菱形的“尋根之旅”

文／范志群

中考以菱形為背景的題目層出不窮，這類題往往題型復(fù)雜，有一定的難度。但是，當(dāng)我們逐層剖析，追根溯源時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)這些題目其實(shí)就是考查菱形的基本性質(zhì)和判定方法，歸根到底，還是我們教材中的基本知識(shí)和基本方法的具體應(yīng)用。下面，讓我們一起踏上菱形的“尋根之旅”。

【中考鏈接】如圖1，將矩形紙片ABCD（AD＞AB）折疊，使點(diǎn)C 剛好落在線段AD上的G 點(diǎn)，且折痕分別與邊BC、AD 相交。設(shè)折疊后點(diǎn)C、D 的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H，折痕分別與邊BC、AD相交于點(diǎn)E、F。

圖1

（1）判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）若AB=3，BC=9，求線段CE 的取值范圍。

【解析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)、三角形全等，可證得四邊形CEGF是菱形；

（2）求CE 的取值范圍，我們可以轉(zhuǎn)化為求CE的最大值和最小值。

如圖2，當(dāng)點(diǎn)F 與點(diǎn)D 重合時(shí)，四邊形CEGF 是正方形，此時(shí)CE 最小，且CE=CD=3。

圖2

如 圖3，當(dāng) 點(diǎn)G 與 點(diǎn)A 重 合 時(shí)，CE最大。

圖3

設(shè)CE=x，則BE=9-x。

由（1）知AE=CE=x，

由勾股定理得AB2+BE2=AE2，即

32+（9-x）2=x2，得x=5。

所以線段CE的取值范圍為3≤x≤5。

本題第（1）問對同學(xué)們來說應(yīng)該是“熟臉”；對于第（2）問，有的同學(xué)被迷惑住了，不知如何入手。第（2）問看似是個(gè)新題，實(shí)際上卻出自我們的教材。下面，我們一起來探尋它的“根”在哪里。

我們一起回顧一下蘇科版八（下）數(shù)學(xué)教材93 頁第15 題：由兩個(gè)等寬的矩形疊合而得到的四邊形ABCD 是菱形嗎？證明你的結(jié)論。（圖略）

該問題不正是中考題第（1）問的原型嗎？如果緊接著追問：此時(shí)的菱形邊長什么情況下最大？什么情況下最短？這個(gè)追問不就是這道中考題的第（2）問——求菱形邊長的取值范圍嗎？

【歸納】解決翻折中的問題時(shí)，我們常常會(huì)找相等的線段，利用勾股定理，設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建方程。教材是我們學(xué)習(xí)知識(shí)的“根源”，每年都有大量的中考題來源于教材。我們要學(xué)會(huì)細(xì)心觀察，精心分析，才能“追根溯源”，使問題迎刃而解。