圓錐曲線中兩直線斜率關(guān)系定值下的定點(diǎn)的統(tǒng)一性質(zhì)

福建省漳州市廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)(363123)福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所(350025) 張奇鳳 林運(yùn)來 章海輝

眾所周知,從圓錐曲線中一定點(diǎn)P引兩條直線與橢圓分別交于點(diǎn)A,B,若直線PA和PB的斜率和t(0)為定值時(shí),直線AB過定點(diǎn)G.筆者在研究2022年新高考I 卷第21 題時(shí),進(jìn)行了一些思考.在圓錐曲線中我們發(fā)現(xiàn)了當(dāng)t在變化時(shí),定點(diǎn)G的軌跡是一條與圓錐曲線相切的直線,且切點(diǎn)是點(diǎn)P關(guān)于該圓錐曲線長軸的對稱點(diǎn).經(jīng)過思考和總結(jié),我們發(fā)現(xiàn),若直線PA和PB的斜率積t(0)為定值時(shí),也有類似的性質(zhì),現(xiàn)行之成文,與各位同行分享.

題目(2022年新高考I 卷第21 題節(jié)選)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:上,直線l交C于P、Q兩點(diǎn),直線AP,AQ的斜率之和為0.求l的斜率.

此題為我們所熟悉的斜率和為定值模型中的一種特殊情形.當(dāng)兩直線斜率和t為定值,當(dāng)t不為0 時(shí),第三條直線過定點(diǎn)G;當(dāng)t=0 時(shí),第三條直線的斜率為定值.需要進(jìn)一步思考的是:為什么此時(shí)第三條直線的斜率是定值,而不是過定點(diǎn).于是我們提出這樣一個(gè)問題:當(dāng)t變化時(shí),定點(diǎn)G的軌跡是什么? 經(jīng)過一番思考和探究,得出如下結(jié)論:

性質(zhì)1從橢圓C:上一定點(diǎn)P(x0,y0)引兩條直線與橢圓分別交于點(diǎn)A、B,若直線PA和PB的斜率和為定值t(0)時(shí),直線AB過定點(diǎn)G,當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的軌跡是一條與橢圓C相切的直線,其方程為切點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x0,?y0).

證明當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),則B(x1,?y1).由kPA+kPB=t,解得此時(shí)直線AB過定點(diǎn)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+m,將其與橢圓方程聯(lián)立得:(b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2?a2b2=0,由韋達(dá)定理得:.

把y1=kx1+m和y2=kx2+m代入①并整理得:

整理,得:

又點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上,所以代入上式有:

化簡,得:

因式分解得:

當(dāng)m+kx0?y0=0 即m=?kx0+y0時(shí),代入直線AB的方程為y=kx+m有:y=kx+m=k(x?x0)+y0.此時(shí)直線AB過定點(diǎn)P(x0,y0),不符合題意,舍去.當(dāng)a2tm+ka2tx0+a2ty0+2b2x0?2ka2y0=0,即m=時(shí),代入直線AB的方程為y=kx+m有:此時(shí)直線AB過定點(diǎn).

綜上所述,直線AB過定點(diǎn)

下證:當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的軌跡是一條與橢圓相切的直線,且切點(diǎn)坐標(biāo)Q(x0,?y0).由上述證明可知點(diǎn)G的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),聯(lián)立并消元得:

觀察上式和圖1,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的坐標(biāo)滿足方程即可得出點(diǎn)G的軌跡為是一條直線.且令x=x0時(shí),y=?y0,即該直線恒過定點(diǎn)Q(x0,?y0).

圖1

性質(zhì)2從橢圓C:上一定點(diǎn)P(x0,y0)引兩條直線與橢圓C分別交于點(diǎn)A、B,若直線PA和PB的斜率積為定值t(0)時(shí),直線AB過定點(diǎn)G,當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的軌跡是一條過原點(diǎn)的直線,其方程為x0y+y0x=0.

證明當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),則B(x1,?y1).由kPA· kPB=t,解得此時(shí)直線AB過定點(diǎn)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+m,將其與橢圓方程聯(lián)立得:(b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2?a2b2=0,由韋達(dá)定理得:由kPA·kPB=t得:

把y1=kx1+m和y2=kx2+m代入②并整理得:

從而有

整理得:

又點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上,所以有代入上式并因式分解得:

當(dāng)m?y0+kx0=0 即m=?kx0+y0時(shí),代入直線AB的方程為y=kx+m有:y=kx+m=k(x?x0)+y0,此時(shí)直線AB過定點(diǎn)P(x0,y0),不符合題意,舍去.

當(dāng)(b2?ta2)m?(y0+kx0)(b2+ta2)=0,即m=時(shí),代入直線AB的方程為y=kx+m有:此時(shí)直線AB過定點(diǎn).

綜上所述,直線AB過定點(diǎn).

下證:當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的軌跡是一條過原點(diǎn)的直線.由上述證明可知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)xG=縱坐標(biāo)yG=聯(lián)立并消元得:x0yG+y0xG=0.

觀察上式和圖2,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的坐標(biāo)滿足方程x0y+y0x=0,即可得出點(diǎn)G的軌跡為是一條過原點(diǎn)的直線,且只與點(diǎn)P的坐標(biāo)有關(guān).

圖2

值得指出的是,上述性質(zhì)1、性質(zhì)2 對雙曲線同樣成立,得到如下性質(zhì)(證明過程類似,從略).

性質(zhì)3從雙曲線E:上一定點(diǎn)P(x0,y0)引兩條直線與雙曲線分別交于點(diǎn)A、B,若直線PA和PB的斜率和為定值t(0)時(shí),直線AB過定點(diǎn)G,當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的軌跡是一條與雙曲線E相切的直線,其方程為切點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x0,?y0).

性質(zhì)4從雙曲線E:上一定點(diǎn)P(x0,y0)引兩條直線與雙曲線E分別交于點(diǎn)A、B,若直線PA和PB的斜率積為定值t(0)時(shí),直線AB過定點(diǎn)G,當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的軌跡是一條過原點(diǎn)的直線,方程為x0y+y0x=0.

在拋物線背景下也有類似的性質(zhì),不同之處在于斜率積為定值時(shí),當(dāng)t在變化時(shí),定點(diǎn)G的軌跡是一條平行于對稱軸的直線,而不是一條過原點(diǎn)的直線,具體如下:

性質(zhì)5從拋物線y2=2px(p >0)上一定點(diǎn)P(x0,y0)引兩條直線與拋物線分別交于點(diǎn)A、B,若直線PA和PB的斜率和為定值t(0)時(shí),直線AB過定點(diǎn)G,當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的軌跡是一條與拋物線相切的直線,且切點(diǎn)坐標(biāo)Q(x0,?y0).

證明當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),則B(x1,?y1).由kPA+kPB=t,解得此時(shí)直線AB過定點(diǎn)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+m,將其與拋物線方程聯(lián)立并消y得:k2x2+(2mk?2p)x+m2=0,由韋達(dá)定理得:由kPA+kPB=t得:

把y1=kx1+m和y2=kx2+m代入③并整理得:

將x1+x2和x1x2的表達(dá)式代入上式,再按m的次數(shù)降冪排列得:

又點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線上,所以有代入上式并因式分解有:

當(dāng)m+kx0?y0=0,即m=?kx0+y0時(shí),代入直線AB的方程為y=kx+m有:y=kx+m=k(x?x0)+y0.此時(shí)直線AB過定點(diǎn)P(x0,y0),不符合題意,舍去.

當(dāng)tm+y0t+x0tk?2ky0?2p=0,即時(shí),代入直線AB的方程為y=kx+m有:此時(shí)直線AB過定點(diǎn).

綜上所述,直線AB過定點(diǎn).

下證:當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的軌跡是一條與拋物線相切的直線,且切點(diǎn)坐標(biāo)Q(x0,?y0).由上述證明可知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)聯(lián)立并消元得:y0yG+p(xG+x0)=0.

觀察上式和圖3,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的坐標(biāo)滿足方程y0y+p(x+x0)=0,即可得出點(diǎn)G的軌跡為是一條直線.且令x=x0時(shí),即該直線恒過定點(diǎn)Q(x0,?y0).

圖3

性質(zhì)6從拋物線y2=2px(p >0)上一定點(diǎn)P(x0,y0)引兩條直線與拋物線分別交于點(diǎn)A、B,若直線PA和PB的斜率積為定值t(0)時(shí),直線AB過定點(diǎn)G,當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的軌跡是一條平行于拋物線對稱軸的直線,且該直線方程為y=?y0.

證明當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),則B(x1,?y1).由kPA·kPB=t,解得,此時(shí)直線AB過定點(diǎn).

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+m,將其與拋物線方程聯(lián)立并消y得:k2x2+(2mk?2p)x+m2=0,由韋達(dá)定理得:由kPA·kPB=t得:

把y1=kx1+m和y2=kx2+m代入④并整理得:

從而有

按m的次數(shù)降冪排列進(jìn)行整理得:

又點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上,所以有代入上式有:

因式分解得:(m?y0+kx0)(tm+ty0+tkx0?2kp)=0,

當(dāng)m?y0+kx0=0,即m=?kx0+y0時(shí),代入直線AB的方程為y=kx+m有:y=kx+m=k(x?x0)+y0,此時(shí)直線AB過定點(diǎn)P(x0,y0),不符合題意,舍去.

當(dāng)tm+ty0+tkx0?2kp=0,即時(shí),代入直線AB的方程為y=kx+m有:y=kx+m=此時(shí)直線AB過定點(diǎn).

綜上所述,直線AB過定點(diǎn).

下證:當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的軌跡是一條平行于拋物線對稱軸的直線.由上述證明可知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)xG=,縱坐標(biāo)yG=?y0.

觀察上式和圖4,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)t在變化時(shí),點(diǎn)G的坐標(biāo)滿足方程y=?y0,即可得出點(diǎn)G的軌跡是一條平行于拋物線對稱軸的直線且該直線方程為y=?y0.它只和點(diǎn)P的坐標(biāo)有關(guān).

圖4