以“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué)促“減負(fù)增效”學(xué)數(shù)學(xué)

【摘 要】“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué)是通過教師“四精（精打細(xì)算、精挑細(xì)選、精耕細(xì)作、精益求精）”、學(xué)生“兩主（積極主動(dòng)學(xué)、自主選擇學(xué)）”，取得“兩活（學(xué)習(xí)方法活、思維創(chuàng)新活）兩實(shí)（學(xué)業(yè)基礎(chǔ)實(shí)、素養(yǎng)提升實(shí)）”教學(xué)成效。以“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué)法對(duì)2002年高考數(shù)學(xué)壓軸“剪拼題”進(jìn)行探究教學(xué)，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力和解決問題的能力，實(shí)現(xiàn)“減負(fù)增效學(xué)數(shù)學(xué)”。

【關(guān)鍵詞】精準(zhǔn)活實(shí)；減負(fù)增效；創(chuàng)新實(shí)踐；教學(xué)感悟

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2023）16-0068-07

【作者簡(jiǎn)介】董裕華，江蘇省海安高級(jí)中學(xué)（江蘇海安，226600）校長(zhǎng)，正高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師。

江蘇省海安高級(jí)中學(xué)通過教師“四精”、學(xué)生“兩主”，取得“兩活兩實(shí)”教學(xué)成效，形成“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué)特色，受到社會(huì)關(guān)注。2002年高考數(shù)學(xué)壓軸“剪拼題”歷久彌新，至今仍切合新課改理念?，F(xiàn)筆者以該題教學(xué)實(shí)踐為例，探究如何通過“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué)，激發(fā)知識(shí)遷移、激活脈絡(luò)關(guān)聯(lián)、激勵(lì)主動(dòng)創(chuàng)造，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，更好體現(xiàn)學(xué)科育人價(jià)值，實(shí)現(xiàn)學(xué)科減負(fù)增效。

2002年全國I卷文科第22題：

（1）給出兩塊面積相同的正三角形紙片（如圖1、圖2），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡(jiǎn)要說明； （4分+4分）

（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小； （4分）

（3）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個(gè)直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡(jiǎn)要說明。（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分）

這道題是整卷的壓軸題，受答卷時(shí)間和心理壓力的影響，有些考生未能發(fā)揮正常水平。但滿分16分的試題，全國均分只有2.48分，著實(shí)讓人匪夷所思。對(duì)于第（1）問，只要取三角形三條中位線（如圖4），就可以折成正四面體（如圖5），4分不難取得。學(xué)生感覺題目新、沒想到、不適應(yīng)，而權(quán)威部門對(duì)本題褒獎(jiǎng)有加，認(rèn)為它具有探索性，蘊(yùn)含創(chuàng)意、精彩獨(dú)特，是為數(shù)不多的“對(duì)于培養(yǎng)考生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)有重要的意義”的好題，它不僅考查學(xué)生的空間想象、動(dòng)手（拼圖）能力和類比、遷移的思想方法，還著重考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，體現(xiàn)了“創(chuàng)設(shè)問題、提出問題→操作實(shí)驗(yàn)、探索規(guī)律→應(yīng)用、解決問題”的研究性學(xué)習(xí)方式，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，充分發(fā)揮其主觀能動(dòng)性和創(chuàng)造性。［1］

筆者多次嘗試讓高一新生完成這道題的第（1）（3）兩問，學(xué)生給筆者很多驚喜，也讓筆者思考：我們的課堂到底應(yīng)該怎樣培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力、動(dòng)手操作力、探究創(chuàng)造力？這既是老問題，也是常抓常新的問題。

一、“精準(zhǔn)活實(shí)教學(xué)”的意蘊(yùn)

“精準(zhǔn)活實(shí)”是江蘇省海安高級(jí)中學(xué)在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中形成的教學(xué)特色。我們始終把“怎樣用盡可能‘少帶來盡可能多的‘好”作為研究主題，“減負(fù)增效學(xué)數(shù)學(xué)”既是我們的主攻目標(biāo)，也是我們的實(shí)踐成果。

教師“四精”和學(xué)生“兩主”，是“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué)的重要特征，其成果體現(xiàn)在學(xué)生的“兩活兩實(shí)”。

1.教師 “四精”

（1）精打細(xì)算。精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容和環(huán)節(jié)，力求“教—學(xué)—評(píng)”一致；要求學(xué)生完成的練習(xí)，教師先試水、篩選，力戒錯(cuò)題、廢題、無效題。

（2）精挑細(xì)選。充分挖掘優(yōu)秀教學(xué)素材的生長(zhǎng)、擴(kuò)展和聯(lián)通功能，由題及類、觸類旁通、舉一反三，發(fā)展學(xué)生觀察、想象、探索和實(shí)踐能力。

（3）精耕細(xì)作。通過對(duì)課堂和作業(yè)生態(tài)的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和數(shù)據(jù)分析，既節(jié)省教師的時(shí)間和精力，又能及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，提高教育教學(xué)的針對(duì)性和有效性。

（4）精益求精。準(zhǔn)確把握學(xué)習(xí)起點(diǎn)，靈活取舍教學(xué)內(nèi)容，突出整體駕馭和精講精練，突出學(xué)科素養(yǎng)和能力提升，將因材施教落到實(shí)處?！皽?zhǔn)”以“精”為條件，“精”以“準(zhǔn)”為標(biāo)志，“精”“準(zhǔn)”緊密相連，是教學(xué)減負(fù)增效的基礎(chǔ)。

2.學(xué)生“兩主”

（1）積極主動(dòng)學(xué)。課堂上，90%以上的學(xué)生積極參與教學(xué)全過程，所學(xué)內(nèi)容90%以上能被學(xué)生掌握。每節(jié)課的這兩個(gè)“90%”，就能保證90%以上的學(xué)生取得理想成績(jī)。盡管這三個(gè)“90%”只是教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)的部分指標(biāo)，但好的教學(xué)效果是對(duì)課堂教學(xué)的基本要求。

（2）自主選擇學(xué)。學(xué)會(huì)選擇是精準(zhǔn)教學(xué)的基礎(chǔ)。教師要幫助學(xué)生弄清自己有什么、要什么，再考慮給什么、怎么給，這是學(xué)生自主選擇的保障。學(xué)生要學(xué)會(huì)權(quán)衡取舍，把主要精力集中在“跳一跳夠得著”的有典型意義的問題上。

3.學(xué)生的“兩活兩實(shí)”

減負(fù)增效的成效主要體現(xiàn)在學(xué)生的“兩活兩實(shí)”。

（1）學(xué)習(xí)方法活。死記硬背和機(jī)械刷題容易使思想僵化。學(xué)生自主預(yù)習(xí)、鉆研、歸納總結(jié)，自主模擬命題，制訂評(píng)分細(xì)則，在“不經(jīng)意間”也能達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，甚至超出預(yù)期。

（2）思維創(chuàng)新活。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思維，思維又是創(chuàng)新的基礎(chǔ)。培養(yǎng)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。對(duì)學(xué)生而言，無論是問題還是結(jié)論，只要是他們發(fā)現(xiàn)的，都屬于創(chuàng)新成果。要讓學(xué)法活起來，讓思維活起來，就要讓數(shù)學(xué)真正用起來。“活”是“用”的目的，只有“用”才能“活”。

（3）學(xué)業(yè)基礎(chǔ)實(shí)。沒有扎實(shí)的基礎(chǔ)，就難以形成核心競(jìng)爭(zhēng)力。高考的80%題目考查基礎(chǔ)，難題只有20%。但多數(shù)學(xué)生在占80%的基礎(chǔ)內(nèi)容上只用了20%的時(shí)間，卻把80%的時(shí)間用在20%的難題上，不但做了許多無用功，連本來能得的分?jǐn)?shù)也丟了不少，得不償失。

（4）素養(yǎng)提升實(shí)。鼓勵(lì)學(xué)生有效整合學(xué)科知識(shí)，運(yùn)用學(xué)科方法，高質(zhì)量地認(rèn)識(shí)、分析、解決真實(shí)情境中的問題，提升能力素養(yǎng)，以適應(yīng)當(dāng)前和今后發(fā)展的客觀要求。

二、“一道初中生能解的高考數(shù)學(xué)難題”教學(xué)過程［2］

1.激發(fā)知識(shí)遷移，完成基礎(chǔ)剪拼

教師告知學(xué)生正三棱錐和正三棱柱的剪拼要求：正三棱錐由一個(gè)正三角形和三個(gè)全等的、底邊長(zhǎng)等于正三角形的邊長(zhǎng)等腰三角形構(gòu)成（如圖6）；正三棱柱由兩個(gè)全等的正三角形和三個(gè)全等的、一邊長(zhǎng)等于正三角形邊長(zhǎng)的矩形構(gòu)成（如圖7）。

學(xué)生從小就進(jìn)行過“折剪拼”的訓(xùn)練，絕大多數(shù)人拼出如圖4、5的正三棱錐，也有不少人將剪拼正三棱錐的方法遷移到正三棱柱（如圖8），先沿三角形中位線剪出1和2兩個(gè)正三角形，將剩下的平行四邊形變成矩形（三角形3移到4的位置），再將矩形分成3個(gè)全等的小矩形即可；或者如圖9，先剪出正三角形1，再剪出矩形，剩下的兩個(gè)直角三角形2和3拼成和正三角形1全等的三角形。大多數(shù)考生是可以做出第（1）問的。

2.激活脈絡(luò)關(guān)聯(lián)，拓展思維空間

教師引導(dǎo)：以前，我們?cè)鯓影丫匦渭羝闯蔁o蓋的長(zhǎng)方體？

學(xué)生：只要在四個(gè)角都剪去同樣大小的正方形，就可以達(dá)成目標(biāo)。（如圖10）

教師：怎樣剪拼成有蓋的長(zhǎng)方體呢？

學(xué)生苦思冥想仍不得法。

教師提醒：正三棱柱是怎么剪拼的？能不能參照它的方法？

有學(xué)生想到先對(duì)折矩形，剪出兩個(gè)正方形做底面，剩下部分再對(duì)折成四個(gè)側(cè)面（如圖11），就可以做成有蓋的長(zhǎng)方體。

教師追問：你是怎么想到的？

學(xué)生：正方形的四條邊都相等，做側(cè)面就比較方便，跟剪拼正三棱柱差不多。

教師用模型示意：把無蓋的正三棱柱盒子剪開，平放到桌面上，能不能想象出它的形狀？

學(xué)生很快畫出圖12，也知道這個(gè)形狀由一個(gè)正三角形和三個(gè)全等的矩形構(gòu)成。

教師又追問：這個(gè)“禿頭禿腦”的形狀，似乎缺了三個(gè)“角”，誰來補(bǔ)上？

學(xué)生自然想到了圖13。

教師繼續(xù)追問：圖13中，陰影部分小三角形的頂點(diǎn)在大三角形的什么位置？

學(xué)生討論后形成一致意見：盡管正三角形的三條高、三條中線、三條角平分線重合，但這里用到的只是角平分線，因?yàn)檫@里的小三角形頂點(diǎn)到大三角形兩邊的距離都相等。學(xué)生作出如圖14的示意圖，O點(diǎn)是作為△ABC的內(nèi)心。

教師再追問：剛剛補(bǔ)上的三個(gè)角能不能拼成盒子的蓋子？

學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn)，在圖14中，從O點(diǎn)作△DEF三邊的垂線，只要補(bǔ)上的三個(gè)“角”湊起來與△DEF重合，也就是D，E，F(xiàn)分別處在OA，OB，OC的中點(diǎn)時(shí)就能滿足要求。

順著這個(gè)思路，把一般三角形剪拼成直三棱柱就易如反掌。（如圖15）

弄清整個(gè)剪拼的來龍去脈，把握關(guān)鍵點(diǎn)，第（3）問也不是高不可攀。

3.激勵(lì)主動(dòng)創(chuàng)造，提升能力素養(yǎng)

教師引導(dǎo)：將一般三角形剪拼成直三棱柱，還有其他方法嗎？

受圖8—圖11的影響，學(xué)生通過作中位線，得到兩個(gè)全等三角形1、2和一個(gè)平行四邊形3。如圖16的難點(diǎn)是把平行四邊形3剪拼成一邊長(zhǎng)等于三角形1周長(zhǎng)的矩形。

在教師的鼓勵(lì)下，學(xué)生繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：如圖17，在 ABCD中，如果AF（＜AC）的長(zhǎng)度等于規(guī)定長(zhǎng)度，將圖中區(qū)域1移到2的位置， ABEF就滿足要求。如果AC的長(zhǎng)度還不符合規(guī)定，將 ABEF繼續(xù)剪拼，經(jīng)過有限次操作，總能讓其邊長(zhǎng)達(dá)標(biāo)。再用圖8中三角形3移到4的方法，將平行四邊形變成矩形。

教師引導(dǎo)：剛才，大家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要結(jié)論：任何平行四邊形，都可以剪拼成一邊長(zhǎng)符合規(guī)定的矩形。那么，一般三角形能否剪拼成一邊長(zhǎng)等于規(guī)定長(zhǎng)度的平行四邊形呢？

學(xué)生：同樣利用中位線，把圖18中的區(qū)域1移到2，區(qū)域3移到4，原來的三角形變成了矩形，再用圖17的方法就行了。

教師：如果我們規(guī)定的邊長(zhǎng)比AB和AD都小，又怎么辦呢？

學(xué)生：經(jīng)過AD中點(diǎn)和BC中點(diǎn)作直線，將 ABCD一分為二。再將其上部拆移到下部的右側(cè)。

教師：如果還不符合要求呢？

學(xué)生：重復(fù)剛才的做法直到滿足條件。

教師繼續(xù)引導(dǎo)：如果把三角形換成多邊形，也能變成一邊長(zhǎng)等于規(guī)定長(zhǎng)度的矩形嗎？

學(xué)生豁然開朗：通過對(duì)角線將多邊形分割成三角形，就可以按照上述方法，將每個(gè)三角形都變成規(guī)定長(zhǎng)度的矩形，如圖19，將區(qū)域1、2、3分別變成區(qū)域4、5、6，就能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。

教師激勵(lì)：剛剛，我們經(jīng)歷了一個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)的過程——任何兩個(gè)面積相等的多邊形都可以通過有限次割補(bǔ)讓它們?nèi)取?833年，匈牙利數(shù)學(xué)家波爾約證明了這個(gè)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論也稱為波爾約-格維也納定理。那么，這個(gè)結(jié)論能不能再推廣到空間，怎么表述呢？

學(xué)生：任何兩個(gè)體積相等的多面體都可以通過有限次割補(bǔ)的方法讓它們?nèi)取?/p>

教師：非常好！你們已經(jīng)和大數(shù)學(xué)家具有同樣的思維，真不簡(jiǎn)單！這種類比和猜想是創(chuàng)新思維的基礎(chǔ)。1900年，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎國際數(shù)學(xué)家代表會(huì)上提出了23個(gè)數(shù)學(xué)問題，其中的第3個(gè)就是它。只不過直覺告訴希爾伯特，這個(gè)結(jié)果不一定正確。也就是說：兩個(gè)體積相等的多面體不一定能通過割補(bǔ)的方法讓它們?nèi)?。這個(gè)結(jié)論提出的當(dāng)年，希爾伯特的學(xué)生就給出了證明。由此看來，直覺類比不一定可靠，還得經(jīng)過嚴(yán)格的證明，否則還只是一個(gè)猜想。

有學(xué)生意外發(fā)現(xiàn)和圖11差不多的思路：如圖20，先把一般三角形變成矩形，再將矩形分割出兩個(gè)正三角形，剩下部分三等分，就可以做成正三棱柱。

教師再激勵(lì)：真沒想到，你們不僅將一般三角形剪拼成直三棱柱，還直接拼成了正三棱柱，同學(xué)們真不簡(jiǎn)單！我們?cè)偎伎家粋€(gè)問題。剛才，大家抓住特殊點(diǎn)、特殊線，讓問題變簡(jiǎn)便。如果不用中點(diǎn)、中位線，這個(gè)問題還能不能解決呢？不妨設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為2，剪出的小三角形邊長(zhǎng)為x（x<1），如圖21、22，又怎么做呢？

學(xué)生分組研討發(fā)現(xiàn)：

剪拼成一般性的正三棱錐，可以分三步走：第一，把剩下的等腰梯形變成一邊長(zhǎng)為1+0.5x的矩形，如圖23；第二，把矩形先變成一邊長(zhǎng)為1.5x的平行四邊形，再變回矩形，如圖24；第三，把第二步得到的矩形變成上下底邊長(zhǎng)分別為x和2x的等腰梯形，再分割成3個(gè)全等的等腰三角形做三棱錐的3個(gè)側(cè)面。（如圖25）

剪拼成一般性的正三棱柱，只要把圖26的五邊形ABCDE按圖19的方法變成一邊長(zhǎng)為x的矩形，問題同樣可以解決。

由此推知，把一般三角形剪拼成正三棱錐和直三棱柱有無數(shù)種方法。

教師總結(jié)：題目的參考答案只寫了一種情況，我們的同學(xué)卻考慮到無數(shù)種可能。大家的想象力、操作力、創(chuàng)造力遠(yuǎn)超出我們的預(yù)期，祝賀大家。大膽猜想、小心求證是創(chuàng)新創(chuàng)造的重要路徑。圖24中也可能遇到1.5x比矩形的兩邊長(zhǎng)都小的問題，大家還能不能解決？

學(xué)生全體：能！

三、“一道初中生能解的高考數(shù)學(xué)難題”教學(xué)感悟

1.題目本身具有挖潛開發(fā)價(jià)值

貫穿本節(jié)課主線的高考題“面世”20多年仍“風(fēng)采依舊”，是“經(jīng)得起考驗(yàn)”的好題。好題的難度和新穎度都不是最重要的，重要的是題目能否緊扣教學(xué)的實(shí)際，擊中教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和薄弱點(diǎn)，讓學(xué)生做一題、會(huì)一類、通一片，不斷豐富和鞏固知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高學(xué)習(xí)能力和素養(yǎng)。從這個(gè)意義上講，好題“量不在多，典型就行；題不在難，有思想則靈”。教師要精心挑選教學(xué)素材，充分挖掘好題價(jià)值，盡可能減少學(xué)生的機(jī)械重復(fù)勞動(dòng)，減輕學(xué)生不必要的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

好題從哪里來？教育部考試中心原命題中心主任劉芃指出：“與其大量做題，不如抽出時(shí)間認(rèn)真研究往年的試題。往年的試題是精雕細(xì)磨的產(chǎn)物，它反映了對(duì)考試內(nèi)容的深思熟慮、對(duì)設(shè)問和答案的準(zhǔn)確拿捏、對(duì)學(xué)生水平的客觀判斷。研究這些試題，就如同和試題的制作者對(duì)話?！保?］命題老師對(duì)教學(xué)要求的把握相對(duì)準(zhǔn)確，試題打磨的時(shí)間也較長(zhǎng)，又經(jīng)過成千上萬人的實(shí)踐檢驗(yàn)，高考題的研究?jī)r(jià)值顯而易見。

本節(jié)課選用的高考題設(shè)計(jì)精巧，低起點(diǎn)、多層次、高落差，由淺入深，平凡中見高遠(yuǎn)，平淡中見真功。低起點(diǎn)體現(xiàn)在對(duì)傳統(tǒng)內(nèi)容的推陳出新，面向全體學(xué)生。學(xué)生對(duì)“折剪拼”并不陌生，在小學(xué)甚至幼兒園時(shí)就進(jìn)行過實(shí)踐操作，每個(gè)人都做過把正三角形折成正四面體的游戲?！鞍丫匦渭羝闯蔁o蓋的長(zhǎng)方體”也是小學(xué)的必學(xué)內(nèi)容，沒有任何偏、難、深、怪。只是很少有人進(jìn)一步思考：怎樣把矩形剪拼成有蓋的長(zhǎng)方體？使它的全面積與原矩形的面積相等。圖8、圖9的操作原理與圖11類似，能否弄清相互的關(guān)聯(lián)，就是思維的層次性。開放的情境設(shè)計(jì)，也給分析和解決問題提供了更多可能。畫出無蓋的正三棱柱的展開圖，就能發(fā)現(xiàn)正三棱柱的第二種剪拼方法，并延伸到由一般三角形剪拼直三棱柱。不少人套用圖8的方法，由圖20確定直三棱柱的兩個(gè)底面，卻止步于“將平行四邊形剪拼成一邊長(zhǎng)等于規(guī)定長(zhǎng)度的平行四邊形”，這也是思維的層次性。高落差體現(xiàn)在能否融會(huì)貫通，總結(jié)出一般性規(guī)律，得到一般性結(jié)論。解決了“將任意平行四邊形剪拼成一邊長(zhǎng)等于規(guī)定長(zhǎng)度的平行四邊形”的問題，就能“將任意多邊形剪拼成一邊長(zhǎng)等于規(guī)定長(zhǎng)度的矩形”，再進(jìn)一步提升到世紀(jì)數(shù)學(xué)問題。同時(shí)，前面剪拼的過程和方法又為圖21、22一般性問題的解決提供了鋪墊，進(jìn)而總結(jié)出處理這類問題的通性通法。學(xué)生學(xué)會(huì)一道題，便能掌握一類題，本題當(dāng)屬經(jīng)典題、精品題。

2.教學(xué)過程推動(dòng)能力素養(yǎng)增值

本節(jié)課通過情境性、實(shí)踐性、生成性和創(chuàng)新性的教學(xué)實(shí)施，助力學(xué)科綜合素養(yǎng)的提升，讓學(xué)生親身經(jīng)歷獨(dú)立觀察思考、大膽猜想嘗試、師生合作探究的教學(xué)過程，親身感受空間想象能力、動(dòng)手操作能力、創(chuàng)新創(chuàng)造能力的實(shí)際應(yīng)用。

本節(jié)課所有題目均源于課本，源于真實(shí)生活情境，源于學(xué)生實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，都是學(xué)生看得見、摸得著的熟悉場(chǎng)景。剪拼長(zhǎng)方體、正四面體、正三棱柱等生活化的教學(xué)情境更容易讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)起學(xué)習(xí)的興趣熱情。

本節(jié)課按照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從熟悉到陌生、從低階思維到高階思維的順序進(jìn)行，每一個(gè)環(huán)節(jié)呈現(xiàn)的都是接近現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)任務(wù)，需要學(xué)生拿出可操作的剪拼方案，并能“知其然知其所以然”。整節(jié)課都在通過涂畫、剪拼、組合、探索、嘗試等活動(dòng)“做數(shù)學(xué)”，都在學(xué)以致用、用以促學(xué)、學(xué)用相長(zhǎng)，不斷提升能力素養(yǎng)。

本節(jié)課，教師在弄清學(xué)生“要什么”的基礎(chǔ)上激發(fā)、激活和激勵(lì)，學(xué)生不斷找出新方法、發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、提出新問題，“生成性”貫穿于全課始終。在動(dòng)態(tài)生成中，學(xué)生的解題思路更加開闊，領(lǐng)悟更加深刻，思維更加縝密，“學(xué)生的想象力、操作力、創(chuàng)造力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出我們的預(yù)期”是課堂的溢出效應(yīng)。有了圖11的剪拼基礎(chǔ)，有了一般三角形變成矩形的知識(shí)準(zhǔn)備，生成圖20的剪拼方法已經(jīng)水到渠成，在任意位置剪拼正三角形也是順?biāo)浦鄣氖虑?。教師課前準(zhǔn)備充分，對(duì)每種可能出現(xiàn)的情形都有精心預(yù)設(shè)，又根據(jù)課堂實(shí)際隨機(jī)應(yīng)變、適時(shí)調(diào)整，在成就學(xué)生的同時(shí)成就自己，教學(xué)相長(zhǎng)，相得益彰。

本節(jié)課沒有就題講題，而是鼓勵(lì)學(xué)生大膽地想、大膽地試，在質(zhì)疑猜想、動(dòng)手實(shí)踐、類比遷移和協(xié)作互動(dòng)中發(fā)散思維，從不同角度認(rèn)識(shí)問題、解決問題，激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)性、靈活性、探究性和創(chuàng)造性。在“我要學(xué)”的氛圍中，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)家研究的問題，探索出將任意三角形剪拼成正三棱錐、直三棱柱的一般性解決方案，這既是創(chuàng)新思維的收獲，也是“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué)的結(jié)果。

3.目標(biāo)定位追求學(xué)科育人的極值

“數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能，在學(xué)生形成正確人生觀、價(jià)值觀、世界觀等方面發(fā)揮獨(dú)特作用。”［4］如何更好地挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值、增強(qiáng)課堂教學(xué)的育人成效，真正體現(xiàn)“不可替代的作用”“獨(dú)特作用”，本節(jié)課進(jìn)行了有益的探索。

教育的目的是激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生的自我發(fā)展之路。數(shù)學(xué)教學(xué)的生長(zhǎng)性更多表現(xiàn)為“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的落實(shí)。本節(jié)課從學(xué)生已有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和發(fā)展需求出發(fā)，順學(xué)而導(dǎo)，以學(xué)定教，以學(xué)促教，尊重生長(zhǎng)意愿、滿足生長(zhǎng)需要，給學(xué)生充分的發(fā)展時(shí)空。參考答案給出的是圖14、15的剪拼方法，這個(gè)方法很多人感到突兀，更多人采用的是圖16的方法，但怎樣“將平行四邊形剪拼成一邊長(zhǎng)等于規(guī)定長(zhǎng)度的矩形”，又是一個(gè)難點(diǎn)，很少有人知難而進(jìn)。本節(jié)課采用逆向思維的方法，先讓學(xué)生觀察無蓋的正三棱柱展開圖，通過展開圖發(fā)現(xiàn)問題、展開聯(lián)想，自然地過渡到圖14、15，這也是對(duì)命題意圖的“還原”。整節(jié)課，教師鼓勵(lì)學(xué)生“大膽假設(shè)，小心求證”，激勵(lì)他們不斷戰(zhàn)勝自我，奮力前行。圖17是剪拼平行四邊形的常用方法，但一次剪拼不一定能達(dá)到預(yù)期效果，有時(shí)需要多次操作才能“達(dá)標(biāo)”，但這個(gè)過程不僅發(fā)現(xiàn)了“任何平行四邊形都可以通過剪拼變成一邊長(zhǎng)符合規(guī)定要求的平行四邊形”，解決好本題的問題，還可以推廣到一般多邊形，進(jìn)而得出“任何兩個(gè)面積相等的多邊形都可以通過割補(bǔ)的方法讓它們?nèi)取钡慕Y(jié)論，觸碰到數(shù)學(xué)家的世紀(jì)問題。由此再解決圖21、22的一般問題，學(xué)生就有了抓手和方向。通過自我建構(gòu)形成一類題的解決策略，將“解題”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖鉀Q問題”，將“做題”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白鋈俗鍪隆?，培養(yǎng)他們靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力。

整節(jié)課圍繞一道題展開，力求透徹通暢，學(xué)生始終處在課堂的“中央”，處在積極主動(dòng)的生長(zhǎng)狀態(tài)，他們樂于歸納猜想、敢于追根究底、勇于探索嘗試，經(jīng)歷了“浪漫—精確—綜合”的智力發(fā)展過程；教師適時(shí)點(diǎn)燃學(xué)生靈感火花，不斷“用小扇子扇旺學(xué)生心頭求知的火苗”，尊重、寬容、激勵(lì)學(xué)生，發(fā)揮了數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的育人價(jià)值，體現(xiàn)了教學(xué)的“精準(zhǔn)活實(shí)”。

【參考文獻(xiàn)】

［1］教育部考試中心. 2002年普通高考數(shù)學(xué)科試題評(píng)價(jià)報(bào)告［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2002（12）：4-5.

［2］董裕華. 精實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)論［M］. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2021：170-173.

［3］劉芃. 考試文集［M］. 北京： 人民教育出版社，2012：477.

［4］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］. 北京： 人民教育出版社，2020：1-2.