一類具有時(shí)滯的營(yíng)養(yǎng)-微生物擴(kuò)散模型的Hopf分支研究①

王雅迪， 袁海龍，2

1.陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，西安 710021；2.西安交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710049

近年來,許多學(xué)者都非常關(guān)注海洋沉積物中生物化學(xué)反應(yīng)現(xiàn)象的研究.為探究出系統(tǒng)的一些典型動(dòng)力學(xué)行為,文獻(xiàn)[1]提出了關(guān)于海洋沉積物的如下營(yíng)養(yǎng)-微生物模型:

(1)

為了書寫方便,作無量綱變換,令

得到簡(jiǎn)化后的系統(tǒng)

(2)

其中u和v分別表示細(xì)菌和營(yíng)養(yǎng)物的生物量濃度.對(duì)系統(tǒng)(2)加入擴(kuò)散項(xiàng)后考慮如下反應(yīng)擴(kuò)散模型:

(3)

對(duì)于系統(tǒng)(3),文獻(xiàn)[1]主要研究了其Turing模式,發(fā)現(xiàn)由于Turing不穩(wěn)定導(dǎo)致物種的異質(zhì)分布現(xiàn)象,找到了非平凡平衡點(diǎn)失穩(wěn)的條件;文獻(xiàn)[2]利用空間分解定理和隱函數(shù)定理研究了系統(tǒng)(3)的穩(wěn)態(tài)分支,并詳細(xì)討論了Hopf分支的存在性與穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[3]研究了Turing不穩(wěn)定性、非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性,并利用分支理論研究了系統(tǒng)(3)的局部和全局分支結(jié)構(gòu).

為了反映出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為不僅受當(dāng)前狀態(tài)的影響,還依賴于過去某一時(shí)刻的狀態(tài),眾多學(xué)者圍繞時(shí)滯微分方程進(jìn)行了研究,取得了許多豐富且有意義的成果[4-12].例如,文獻(xiàn)[4]研究了時(shí)滯效應(yīng)對(duì)一類具有HollingⅡ功能反應(yīng)的捕食食餌模型的影響,結(jié)果表明,當(dāng)時(shí)滯參數(shù)較大時(shí),系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出穩(wěn)定的振蕩行為;文獻(xiàn)[5]的研究結(jié)果顯示,當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)過某些穩(wěn)定性開關(guān)后,平衡點(diǎn)會(huì)由穩(wěn)定變成不穩(wěn)定,并且當(dāng)時(shí)滯參數(shù)取某些臨界值時(shí),系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生Hopf分支;文獻(xiàn)[6]證明了系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)在時(shí)滯小于某個(gè)臨界值時(shí)是穩(wěn)定的,而當(dāng)時(shí)滯超過該臨界值時(shí),正平衡點(diǎn)變得不穩(wěn)定;文獻(xiàn)[7]在給模型引入兩個(gè)不同時(shí)滯的條件下,研究了系統(tǒng)唯一正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性;文獻(xiàn)[8]考慮了在Dirichlet邊界條件下時(shí)滯效應(yīng)對(duì)一類種群模型的影響;文獻(xiàn)[9]建立了一個(gè)Wolbachia在蚊子種群中的傳播模型,研究了時(shí)滯對(duì)Wolbachia傳播的影響;文獻(xiàn)[10]利用Mawhin連續(xù)定理和微分不等式研究了一類帶有離散型時(shí)滯的Lotka-Volterra食餌-捕食者模型存在8個(gè)正周期解的問題;對(duì)于腫瘤-免疫動(dòng)力學(xué)模型,文獻(xiàn)[11]研究了免疫激發(fā)分布時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性態(tài)的影響,文獻(xiàn)[12]則發(fā)現(xiàn)分布時(shí)滯的引入可能導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生周期振蕩現(xiàn)象,進(jìn)而解釋腫瘤的復(fù)發(fā)現(xiàn)象.

文獻(xiàn)[13]在系統(tǒng)(3)的基礎(chǔ)上考慮給反應(yīng)過程中的營(yíng)養(yǎng)物生物量濃度引入時(shí)滯,研究了系統(tǒng)的許多動(dòng)力學(xué)行為,例如平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、Turing不穩(wěn)定性、Hopf分支以及Hopf-Hopf分支.

事實(shí)上,在細(xì)菌和營(yíng)養(yǎng)物這兩類物種互相作用的過程中,時(shí)滯效應(yīng)的存在會(huì)影響細(xì)菌和營(yíng)養(yǎng)物的生物量濃度變化.因此,基于上述分析,本文在系統(tǒng)(3)的基礎(chǔ)上考慮如下模型:

(4)

其中,時(shí)滯τ代表細(xì)菌的成熟期,指細(xì)菌進(jìn)入環(huán)境后需經(jīng)歷τ單位的時(shí)間才能達(dá)到成熟進(jìn)而完成繁殖增長(zhǎng).對(duì)于系統(tǒng)(4),本文分別對(duì)常微分系統(tǒng)和偏微分系統(tǒng)研究了時(shí)滯對(duì)正常數(shù)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響,以及在正常數(shù)平衡點(diǎn)處Hopf分支產(chǎn)生的條件,并計(jì)算了分支周期解的穩(wěn)定性和分支方向.結(jié)果表明,當(dāng)時(shí)滯τ在經(jīng)過某一臨界值時(shí),系統(tǒng)會(huì)由穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài),并產(chǎn)生Hopf分支.文中分別用N+和R+表示非負(fù)整數(shù)集和正實(shí)數(shù)集.

本文的結(jié)構(gòu)如下.第一部分主要討論帶時(shí)滯參數(shù)的常微分系統(tǒng)和偏微分系統(tǒng)正常數(shù)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及Hopf分支的存在性.第二部分討論Hopf分支的方向和分支周期解的穩(wěn)定性.第三部分進(jìn)行數(shù)值模擬,驗(yàn)證結(jié)論.

1 正常數(shù)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

1.1 帶時(shí)滯的常微分系統(tǒng)

本節(jié)考慮如下帶有時(shí)滯參數(shù)的常微分系統(tǒng):

(5)

易知系統(tǒng)(5)存在正常數(shù)平衡點(diǎn)(u*,v*)的充要條件為(u*)2+(1-b)u*+K=0,因此可知:

根據(jù)文獻(xiàn)[2]可知,當(dāng)τ=0,且系統(tǒng)(5)滿足條件

(6)

其中

u=u(t)uτ=u(t-τ)v=v(t)

根據(jù)Taylor展開式,系統(tǒng)(6)在(0,0)處的線性化系統(tǒng)是

(7)

系統(tǒng)(7)的特征方程為

λ2+A0λ+Be-λτ+C0=0

(8)

其中

若λ=iω(ω>0)是特征方程(8)的純虛根,將其代入,可得

(9)

則有

(10)

其中

(11)

將ω0代入(9)式,計(jì)算可得

(12)

下面驗(yàn)證橫截條件.令

對(duì)其積分后代入ω=ω0,可得

因此,當(dāng)ω=ω0時(shí)橫截條件成立,可得定理1:

1.2 帶時(shí)滯的偏微分系統(tǒng)

本節(jié)研究如下帶有時(shí)滯參數(shù)的偏微分系統(tǒng),為了簡(jiǎn)化后期計(jì)算和著重探討時(shí)滯因素對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,此時(shí)考慮空間域Ω=(0,lπ)的一維簡(jiǎn)單情形,其中l(wèi)∈R+:

(13)

與1.1節(jié)類似,對(duì)系統(tǒng)(13)在平衡點(diǎn)(u*,v*)處做平移變換后,可以寫成下面的抽象微分方程形式:

(14)

其中定義X=C([0,lπ],R2),dΔ=(d1Δ,d2Δ),以及

dom(dΔ)={(u,v)T:u,v∈C2([0,lπ],R);ux,vx=0;x=0,lπ}

已知

對(duì)于φ=(φ1,φ2)T∈C([-τ,0],X),有

以及

則系統(tǒng)(14)在(0,0)處附近的線性化系統(tǒng)為

(15)

線性系統(tǒng)(15)的特征方程等價(jià)于

λy-dΔy-L(eλy)=0y∈dom(dΔ)y≠0

(16)

因此,方程(16)的所有特征根由以下特征方程給出:

λ2+Anλ+Be-λτ+Cn=0n=0,1,2,…

(17)

其中

若λ=±iω(ω>0)是特征方程(17)的一對(duì)純虛根,則有

(18)

化簡(jiǎn)可得

(19)

其中

(20)

(21)

對(duì)于0≤n≤N0,方程(19)有正根ωn,滿足

(22)

因此,可以確定τ的表達(dá)式為

(23)

其中

(24)

故此時(shí)方程(17)存在一對(duì)純虛特征根±iωn.

證對(duì)特征方程(17)兩邊同時(shí)關(guān)于τ求導(dǎo),則有

(25)

(26)

由于

以及

故由(26)式,有

因此橫截條件成立.證畢.

證由(22)式變形,可得

即有

2 Hopf分支的方向和分支周期解的穩(wěn)定性

(27)

其中對(duì)于φ∈C([-1,0],X),有

G(φ,μ)=μdΔφ(0)+μL0(φ)+(μ+τ0)F0(φ)

系統(tǒng)(14)在(0,0)處的線性化系統(tǒng)是

(28)

由第二節(jié)知,±iω0τ0是線性化系統(tǒng)(28)的一對(duì)純虛特征值.根據(jù)Riesz表示定理,存在一個(gè)2×2的有界變差函數(shù)矩陣η(θ,μ)(θ∈[-1,0]),滿足以下形式:

(29)

其中

接下來定義算子A(0)和A*分別為

(30)

其中φ(θ)∈C1([-1,0],R2),ψ(s)∈C1([0,1],(R2)*).

對(duì)于u=(u1,u2),v=(v1,v2)∈X=C([0,lπ],R2),定義內(nèi)積為

此外,對(duì)于φ(θ)∈C1([-1,0],R2)和ψ(s)∈C1([0,1],(R2)*),引入如下雙線性型內(nèi)積:

經(jīng)驗(yàn)證可知,±iω0τ0是算子A(0)和A*的特征值,設(shè)q(θ)是算子A(0)關(guān)于特征值iω0τ0的特征向量,q*(s)是算子A*關(guān)于特征值-iω0τ0的特征向量,則根據(jù)算子A(0)和A*的定義可得,q(θ)和q*(s)的形式分別為

q(θ)=(q1,q2)Teiω0τ0θθ∈[-1,0]

和

再根據(jù)(30)式,計(jì)算可得

(31)

其中

(32)

根據(jù)G(φ,μ)的表達(dá)式可知G(φ,0)=τ0F0(φ)=τ0(G1,G2)T,其中

其中O(4)=O(‖(u,v)‖4).

由(32)-(34)式可得

(35)

其中

I為單位矩陣,通過鏈?zhǔn)椒▌t

可得

H20=[2iω0τ0-A(0)]W20H11=-A(0)W11H02=[-2iω0τ0-A(0)]W02

(36)

當(dāng)θ∈[-1,0)時(shí),由(35)式可得

則有

(37)

結(jié)合(36)和(37)式得到如下微分方程

(38)

可得方程(38)的解為

當(dāng)θ=0時(shí),由(36)式和

可得

其中

基于上述分析,可以計(jì)算出如下用于判斷Hopf分支方向和分支周期解穩(wěn)定性的值:

由此可得出定理3:

定理3對(duì)于系統(tǒng)(13),有如下結(jié)論:

(i)μ2確定Hopf分支的方向,當(dāng)μ2>0(μ2<0)時(shí),分支方向是超臨界的(次臨界的);

(ii)β2確定分支周期解的穩(wěn)定性,當(dāng)β2<0時(shí),分支周期解是漸近穩(wěn)定的,當(dāng)β2>0時(shí),分支周期解是不穩(wěn)定的;

(iii)T2確定分支周期解的周期,當(dāng)T2>0時(shí),周期增大,當(dāng)T2<0時(shí),周期減少.

3 數(shù)值模擬

本節(jié)利用MATLAB軟件給出具體的數(shù)值實(shí)例,以補(bǔ)充驗(yàn)證前面給出的理論結(jié)果.

圖1 正平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定,此時(shí)參數(shù)且初值取(u0,v0)=(1.57,1.31)

圖2 系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán),此時(shí)參數(shù)且初值取(u0,v0)=(1.57,1.31)

圖3 正平衡點(diǎn)不穩(wěn)定,此時(shí)參數(shù)且初值取(u0,v0)=(1.57,1.31)

圖4 系統(tǒng)分支產(chǎn)生的空間齊次周期解,此時(shí)參數(shù)且初值取u0(x)=u*+0.65cos(5x),v0(x)=v*-0.65cos(5x)