基于PD理論和XFEM對混凝土板裂紋擴展仿真的對比分析

張富鈞,王少雷,張玉棟,朱文明,崔義鑫

(河北建筑工程學(xué)院 土木工程學(xué)院,河北 張家口 075000)

混凝土材料構(gòu)件在工程領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛,項目中大多用作承重構(gòu)件。由于混凝土結(jié)構(gòu)的內(nèi)部材料性質(zhì)較為復(fù)雜,使用過程中易發(fā)生疲勞損傷,產(chǎn)生一些微細裂縫[1],破壞時沒有明顯預(yù)警,具有一定的安全隱患,盡管已經(jīng)對混凝土結(jié)構(gòu)破壞形式進行了大量的研究,但其漸進式破壞過程仍在工程中不可預(yù)測且不可控制,特別是對其裂縫的自發(fā)形成及其后續(xù)的裂紋擴展機制尚未完全了解[2-4]。如預(yù)先在裂縫擴展的路徑上進行加固措施,將極大地降低工程事故的發(fā)生,故預(yù)測裂紋擴展路徑是解決混凝土結(jié)構(gòu)破壞的主要措施之一。

本文將基于近場動力學(xué)原理的混凝土板漸進破壞過程和基于擴展有限元法的混凝土板裂紋擴展方式進行對比分析研究,盡可能真實地模擬混凝土板的漸進式破壞過程,并與將兩種漸進破壞進行對比和相互驗證。

1 擴展有限元法

1.1 位移函數(shù)的確定

有限單元法在構(gòu)件的位移場分析過程中具有連續(xù)性的特點,構(gòu)件內(nèi)部任意一點的位移表達如式(1)所示。

(1)

對有限元理論的局限性進行擴展研究,進一步將裂紋穿過單元內(nèi)部,考慮構(gòu)件的不連續(xù)性,在增加擴充項后,可將裂紋兩端的不連續(xù)位移表達如式(2)所示。

(2)

(3)

式(3)中,x是一個采樣點;x*是距離裂紋上x最近的點;φ(x)是反映不連續(xù)性的強化函數(shù),如式(4)所示。

(4)

式(4)中,(r,θ)表示以裂紋尖端為原點的局部極坐標(biāo),與標(biāo)準(zhǔn)有限元公式相比可以看出,在這種位移近似后,總體將增加6-7個自由度。

1.2 水平集法

在擴展有限元法的使用過程中,可采用水平集法來追蹤界面破壞的演化,如圖1所示。較傳統(tǒng)有限元不同的是其網(wǎng)格的劃分和斷面間的位置相互獨立,不需要重新劃分網(wǎng)格就可以追蹤其界面破壞的運動軌跡。裂紋面的水平集函數(shù)由以下符號距離函數(shù)表達,如式(5)和式(6)所示。

(5)

(6)

圖1 界面破壞裂紋水平集定位圖

1.3 擴展有限元仿真

1.3.1 仿真流程

通過在ABAQUS軟件中對預(yù)制圓孔板進行破壞分析,建立混凝土預(yù)制板模型并引入材料屬性和破壞參數(shù),對預(yù)制板進行加載測試,并通過更改加載方向和施載大小,來模擬出混凝土板在工程中漸進破壞的裂紋擴展過程,擴展有限元仿真流程,如圖2所示。

圖2 仿真流程圖

1.3.2 參數(shù)設(shè)置

通過ABAQUS建立三維預(yù)制圓孔混凝土板,預(yù)制構(gòu)件的幾何參數(shù),如表1所示。在 XFEM的破壞演變中,為了更接近實際的混凝土板的內(nèi)部應(yīng)力破壞過程,需要對預(yù)制件的材料屬性進行定義,輸入?yún)?shù)如表2所示。

表1 幾何參數(shù)表

表2 材料參數(shù)表

1.3.3 結(jié)果分析

模型施加載荷后,擴展有限元破壞圖,如圖3(a)所示,深色區(qū)域應(yīng)力較大在裂紋尖端發(fā)生應(yīng)力集中效應(yīng)是漸進式破壞的主要原因,圖3(b)為局部放大圖,深色區(qū)域為應(yīng)力集中點位置也是裂紋擴展的方向。

(a)裂紋初期萌生圖

破壞過程中,裂紋尖端應(yīng)力向周圍逐步降低,初步破壞發(fā)生后產(chǎn)生大量的能量,裂紋逐步向板緣進行擴展,構(gòu)件失效,致使混凝土板破壞,如圖3(c)所示。得出結(jié)論應(yīng)力集中位置往往是構(gòu)件重點破壞區(qū)域,工程中應(yīng)減少重要構(gòu)件產(chǎn)生應(yīng)力集中,或者加強材料的破壞極限逐步提高安全質(zhì)量。

2 近場動力學(xué)

2.1 近場動力學(xué)理論

根據(jù)牛頓第二定律,可以列出物質(zhì)點x在t時刻下的運動方程,如式(7)所示。

(7)

式(7)中,H為以δ為半徑的圓域;u為位移矢量場;ρ(x)為物質(zhì)密度;b(x,t)是體力密度;f為本構(gòu)力函數(shù):表示在t時刻下,單位體積的物質(zhì)點X′施加于物質(zhì)點X的體力密度/(N/m6),也稱為力密度矢量。通常認(rèn)為物質(zhì)點X和X′存在相互作用力f,由兩者自身的運動狀態(tài)來決定,可以假設(shè)力密度矢量f與這些物質(zhì)點之間的伸長率s呈線性關(guān)系,如式(8)所示[8-9]。

f(u′,u,x′,x,t)=f(u′-u,x′-x)

(8)

式(8)中,伸長率s(u′-u,x′-x)定義如式(9)所示。

(9)

式(9)中,s為t時刻鍵的伸長率;ζ用來判斷物質(zhì)點的破壞情況,定義如式(10)所示。

(10)

式(10)中,s0為物質(zhì)點對的臨界伸長率,在二維體系中,通常采用表達如式(11)所示。

(11)

式(11)中,k為體積彈性模量;μ為剪切模量;GC為臨界能量釋放率;δ為近場范圍半徑。當(dāng)出現(xiàn)鍵的s≥s0時,該鍵斷裂且永久失效,裂紋也隨之產(chǎn)生,如圖4和圖5所示。

圖4 鍵的伸長變化圖

圖5 伸長率和力密度矢量關(guān)系圖

2.2 數(shù)值模擬

2.2.1 編碼流程

在MATLAB軟件中對混凝土板的裂紋擴展模型進行編碼[10],如圖6所示,初步設(shè)定材料參數(shù),定義邊界條件后,輸入近場動力學(xué)破壞準(zhǔn)則,在加載后對PD模型斷裂進行判斷,觀察其完整的裂紋擴展演化。

圖6 編碼流程圖

2.2.2 參數(shù)設(shè)置

PD計算參數(shù)直接影響精度和效率,其域范圍選取與材料的物理性質(zhì)有關(guān),當(dāng)近場尺寸取3倍物質(zhì)點間距時結(jié)果較為準(zhǔn)確,故本文采取進場動力學(xué)范圍δ=3Δ[11-15],PD模型的參數(shù)設(shè)置表,如表3所示。

表3 PD參數(shù)表

2.2.3 受拉荷載裂紋擴展

通過MATLAB軟件進行編碼,代碼主要由初始參數(shù)、近場動力學(xué)理論公式、破壞準(zhǔn)則、后處理四部分組成。通過編寫基于近場動力學(xué)原理的預(yù)制圓孔混凝土板的破壞過程,輸入混凝土和板的初始參數(shù),并對域內(nèi)鍵的連接數(shù)和加載值進行破壞分析,觀察預(yù)制圓孔板在不同材料下的漸進破壞時間和破壞趨勢,并設(shè)置破壞規(guī)則,在加載過程中觀察其混凝土板的破壞過程,通過模型的運行時間和板的破壞趨勢來對模型進行分析,確定開裂的載荷,并更改域內(nèi)鍵的數(shù)量和施加荷載的大小來觀察預(yù)制板的破壞形式[15-18]。

在運行MATLAB程序代碼后,輸出破壞圖像,本案例計算耗時127秒,如圖7所示。

(a)初始圖

由圖7(b)得出裂紋在荷載的加載方向垂直發(fā)生擴展[18-22],預(yù)制圓孔水平方向產(chǎn)生應(yīng)力集中效果。圓域中的兩物質(zhì)點發(fā)生相對位移變化,當(dāng)伸長率大于臨界伸長率時發(fā)生斷裂,且斷裂產(chǎn)生后是不可恢復(fù),通過初次橫向裂紋的產(chǎn)生,圓域內(nèi)的各點處于動態(tài)變化中,鍵長在不斷地更新,裂紋逐漸擴大,直至預(yù)制圓孔的混凝土板的近場動力學(xué)破壞終止。含預(yù)制圓孔的混凝土板近場動力學(xué)破壞預(yù)測的結(jié)果圖,如圖7(c)所示,裂紋的破壞具有一定的趨勢,裂紋的大小也在逐步擴大,在混凝土板的四個直角位置也發(fā)生破壞,可見直角處也是發(fā)生應(yīng)力集中破壞的要點之一。得出結(jié)論,當(dāng)物質(zhì)點對之間的連接鍵超過臨界伸長率時,物質(zhì)點間會發(fā)生破壞效果,在不同時間步的檢測下,裂紋在不同速度邊界條件下的應(yīng)力集中處發(fā)生破壞,利用近場動力學(xué)方法將宏觀材料漸進破壞過程模擬出來。

2.3 圖像分析

x=0,y=0.01處質(zhì)點位移分量ux和uy的收斂性分布圖,如圖8所示,隨著時間步數(shù)的增加,在x=0,y=0.01處的質(zhì)點在x方向的位移和y方向的位移快速收斂,逐步趨于穩(wěn)定值?？倳r間步長為2000時,可得出較為收斂的解。

圖8 x=0,y=0.01處質(zhì)點位移分量ux和uy的收斂性

單軸拉伸載荷下平板中心線上的位移圖,如圖9所示,在單軸拉伸載荷下,對平板中心線上的位移進行分析,并將ux和uy處的PD解和解析解對比,可見PD解和解析解的結(jié)果吻合。

(a)x坐標(biāo)

結(jié)語

(1)本文對混凝土板單軸受拉載荷的動態(tài)破壞過程進行模擬觀測裂紋的擴展趨勢,利用PD和XFEM兩種方法對不連續(xù)介質(zhì)漸進破壞過程進行模擬,對比得出PD理論在模擬裂紋擴展方向上更有優(yōu)勢,將兩者的分析結(jié)果進行結(jié)合,可以更加準(zhǔn)確地對單軸拉伸載荷下的混凝土板的破壞機制進行預(yù)測,工程應(yīng)用中,如在裂縫易發(fā)生區(qū)域和裂縫擴展區(qū)域進行加固措施,或者改變拉應(yīng)力的施加區(qū)域,可以控制裂紋的產(chǎn)生和裂縫的不規(guī)則擴展趨勢,提高了一定的安全保障。

(2)PD理論和XFEM均可對混凝土板的漸進破壞進行模擬,PD理論在計算和建模仿真上較優(yōu)于XFEM,PD理論可以直接應(yīng)用于不連續(xù)介質(zhì)中,在模型計算中近場動力學(xué)相較于XFEM法不會出現(xiàn)不收斂的情況,并且PD理論中已有損傷和斷裂的標(biāo)準(zhǔn),在分析破壞和裂紋擴展情況時,不需要經(jīng)過傳統(tǒng)的開裂判斷和裂紋路徑預(yù)測等分析,通過連接鍵的斷裂來控制裂縫產(chǎn)生,可自發(fā)地產(chǎn)生裂紋,并且裂紋在鍵的斷裂后完成裂紋擴展,且在計算方法和耗費的計算資源上更為簡單和快捷。