一道解析幾何問題的探究與推廣

甘肅省蘭州市第六中學(xué)(730060) 焦永垚

一、試題呈現(xiàn)

題目(2022-2023 學(xué)年貴州省遵義市高三上學(xué)期第三次月考)已知拋物線C:y2=2px(p>0),過點(diǎn)Q(1,3)作直線與C交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)該直線垂直于x軸時(shí),?OMN的面積為2,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求C的方程;

(2)若C的一條弦ST經(jīng)過C的焦點(diǎn),且直線ST與直線MN平行,試問是否存在常數(shù)?,使得|QM|·|QN|=?|ST|恒成立,若存在,求? 的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

答案(1)y2=4x;(2)存在常數(shù),使得|QM|·|QN|=?|ST|恒成立.

二、試題推廣

將試題的第(2)問進(jìn)行一般化推廣,可得如下性質(zhì):

性質(zhì)1已知拋物線C:y2=2px(p>0),過點(diǎn)Q(m,n)(點(diǎn)Q不在C上)作直線l與C交于M,N兩點(diǎn),過C的焦點(diǎn)F作平行于l的直線l′與C交于S,T兩點(diǎn),則是定值.

證明設(shè)直線l的傾斜角為α,則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入C的方程整理得

設(shè)點(diǎn)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則

又直線l′的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入C的方程整理得sin2α·t2?2pcosα·t?p2=0,設(shè)點(diǎn)S,T對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t3,t4,則

三、類比推廣

還可以將性質(zhì)1 類比推廣到橢圓和雙曲線中:

性質(zhì)2已知橢圓C:過點(diǎn)Q(m,n)(點(diǎn)Q不在C上)作直線l與C交于M,N兩點(diǎn),過C的一個(gè)焦點(diǎn)F作平行于l的直線l′與C交于S,T兩點(diǎn),則是定值.

證明設(shè)直線l的傾斜角為α,則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入C的方程整理得

設(shè)點(diǎn)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則

不妨設(shè)F為右焦點(diǎn)(c,0),則直線l′的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入C的方程整理得設(shè)點(diǎn)S,T對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t3,t4,則

性質(zhì)3已知雙曲線C:過點(diǎn)Q(m,n)(點(diǎn)Q不在C上)作直線l與C交于M,N兩點(diǎn),過C的一個(gè)焦點(diǎn)F作平行于l的直線l′與C交于S,T兩點(diǎn),則是定值.

證明過程與性質(zhì)2 類似,此處從略

四、一點(diǎn)說明

如圖1,已知點(diǎn)P在橢圓C:上,點(diǎn)Q(m,n)不在橢圓C上,過點(diǎn)Q作平行于OP的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),則是定值.[1]

圖1

在雙曲線中文[1]也給出了類似的結(jié)論.結(jié)合這兩個(gè)結(jié)論,再回到前文的性質(zhì)2和性質(zhì)3,我們立刻得到結(jié)論此結(jié)論在文[2]中作者做了詳細(xì)的闡述,有興趣的讀者可自行查閱.但遺憾的是文[1]所給的關(guān)于拋物線的結(jié)論3 是錯(cuò)誤的:

已知P1P2是拋物線C:y2=2px上的焦點(diǎn)弦,點(diǎn)Q(m,n)不在拋物線C上,過點(diǎn)Q作平行于P1P2的直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),則是定值.[1]

由前文的性質(zhì)1 可知,上述結(jié)論明顯是錯(cuò)誤的,至于在拋物線中是否也存在類似于文[2]中的橢圓和雙曲線的結(jié)論,筆者沒有找到,有興趣的讀者可進(jìn)行探究.

五、探究延伸

至此,筆者還感覺意猶未盡,如果將性質(zhì)1 中的焦點(diǎn)F推廣到x軸上的其它定點(diǎn)P,那么是否仍為定值呢? 經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)答案是否定的,但若作線段ST的垂直平分線交x軸于點(diǎn)R,則為定值,于是就得到下面一組性質(zhì):

性質(zhì)4已知拋物線C:y2=2px(p>0)和點(diǎn)P(s,0),過點(diǎn)Q(m,n)(點(diǎn)Q不在C上)作不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),過點(diǎn)P作平行于l的直線l′與C交于S,T兩點(diǎn),線段ST的中垂線交x軸于點(diǎn)R,則是定值.

證明如圖2,設(shè)直線l的傾斜角為α,由性質(zhì)1的證明過程有直線l′的方程為y=tanα(x?s),與C的方程聯(lián)立并整理得tan2α·x2?2(stan2α+p)x+s2tan2α=0,

圖2

設(shè)點(diǎn)S(x1,y1),T(x2,y2),則則線段ST的中點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為代入方程y=tanα(x?s)可得,則線段ST的中垂線的方程為令y=0,可得,則

性質(zhì)5已知橢圓C:和點(diǎn)P(s,0)(0),過點(diǎn)Q(m,n)(點(diǎn)Q不在C上)作不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),過點(diǎn)P作平行于l的直線l′與C交于S,T兩點(diǎn),線段ST的中垂線交x軸于點(diǎn)R,則是定值.

證明設(shè)直線l的傾斜角為α,由性質(zhì)2 的證明過程有直線l′的方程為y=tanα(x?s),與C的方程聯(lián)立并整理得

設(shè)點(diǎn)S(x1,y1),T(x2,y2),則則線段ST的中點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為代入方程y=tanα(x?s)可得則線段ST的中垂線的方程為

性質(zhì)6已知橢圓C:和點(diǎn)P(0,t)(0),過點(diǎn)Q(m,n)(點(diǎn)Q不在C上)作不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),過點(diǎn)P作平行于l的直線l′與C交于S,T兩點(diǎn),線段ST的中垂線交y軸于點(diǎn)R,則是定值.

性質(zhì)7已知雙曲線C:和點(diǎn)P(s,0)(0),過點(diǎn)Q(m,n)(點(diǎn)Q不在C上)作不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),過點(diǎn)P作平行于l的直線l′與C交于S,T兩點(diǎn),線段ST的中垂線交x軸于點(diǎn)R,則是定值.

性質(zhì)8已知雙曲線C:和點(diǎn)P(0,t)(0),過點(diǎn)Q(m,n)(點(diǎn)Q不在C上)作不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),過點(diǎn)P作平行于l的直線l′與C交于S,T兩點(diǎn),線段ST的中垂線交y軸于點(diǎn)R,則是定值.

性質(zhì)6、性質(zhì)7、性質(zhì)8 的證明與性質(zhì)5 的證明類似,略.

以上由一道高三月考題出發(fā),探究了圓錐曲線平行弦的一組性質(zhì).在解析幾何教學(xué)中,教師要幫助學(xué)生養(yǎng)成勤于思考、勇于探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣,帶領(lǐng)學(xué)生挖掘問題本質(zhì),把握試題的來龍去脈,真正做到跳出題海,觸類旁通,從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).