新高考數(shù)學(xué)選擇題攻略

王佩其

有人說，數(shù)學(xué)高考得選擇題者得“天下”.此話雖然說得有點(diǎn)過頭，但也不無道理.總覽新高考數(shù)學(xué)卷，滿分150分，而選擇題卻占了60分，其中單選題共8題，占40分；多選題共4題，占20分.由此可見，在數(shù)學(xué)高考試題中，選擇題的確占有不可忽視的戰(zhàn)略地位，雖不敢說得選擇題者得“天下”，但可以說失選擇題者必失“天下”.那么，破解高考選擇題有哪些招數(shù)呢？下面就單選題與多選題兩個部分分別加以舉例說明，供同學(xué)們備考之用．

一、單選題的解題策略

數(shù)學(xué)單選題通常是由一個問句或一個不完整的句子和四個供考生選擇用的選擇支構(gòu)成，即“一干，四支”.考生只需從選擇四支中選擇一項(xiàng)作為答案，便完成了解答.解答單選題的基本策略是準(zhǔn)確、迅速.準(zhǔn)確是解答選擇題的先決條件，選擇題不設(shè)中間分，一步失誤，造成錯選，全題無分，所以應(yīng)仔細(xì)審題、深入分析、正確推演、謹(jǐn)防疏漏，確保準(zhǔn)確.那么，破解單選題有哪些基本招數(shù)呢？

1.直接法

所謂直接法，就是直接從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴(yán)密地推理和準(zhǔn)確地運(yùn)算，從而得出正確的結(jié)論，然后對照題目所給出的選項(xiàng)“對號入座”，作出相應(yīng)的選擇.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡單的題目常用直接法．

例1.若復(fù)數(shù)z滿足z-i≤1，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)Z所在區(qū)域的面積等于（）

A.π?B.2π?C.π2D.π4

解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足z-i≤1，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)Z是以（0，1）為圓心，以1為半徑的圓及圓的內(nèi)部區(qū)域，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)Z所在區(qū)域的面積等于π×12=π.故選A.

點(diǎn)評：一般來講，高考卷的前4到5道單選題本身就屬于容易題，用直接法求解往往更容易；另外，有些選擇題也許沒有間接解答的方法，你別無選擇；或者雖然存在間接解法，但你一下子找不到，那么就必須果斷地用直接解答的方法，以免欲速不達(dá).當(dāng)然要記住一個原則，用直接法也要盡可能的優(yōu)化你的思路，力爭小題不大做．

2.特例法

特例法就是從題干（或選項(xiàng)）出發(fā)，通過選取符合條件的特殊情況（特殊值、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊函數(shù)等）代入，將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置，進(jìn)行判斷．

例2.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+a2023=0，則有（）

A.a1+a2023>0B.a2+a2022<0

C.a3+a2021=0D.a1012=1012

解析：取滿足題意的特殊數(shù)列{an}，它的通項(xiàng)為an=0，于是a3+a2021=0.故選C．

點(diǎn)評：本題原本考查等差數(shù)列的性質(zhì)，可以推導(dǎo)出am+an=0（m+n=2024）的結(jié)論，但利用特殊數(shù)列法，可以“秒殺”答案．

3.排除法

排除法（淘汰法）是充分利用選擇題有且只有一個正確的選項(xiàng)這一特征，通過分析、推理、計(jì)算、判斷，排除不符合要求的選項(xiàng)，從而得出正確結(jié)論的一種方法．

例3.?函數(shù)f（x）=lnx·cosxx+sinx在［-π，0）∪（0，π］的圖像大致為（）

例4.?解析：由題意函數(shù)f（x）=lnx·cosxx+sinx，x∈［-π，0）∪（0，π］，則f（-x）=ln-x·cos（-x）-x+sin（-x）=-f（x），故f（x）=lnx·cosxx+sinx為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A錯誤；又因?yàn)閒（1）=f（-1）=0，fπ2=f-π2=0，可判斷B錯誤；又fπ3=lnπ3·12π3+32>0，f（π）=-lnππ<0，故C錯誤，只有D中圖像符合題意，故選D．

點(diǎn)評：本題要求根據(jù)給出的函數(shù)解析式選圖像，一般采用排除法，利用已知函數(shù)的奇偶性與圖像上的特殊點(diǎn)，來排除不滿足要求的選項(xiàng)，從而找到正確選項(xiàng)．

4.數(shù)形結(jié)合法

有些選擇題可通過命題條件中的函數(shù)關(guān)系或幾何意義，作出函數(shù)的圖像或幾何圖形，借助于圖像或圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì)等，綜合圖像的特征，得出結(jié)論．

例4.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=（cosθ，sinθ），OA-OB=1，則（）

A.OB的最小值為22

B.OB的最大值為2

C.OA·OB的最小值為1

D.OA·OB的最大值為2

[TPSX-25.TIF;%75%75;Z1，Y]

解析：由sin2θ+cos2θ=1，可得點(diǎn)A的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，根據(jù)向量減法的幾何意義，由OA-OB=1，可得點(diǎn)B的軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓，如圖所示.當(dāng)點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn)位置時，OB取最小值0，A選項(xiàng)錯誤；當(dāng)點(diǎn)B在直線OA與圓A的交點(diǎn)位置且不是原點(diǎn)時，OB取最大值2，B選項(xiàng)錯誤；根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，當(dāng)點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn)位置時，OB在OA方向上的投影取最小值0，此時OA·OB取最小值0，C選項(xiàng)錯誤，當(dāng)點(diǎn)B在直線OA與圓A的交點(diǎn)位置且不是原點(diǎn)時，OB在OA方向上的投影取最大值2，此時OA·OB取最大值2， D選項(xiàng)正確.故本題選D．

點(diǎn)評：本題屬于向量運(yùn)算問題，由于解答時揭示問題的幾何背景，借助于圖形直觀判斷，因而使計(jì)算量大大減少，達(dá)到了“小題小做”的目的．

5.估算法

選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無需過程.因此，有些題目，不必進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，只需對其數(shù)值特點(diǎn)和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?jì)，便能作出正確的判斷，這就是估算法.估算法往往可以減少運(yùn)算量，但是加強(qiáng)了思維的層次．

例5.已知過球面上A，B，C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，則球面面積是（）

A.169πB.83πC.4π D.649π

解析：球的半徑R不小于△ABC的外接圓半徑r=233，則

S球=4πR2≥4πr2=16π3>5π，只有D選項(xiàng)符合，故選D．

點(diǎn)評：估算法主要針對于計(jì)算型選擇題，把定量計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為定性選擇問題，從而達(dá)到大大減少計(jì)算量的目的．

6.換元法

換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡化.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化.換元法經(jīng)常用于三角函數(shù)的化簡求值、復(fù)合函數(shù)解析式的求解等．

例6.已知x>0，y>0，且2x+y=xy，則x+2y的最小值為（）

A.8 B.82 C.9 D.92

解析：由2x+y=xy，x>0，y>0得：2y+1x=1，

∴x+2y=（x+2y）2y+1x=5+2xy+2yx≥5+22xy·2yx=9（當(dāng)且僅當(dāng)2xy=2yx，即x=3，y=3時取等號），∴x+2y的最小值為9.故選C．

點(diǎn)評：換元法主要有常量代換和變量代換，要根據(jù)所求解問題的特征進(jìn)行合理代換.如本例中就是使用常數(shù)1的代換，將已知條件化為“2y+1x=1”，然后利用乘法運(yùn)算規(guī)律，任何式子與1的乘積等于本身，再將其展開，通過構(gòu)造基本不等式的形式求解最值．

7.邏輯分析法

邏輯分析法就是根據(jù)結(jié)論的要求，通過對題干和選擇支的關(guān)系進(jìn)行觀察分析、尋求充分條件，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而做出正確判斷的一種方法，它可分為定性分析法和定量分析法．

例7.記函數(shù)y1=f1（x），x∈D，函數(shù)y2=f2（x），x∈D，若對任意的x∈D，總有f2（x）≤f1（x）成立，則稱函數(shù)f1（x）包裹函數(shù)f2（x）.判斷如下兩個命題真假：

①函數(shù)f1（x）=kx包裹函數(shù)f2（x）=xcos x的充要條件是k≥1；

②若對于任意p>0，f1（x）-f2（x）

則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.①真②假 B.①假②真

C.①②全假 D.①②全真

解析：①因?yàn)楹瘮?shù)f1（x）=kx包裹函數(shù)f2（x）=xcos x，所以xcos x≤kxxcos x≤kxcos x≤k，又因?yàn)閏os x≤1，所以k≥1，

所以函數(shù)f1（x）=kx包裹函數(shù)f2（x）=xcos x的充要條件是k≥1，故①正確；

②假設(shè)f1（x）-f2（x）>0，令f1（x）-f2（x）=m>0，則當(dāng)p=m2時，f1（x）-f2（x）=m>m2=p，與題意中f1（x）-f2（x）

故本題選D．

點(diǎn)評：邏輯分析法主要用在充要條件的判斷，命題真假的判斷和新定義創(chuàng)新性問題中，對于某些正面解決比較困難的問題，還可采取“正難則反”的方法，以減少計(jì)算量．

8.構(gòu)造法

構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維，是綜合運(yùn)用各種知識和方法，依據(jù)問題給出的條件和結(jié)論給出的信息，把問題作適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚恚瑯?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模式，揭示問題的本質(zhì)，從而溝通解題思路的方法.常見構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造（割補(bǔ)）圖形等．

例8.若實(shí)數(shù)x，y，z分別滿足x2021=e，2021y=2022，2020z=2021，則x，y，z的大小關(guān)系為（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.y>x>z

解析：由已知得x=e12021，y=log20212022，z=20212020，

①設(shè)f（x）=lnxx，f′（x）=1-lnxx2，當(dāng)x∈（e，+∞）時，f′（x）<0，

所以f（x）=lnxx在（e，+∞）上單調(diào)遞減，因此f（2022）

即ln20212021>ln20222022，所以20222021>ln2022ln2021=log20212022=y.

又設(shè)h（x）=ex-x-1，h′（x）=ex-1，當(dāng)x∈（0，+∞）時，h′（x）>0，

所以h（x）=ex-x-1在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，因此h12021=e12021-12021-1>h（0）=0，所以e12021>12021+1=20222021，則x=e12021>20222021，所以x>y；

②設(shè)g（x）=ex（1-x）-1，g′（x）=-xex<0，當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）<0，g（x）在（0，1）上，單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（0，1）時，g（x）

綜上得z>x>y，故選C．

點(diǎn)評：本題屬于數(shù)值大小比較問題，需構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性來解決.這類問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的靈活運(yùn)用．

9.直覺判斷法

數(shù)學(xué)思維包括邏輯思維和直覺思維兩種形式，邏輯思維嚴(yán)格遵守概念和邏輯規(guī)則，而直覺思維不受固定的邏輯規(guī)則約束，直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)，大大節(jié)約思考時間，對于有些數(shù)學(xué)單選題，我們可以嘗試直覺判斷法快速解答．

例9.若（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，則a0+a1+a2+…+a7=（）

A.-1B.1C.0D.37

解析：憑直覺，系數(shù)取絕對值以后，其和會相當(dāng)大，選D.或者干脆把問題轉(zhuǎn)化為：已知（1+2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求a0+a1+a2+…+a7，這與原問題完全等價(jià)，此時令x=1得解，就可選出正確答案D．

點(diǎn)評：直覺判斷法的應(yīng)用，必須建立在邏輯思維的基礎(chǔ)上，它不是“盲選”，而是豐富的知識積累與解題經(jīng)驗(yàn)的“升華”．

10.等價(jià)轉(zhuǎn)化法

解題的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，能夠轉(zhuǎn)化下去就能夠解下去.至于怎樣轉(zhuǎn)化，要通過必要的訓(xùn)練，達(dá)到見識足、技能熟的境界.在解有關(guān)排列組合的應(yīng)用問題中這一點(diǎn)顯得尤其重要．

例10.已知平面上有10個點(diǎn)，且任何三點(diǎn)不共線.若把10個點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)連接起來形成線段，那么這些線段的交點(diǎn)（假設(shè)所有交點(diǎn)不重合）共有（）個．

A.210B.250C.240D.280

解析：注意到任何平面四邊形的對角線是線段，且它們只有一個交點(diǎn)，于是原問題等價(jià)于“平面上有10個點(diǎn)，且任何三點(diǎn)不共線，可組成多少個四邊形”，這樣問題就迎刃而解了，答案就是10個點(diǎn)中任取4個點(diǎn)的組合C410=10×9×8×71×2×3×4=210，故選A．

點(diǎn)評：本題若不加以轉(zhuǎn)化，則感覺“老虎吞天，無處下口”，而將問題轉(zhuǎn)化為四邊形個數(shù)問題，解題思路就十分明朗了.等價(jià)轉(zhuǎn)化就是要將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決，但必須注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性．

二、多選題的解題策略

多項(xiàng)選擇題，又稱多選題，新高考中的多選題是一種正確選項(xiàng)數(shù)多于1個少于（或等于）4個的選擇題題型.多選題的分值為5分，考生選出了一個或幾個正確答案，但沒有選出全部的，得2分；選錯一個得0分；全部選對得5分.多選題是選擇題的一種，解題時要認(rèn)真審題，忌諱題目沒有讀清楚就開始埋頭苦算，結(jié)果不但浪費(fèi)了大量的時間，還會被選項(xiàng)中的干擾項(xiàng)干擾導(dǎo)致做錯，結(jié)果事倍功半.對于沒有把握的選項(xiàng)可以根據(jù)自己的實(shí)際水平，只選一個確認(rèn)符合題意的答案，避免因?yàn)橐粋€錯誤的選項(xiàng)而導(dǎo)致整題丟分.能拿2分先拿兩分.多選題的常用方法與單選題的解法相似，主要直接法、特殊值檢驗(yàn)、選項(xiàng)代入法、排除法、數(shù)形結(jié)合法，正反互推法等．

例11.定義在R的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-3）=-f（x），當(dāng)x∈［0，3］時f（x）=x2-3x，則以下結(jié)論正確的有（）

A.f（x）的周期為6

B.f（x）的圖像關(guān)于32，0對稱

C.f（2023）=2

D.f（x）的圖像關(guān)于x=32對稱

解析：因?yàn)閒（x）滿足f（x-3）=-f（x），所以f（x-6）=-f（x-3）=f（x），故函數(shù)f（x）是周期為6的周期函數(shù)，故A選項(xiàng)正確；由于函數(shù)為R的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-3）=-f（x），所以f（x-3）=-f（x）=f（-x），所以根據(jù)周期性得f（x+3）=f（-x），所以fx+32=f32-x，所以f（x）的圖像關(guān)于x=32對稱，故B錯誤，D正確；對于C選項(xiàng)，結(jié)合周期性得f（2023）=f（336×7+1）=f（1）=-2，故C不正確.故本題選AD．

點(diǎn)評：本題采用了直接法，即直接利用已知條件推導(dǎo)結(jié)論，這是解答多選題最基本也是最常用的方法．

例12.已知a，b為正數(shù)，且a-b=1，則（）

A.a2+b2<1B.a3-b3>1

C.2log2a-log2b<2D.1b+b2a>1

解析：由于a-b=1，取b=1，a=2，代入四個選項(xiàng).對于A：a2+b2<1，左邊a2+b2=5>1故A錯誤；對于C，2log2a-log2b=2，故C錯誤.由于多選題至少有兩個選項(xiàng)為答案，故選BD．

點(diǎn)評：本題采用了排除法.根據(jù)多選題正確答案至少有2個的特點(diǎn)，當(dāng)排除兩個選項(xiàng)不選時，另兩個選項(xiàng)必選．

例13.已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足z·lnx=z·ey=1.則下列關(guān)系式中可能成立的是（）

A.x>y>zB.x>z>y C.z>x>y D.z>y>x

解析：設(shè)lnx=ey=1z=k，k>0，則x=ek，y=lnk，z=1k，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：

當(dāng)k=x1時，z>x>y；當(dāng)k=x2時，x>z>y；當(dāng)k=x3時，x>y>z；

故選ABC．

點(diǎn)評：本題采用了數(shù)形結(jié)合法，通過構(gòu)造函數(shù)，并畫出函數(shù)圖像，可以從圖中直接看出答案．

例14.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn).定義點(diǎn)P（x，y）的“友好點(diǎn)”為：P′xx2+y2，yx2+y2，現(xiàn)有下列命題，其中正確的有（）

A.若點(diǎn)A的“友好點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“友好點(diǎn)”一定是點(diǎn)A．

B.單位圓上的點(diǎn)的“友好點(diǎn)”一定在單位圓上．

C.若點(diǎn)A的“友好點(diǎn)”還是點(diǎn)A，則點(diǎn)A一定在單位圓上．

D.對任意點(diǎn)A，它的“友好點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則OA′ 的取值集合是{0，1} ．

解析：定義點(diǎn)P（x，y）的“友好點(diǎn)”為：P′xx2+y2，yx2+y2，即xx2+y22+yx2+y22=1，x≠0且y≠0．

對于A，取A（x，y），x≠0且y≠0，則點(diǎn)A的“友好點(diǎn)”點(diǎn)A′xx2+y2，yx2+y2，所以A′xx2+y2，yx2+y2的“友好點(diǎn)”是點(diǎn)A′xx2+y2，yx2+y2，故A錯誤；對于B，設(shè)單位圓上任意一點(diǎn)A（cos θ，sin θ），所以A的“友好點(diǎn)”點(diǎn)A′（cos θ，sin θ），所以A′（cos θ，sin θ）仍在在單位圓上，故B正確；對于C，取A（x，y），x≠0且y≠0，則點(diǎn)A的“友好點(diǎn)”點(diǎn)A′xx2+y2，yx2+y2，若A的“友好點(diǎn)”點(diǎn)為A，則x=xx2+y2

y=yx2+y2，故x2+y2=1，所以點(diǎn)A一定在單位圓上，故C正確；對于D，由“友好點(diǎn)”點(diǎn)的定義可知x≠0且y≠0，故OA′≠0，故D錯誤.故答案為BC．

點(diǎn)評：本題用了正反互推法，這種方法最適用于新定義型多選題，這類多選題一般有兩種形式：一是給出總的已知條件，判斷多種結(jié)論的真假；二是多種知識點(diǎn)的匯總考查，主要覆蓋考點(diǎn)功能.兩種多選題在處理上不同，前者需要扣住已知條件進(jìn)行分析，后者需要獨(dú)立利用知識逐項(xiàng)進(jìn)行判斷.利用正反互推法可以快速解決多選型問題．

這里必須提醒大家的是，做多選題時，必須仔細(xì)謹(jǐn)慎.一般可先選出最能保證正確的兩個選項(xiàng)，在有足夠的把握的前提下選擇第其它答案，以免選出錯誤選項(xiàng).只有這樣，才能保證該題目能夠得分.所以說要堅(jiān)持寧缺勿濫的原則，否則會得零分，得不償失．

最后再強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，做選擇題沒有固定的方法，只要能快速選出正確選項(xiàng)就是好辦法.在新高考數(shù)學(xué)選擇題中，70%的題目還是用直接法，不要每一個題目都用非常規(guī)方法來處理，那樣會弄巧成拙，錯漏百出，得不償失．

責(zé)任編輯徐國堅(jiān)