讓“模型思想”活起來
——以高年級“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)為例

浙江省杭州市臨平區(qū)第一小學(xué) 孫麗卿

“模型思想”是數(shù)學(xué)十大核心概念之一，即是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。從學(xué)生認(rèn)識數(shù)字起，模型思想就已蘊(yùn)含其中，并貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。

模型思想的培養(yǎng)需要以現(xiàn)實(shí)問題為載體，面對實(shí)際問題，分析要點(diǎn)，把握規(guī)律。人教版數(shù)學(xué)教材中的“數(shù)學(xué)廣角”內(nèi)容正是來源于實(shí)際生活，每項具體內(nèi)容都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想。其中模型思想的滲透集中體現(xiàn)在高年級“數(shù)學(xué)廣角”的學(xué)習(xí)中。

一、琢磨：分析問題與教材

（一）剖析問題

1.就題論題，難尋模型蹤跡

以“雞兔同籠”一課的教學(xué)為例，教學(xué)后，筆者統(tǒng)計了47 名學(xué)生完成不同題型的正確率（見表1）。

表1 “雞兔同籠”相關(guān)問題正確率

從學(xué)生答題情況可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于“雞兔同籠問題”僅停留在“1 頭2 腳和4 腳”的模型層面，沒有把握問題的結(jié)構(gòu)特征，問題情境的變化對學(xué)生解題造成了嚴(yán)重干擾。

數(shù)學(xué)模型是解決某類數(shù)學(xué)問題的一般方法或公式。數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容往往安排某一情境問題作為例題，教師圍繞例題展開教學(xué)，學(xué)生通過例題學(xué)習(xí)解決問題的方法。學(xué)生對“烙餅問題”“雞兔同籠問題”“植樹問題”“找次品問題”“鴿巢問題”等名稱耳熟能詳，但問題也就此暴露了出來。學(xué)生只會解決“雞和兔同籠”“路旁植幾棵樹”等與例題相似情境的問題，教師一旦改變問題情境，他們就無從下手。

2.只知公式，不解模型出處

以“烙餅問題”為例，學(xué)生在完成該類題時錯誤率較高。

題目：一個平底鍋每次能烙3 張餅，兩面都要烙，每面需3 分鐘，媽媽烙7 張餅，至少需要多少分鐘？

答案：7×3=21 分鐘。

學(xué)生為何會用“7×3=21 分鐘”，交流中他們給出的依據(jù)是課堂上得出過公式：烙餅所需最少時間=餅的張數(shù)×烙一面的時間。該公式的確是探究烙餅問題后得到的公式，然而其只有在“平底鍋每次只能烙2 張餅”的條件下適用。學(xué)生會有這樣的“誤解”，究其原因是學(xué)生對公式不夠理解，沒有真正理清建構(gòu)模型的來龍去脈，只是生硬地套用公式模型解題。

（二）發(fā)掘教材

“數(shù)學(xué)廣角”的相關(guān)內(nèi)容來源于實(shí)際生活，除了包含知識技能外，更蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，模型思想是其中重要的數(shù)學(xué)思想之一。因此，發(fā)掘每個具體內(nèi)容中隱藏著怎樣的“模”，需要幫助學(xué)生構(gòu)建怎樣的“?！保悄Ｐ退枷虢虒W(xué)的本原性問題?；趯σ陨蠁栴}的思考，筆者在關(guān)注高年級教材“數(shù)學(xué)廣角”中所編排內(nèi)容的同時，著重分析了題型的結(jié)構(gòu)特征，把握解題的基礎(chǔ)模型（見表2）。

表2 “數(shù)學(xué)廣角”中的題型結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)模型

二、建模：制訂策略并實(shí)踐

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)是一個生動、深刻的過程，學(xué)生對模型思想的感悟需要自己經(jīng)歷建模的過程，從現(xiàn)實(shí)世界中找到原型后逐漸剝離現(xiàn)實(shí)問題中的非數(shù)學(xué)本質(zhì)，最終抽象出數(shù)學(xué)模型。

根據(jù)對“數(shù)學(xué)廣角”中學(xué)生模型運(yùn)用的錯題展現(xiàn)與分析，立足課堂教學(xué)實(shí)際，筆者制訂了以下策略（見圖1）。

圖1

（一）提升識模水平，奠定用?；A(chǔ)

具備模型思想的目的是能用模型解決一類問題。而數(shù)學(xué)問題的理解應(yīng)首先著眼于問題的整體結(jié)構(gòu)，解題者需要在整體上對所解決問題的結(jié)構(gòu)有一個基本的認(rèn)識，而后才能更好地把握局部，不至于在細(xì)節(jié)方面迷失方向，出現(xiàn)“只見樹木，不見森林”的現(xiàn)象。

1.設(shè)計問題鏈，識別原型特征

問題是教學(xué)的核心，是激發(fā)學(xué)生思考的基礎(chǔ)。所謂“問題鏈”，是指由多個能引領(lǐng)學(xué)生自主探究、深度思考的問題構(gòu)成的問題序列組合。“問題鏈”并非幾個簡單問題的堆砌，而是需要根據(jù)教學(xué)的核心內(nèi)容和目標(biāo)精心設(shè)計，形成具有目的性、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的系統(tǒng)化問題組。

“數(shù)學(xué)廣角”中的問題往往以某一種經(jīng)典情境為例題。學(xué)生學(xué)會例題的解題方法，并不代表有能力解決同類問題。單個例題是不利于學(xué)生識別題型結(jié)構(gòu)特征的，因此在完成例題教學(xué)后，教師要設(shè)計幾個問題組成問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生思考并歸納出問題的結(jié)構(gòu)特征，從而在解決問題時能快速識別其屬于哪一類模型問題。

如在教學(xué)“雞兔同籠”例題后，教師設(shè)計了以下問題鏈啟發(fā)學(xué)生思考：（1）生活中很少把雞和兔關(guān)在一起數(shù)它們的頭和腳，那為什么這道數(shù)學(xué)題能流傳至今？（2）這幾個問題和“雞兔同籠”有什么關(guān)聯(lián)？（3）如何轉(zhuǎn)化成怪雞和怪兔同籠的數(shù)學(xué)問題？（4）“雞兔同籠”問題到底是一類怎樣的問題？

在學(xué)生初步能用假設(shè)法解決“雞兔同籠”的問題后，教師提出問題1，學(xué)生對該問題只有模糊的感覺，但不能清晰地表達(dá)想法。教師提議帶著這個問題研究“龜鶴問題”“摩托車和自行車輪子”問題。而后提出問題2，學(xué)生對比發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”不只是代表著雞和兔同籠的問題，有很多類似的問題都可以看成是“雞兔同籠”問題。繼續(xù)研究“5 元和10 元”問題，提出問題3，讓學(xué)生比較猜想后認(rèn)識到“5 元可以看成有5 只腳的怪雞，10 元可看成有10 只腳的怪兔，總錢數(shù)就是怪雞和怪兔的總腳數(shù)”。最后提出問題4，學(xué)生總結(jié)感受，歸納“雞兔同籠”問題基本題型的結(jié)構(gòu)特征。

上述教學(xué)中的4 次追問有著不同的層次與目標(biāo)，組合成一個有效的問題鏈。第一次針對“原生態(tài)”的問題發(fā)問，作為識模教學(xué)的起點(diǎn)；第二次通過類似問題的對比發(fā)現(xiàn)，初步明確問題的結(jié)構(gòu)、模型，是識模教學(xué)的初探；第三次探究如何將同類問題轉(zhuǎn)化為問題的原型，可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)完整的模型建構(gòu)，是識模教學(xué)的強(qiáng)化；第四次從數(shù)學(xué)視角抽象題目的原型特征，提升了學(xué)生解決同類問題時識別題目結(jié)構(gòu)特征的能力，促使其用正確的解題模型解決問題。

2.經(jīng)歷反建模，拓展模型外延

從具體情境抽象出數(shù)學(xué)模型的過程是建模的過程，那么將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于更加廣泛的實(shí)際情境的過程，就可以稱為“反建模”的過程。運(yùn)用“反建?！钡倪^程，可以幫助學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)模型不只局限于一個問題，而應(yīng)該為解決一類問題提供思路與方法。

如“鴿巢問題”主要蘊(yùn)含著“抽屜原理”，構(gòu)建“抽屜原理”的普通模型與生活問題的聯(lián)系是難點(diǎn)。因此在教學(xué)的過程中，必須讓學(xué)生弄清實(shí)際問題與“抽屜原理”之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)不同情境下問題的本質(zhì)。教師可以在學(xué)生學(xué)習(xí)例題后，運(yùn)用方法解決問題前，給出幾個不同的情境：

（1）一個小組有15 個學(xué)生，至少有2 個學(xué)生出生在同一月份。

（2）一個箱子里有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球若干個，一次摸出7 個，至少有3 個小球的顏色相同。

（3）一副撲克牌中（去掉大、小王），任意拿10 張牌，至少有3 張牌的花色相同。

（4）張三玩擲骰子的游戲，要保證擲出的點(diǎn)數(shù)至少有4 次相同，他至少要擲19 次。

（5）一個九邊形的每條邊分別涂上紅、黃兩種顏色，無論怎么涂，至少有5 條邊是同一種顏色。

思考：在以上題目中，（ ）相當(dāng)于“鴿”，（ ）相當(dāng)于“巢”。

“鴿巢問題”可以存在于很多實(shí)際情境中，而能否將這個具體問題和“鴿巢問題”聯(lián)系起來，能否找到具體情境和“鴿巢問題”的“一般化模型”之間的內(nèi)在聯(lián)系，是影響用模的關(guān)鍵。學(xué)生往往容易理解“顯性”的問題情境，很難理解“隱性”問題情境。通過接觸多種情境，學(xué)生經(jīng)歷反建模的過程，打破學(xué)生“巢”一定是放東西的物體這一思維定式，從中概括出“鴿巢問題”結(jié)構(gòu)上的共性特征，感悟此類問題中總是隱藏著“鴿”與“巢”，拓展數(shù)學(xué)模型的問題外延，為利用模型解決問題奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

（二）經(jīng)歷建模過程，找準(zhǔn)用模方式

1.教學(xué)材料整合重組，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化

在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想，要讓學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化。教材中提供的教學(xué)材料是有限的，不利于學(xué)生從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型。教師可以對教學(xué)材料進(jìn)行整合重組，生成不同的學(xué)習(xí)資源，從知識整體出發(fā)，采取以簡馭繁的教學(xué)思路，幫助學(xué)生在建模學(xué)習(xí)中從現(xiàn)實(shí)原型抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而掌握數(shù)量關(guān)系主干。

如人教版數(shù)學(xué)教材的“植樹問題”中將四種題型按“兩端都栽”“兩端都不栽”“只栽一端”“在封閉圖形上栽樹”的順序編排，教師也往往會按照該順序進(jìn)行教學(xué)，分類比較討論歸納植樹棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系，然后進(jìn)行練習(xí)與鞏固。這樣的建模是浮于表面的，缺少對數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)化思考。

“植樹問題”的數(shù)學(xué)思想是“一一對應(yīng)”，這也是構(gòu)建“植樹問題”數(shù)學(xué)模型的重要基礎(chǔ)。教學(xué)時教師可以將教材題目進(jìn)行整合重組，并新增材料以完整建模過程。（見表3）

表3 “植樹問題”的整合重組

在課堂教學(xué)中，教師沒有利用情境直接引出“植樹問題”，而是新增了兩個數(shù)學(xué)味更明顯的教學(xué)材料，即三角形和正方形的有序排列，有直線排列，也有封閉排列。這樣的整合，既隱含了“植樹”的不同類型，又蘊(yùn)含著“對應(yīng)思想”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較和思考，受到暗示，有所感悟，為即將展開的探究做好了鋪墊。

新授環(huán)節(jié)則對教材例題進(jìn)行了重組編排，首先探究“只栽一端”的模型。通過畫圖，可以發(fā)現(xiàn)“只栽一端”的情況是剛好是“一一對應(yīng)”，即一棵樹對應(yīng)一個間隔?！皟啥硕荚浴迸c“兩端都不栽”存在棵樹多或間隔數(shù)多的情況，并不是正好的“一一對應(yīng)”。因此調(diào)整后，學(xué)生通過“只栽一端”重點(diǎn)發(fā)現(xiàn)理解“一一對應(yīng)”，有利于突破“+1”“-1”的知識難點(diǎn)，使數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)更加清晰。

2.表征方式層層遞進(jìn)，實(shí)現(xiàn)符號化

學(xué)生在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中主要運(yùn)用了符號表征、列表表征和圖解表征等表征方式，而數(shù)學(xué)模型最終又要以符號的形式固定下來。因此，在學(xué)生的認(rèn)知過程中需要建立起一種統(tǒng)攝性、符號化的具有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征的 “模型”載體，通過這樣的具有“模型”功能的載體，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象。然而符號模型的建立不是一蹴而就的，需要建立在直觀的表征方式的基礎(chǔ)上，逐步抽象概括，這就要求教師在教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生將表征方式逐步進(jìn)化，最終數(shù)學(xué)模型的建立便會水到渠成。

如探究“烙餅問題”時，教材中以“烙餅圖”表征模型（見圖3）來展示找到烙3 張餅的最優(yōu)方法。直觀圖表征貼近問題原型，可作為第一層表征模型方式，幫助學(xué)生形象地感知模型。第二層表征模型可以利用簡化圖，即用簡潔的文字和數(shù)字表示烙餅過程，摒棄外在的情境圖示，讓學(xué)生理解烙餅問題的最優(yōu)方法是“每次烙都盡可能放滿，不要有空位”，對模型進(jìn)行初次抽象。接下來利用簡化圖的表征方式探究烙4~7 張餅最少需要的時間，通過表格數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號表征烙餅問題最少需要時間的公式，最終得到具有普遍適用性的數(shù)學(xué)模型。

教師可以通過“直觀圖表征—簡化圖表征—符號式表征”層層遞進(jìn)的“說理”方式，讓學(xué)生經(jīng)歷將具體問題不斷“數(shù)學(xué)化”和“符號化”的過程，繼而順理成章地得出“烙餅問題”的一般性數(shù)學(xué)模型。這樣的過程是具有靈活性的，教學(xué)過程中，學(xué)生思考問題時會采用多種表征方式，教師需要從中厘清層次關(guān)系，有梯度地進(jìn)行展示研討，引導(dǎo)學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的思考模式，深刻體悟模型思想。

三、“著魔”：發(fā)展能力促興趣

通過上述教學(xué)策略的實(shí)施，實(shí)現(xiàn)“模型思想”真實(shí)地滲透進(jìn)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對“模型”產(chǎn)生好奇，從而能主動地構(gòu)想模型、建立模型、運(yùn)用模型。“數(shù)學(xué)廣角”的學(xué)習(xí)內(nèi)容具有極強(qiáng)的趣味性、探究性，應(yīng)讓學(xué)生充分發(fā)揮其主觀能動性，如此學(xué)生才會沉迷其中。