， Am-1b]

[=span r0，r1，…， rm-1] （5）

[=span d0，d1，…， dm-1]

CGLS法求解移動(dòng)荷載識(shí)別方程[Ax=b]基本步驟［5］如下。

選定初始解向量[x0]，設(shè)置為0向量，殘差[rj=b-Axj]，搜索方向?yàn)閇dj]，初始搜索方向?yàn)閇d0=ATr0=ATb]，迭代次數(shù)[j=1，2，…]，直到解收斂才停止迭代。

每次迭代內(nèi)容如下。

①步長(zhǎng)更新。相關(guān)計(jì)算公式見(jiàn)式（6）至式（8）。

[αj=ATrj-122Adj-122]? ? ? ? ? ?（6）

[xj=xj-1+αjdj-1] （7）

[rj=rj-1+αjAdj-1] （8）

②方向更新。更新方法見(jiàn)式（9）。

[dj]=[ATrj+βjdj-1] （9）

其中，方向更新系數(shù)[βj=Arj22Arj-122]。

CG法識(shí)別移動(dòng)荷載的正則化參數(shù)為迭代次數(shù)，即由迭代次數(shù)來(lái)直接決定 CGLS 法的正則化效果。

2.2 奇異值分解法

系數(shù)矩陣分解法有QR分解法、SVD法等，在SVD法的基礎(chǔ)上，還有截?cái)嗥娈愔捣纸夥?、改進(jìn)截?cái)嗥娈愔捣纸夥ǎ∕TSVD）等。接下來(lái)將簡(jiǎn)述SVD法的基本步驟。

使用SVD法來(lái)識(shí)別移動(dòng)荷載時(shí)，先對(duì)系統(tǒng)矩陣[A∈Rm×n]進(jìn)行奇異值分解，見(jiàn)式（10）。

[A=UΣVT=∑ni=1uiσivTi] （10）

式中：[Σ=diag（σ1，σ2，…，σn）]為奇異值對(duì)角陣；[U=（u1，u2，…，um）]、[V=（v1，v2，…，vn）]為列正交矩陣，[UTU=I]，[VTV=I]。

將奇異值矩陣中奇異值從大到小排列，即[σ1≥σ2≥…≥σn]，其中[σn]為車橋系統(tǒng)矩陣A的第n個(gè)奇異值。[σ1σn]為系統(tǒng)矩陣A的條件數(shù)，條件數(shù)能體現(xiàn)系統(tǒng)矩陣病態(tài)性程度，條件數(shù)越低，則矩陣不適定性也越低，解的誤差范圍就越??；條件數(shù)越高，則矩陣不適定性也越高，解的誤差范圍就越大。

截?cái)嗥娈愔捣纸猓═SVD）法是在SVD法的基礎(chǔ)上，通過(guò)截?cái)嘞到y(tǒng)矩陣的小奇異值來(lái)降低系統(tǒng)矩陣的條件數(shù)，從而獲得更高精度的解［6］，提高移動(dòng)荷載的識(shí)別精度。

3 數(shù)值模擬

為了觀察CGLS算法、SVD算法的有效性和差異，進(jìn)行數(shù)值模擬試驗(yàn)。簡(jiǎn)支梁參考圖1所示的歐拉伯努利簡(jiǎn)支梁進(jìn)行搭建，只考慮豎向變形，假設(shè)橋梁變形在材料彈性范圍內(nèi)。橋梁參數(shù)設(shè)置如下，梁長(zhǎng)L=40 m、梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度密度[ρ]=12 000 kg/m、梁抗彎剛度EI=1.27914×[1011] N·[m2]。車輛參數(shù)設(shè)置如下，車輛車軸軸距為8 m、車速c=40 m/s。以1/4和1/2梁跨處的橋梁彎矩和1/4梁跨處豎向加速度響應(yīng)為輸入數(shù)據(jù)，噪聲水平為5%，采樣頻率為200 Hz，分析頻率為0～50 Hz。車輛荷載時(shí)間函數(shù)見(jiàn)式（11）［7］。

f1（t）=20［1+0.1sin（10[π]t）+0.05sin（40[π]t）］ kN （11）

f2（t）=20［1-0.1sin（10[π]t）+0.05sin（50[π]t）］ kN

1/2梁跨處彎矩響應(yīng)和加速度響應(yīng)如圖2所示。

將車輛移動(dòng)荷載離散向量[x]帶入識(shí)別移動(dòng)荷載的系統(tǒng)方程[Ax=b]的正過(guò)程中，求出理論橋梁響應(yīng)，在理論響應(yīng)信號(hào)中添加5%的噪聲來(lái)模擬實(shí)測(cè)響應(yīng)，將噪聲污染后的響應(yīng)[b]輸入到系統(tǒng)中進(jìn)行求解。

真實(shí)荷載與使用SVD法和CGLS法識(shí)別出的結(jié)果如圖3所示。在車輛上橋和車輛下橋階段，SVD法識(shí)別效果良好，幾乎與真實(shí)荷載的時(shí)程曲線完全符合，在僅有單車軸在橋上的時(shí)段內(nèi)能有效還原真實(shí)移動(dòng)荷載。與之相反的是，CGLS法在車輛上下橋時(shí)間段內(nèi)所識(shí)別到的荷載要明顯小于真實(shí)荷載，但在其他時(shí)間段，CGLS法識(shí)別結(jié)果仍保持在真實(shí)荷載附近，但起伏程度更大，如參考Tikhonov正則化法，對(duì)其解施加光滑約束，可提高其識(shí)別精度?；A(chǔ)SVD法在噪聲干擾下識(shí)別誤差很大，抗噪性差，這是由系統(tǒng)矩陣不適定性造成的。

4 結(jié)語(yǔ)

CGLS法在識(shí)別上下橋移動(dòng)荷載時(shí)誤差較大，其他時(shí)段的波動(dòng)幅度較小，對(duì)CGLS法的改良應(yīng)從加強(qiáng)對(duì)解的額外約束入手，使荷載時(shí)間曲線更加平滑。SVD法在車輛單軸在橋上時(shí)能有效還原真實(shí)荷載。SVD法對(duì)噪聲敏感，可從提高系統(tǒng)矩陣的抗不適定性入手進(jìn)行改良，如減小條件數(shù)，但要盡可能減少系統(tǒng)的信息損失。在識(shí)別單軸荷載時(shí)，可選擇SVD類法，在識(shí)別多軸荷載時(shí)，CGLS法更有優(yōu)勢(shì)。

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收稿日期：2022-12-15

作者簡(jiǎn)介：曹雨婕（1996—），女，碩士生，研究方向：橋梁移動(dòng)荷載識(shí)別。