對一道解析幾何夾角問題的深入探究

安徽省合肥市肥東縣城關(guān)中學(231600) 王東海

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題一直是高考及各地模考的熱點和難點,在這類考題的命題中往往都是探求一些特殊結(jié)論,這些結(jié)論看似特殊,實則往往都具有普遍性.我們在解答考題后要深入拓展到一般情況,還要注意探尋其它圓錐曲線的對偶性質(zhì).下面以2023 屆高三武漢元月聯(lián)考圓錐曲線試題的探究為例進行說明.

1 考題呈現(xiàn)

題目(2023 屆武漢元月聯(lián)考第21 題)已知橢圓C:的右焦點為F,P在橢圓C上,|PF|的最大值和最小值分別為6 和2.

(1)求橢圓C的方程.

(2)若橢圓C的左頂點為A,過點F的直線l與橢圓C交于B,D(異于點A)兩點,直線AB,AD分別與直線x=8交于M,N兩點,試問∠MFN是否為定值? 若是,求出該定值;若否,請說明理由.

分析這是一道涉及圓錐曲線的夾角定值問題,我們既可利用兩向量的夾角公式解決,也可借助圓的性質(zhì)處理,還可使用直線的參數(shù)方程來達到目的.此題對學生的數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的應(yīng)用水平提出了較高要求,另外該題對學生思維品質(zhì)的要求也較高,學生要完成正確的求解并非易事.但本題設(shè)問簡潔且內(nèi)容豐富,具有較大的探究空間.

2 解法探究

視角1在解析幾何中遇到兩直線的夾角,往往可以使用向量的夾角公式來快速處理.

解析1如圖1,(1)橢圓C:.

圖1

(2)當直線l垂直于x軸時,l:x=2 代入橢圓方程C:3x2+4y2?48=0,解得B(2,3),D(2,?3).

直線AB方程:令x=8,得y=6,則M(8,6).同理N(8,?6).所以kFM=1,kFN=?1?又由題意可得直線l的斜率不為零,設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2),直線l:x=my+2,,將其與橢圓方程聯(lián)立并整理得:(3m2+4)y2+12my?36=0,則而直線AB的方程為直線AD的方程為令x=8,得因為F(2,0),所以從而

故∠MFN為定值.

視角2本題也可考慮以MN為直徑的圓恒過點F,從而達到說明∠MFN為定值由圓直徑式方程可得以MN為直徑的圓方程為

而焦點F(2,0),再驗證它是否在此圓上,因為的目的.

解析2前同解析1,可得

從而∠MFN為定值.

評注這里利用了圓的直徑式方程,可以較快地寫出以MN為直徑的圓的方程,節(jié)約了時間.

視角3考慮到直線l經(jīng)過焦點F(2,0),故這里也可利用直線的參數(shù)方程來解決該題.

解析3因直線l經(jīng)過焦點F(2,0),故設(shè)直線l的參數(shù)方程為將其代入橢圓方程C:3x2+4y2?48=0,可得:3cos2θ+4sin2θ)t2+12 cosθ·t?36=0,則

又因B(2+tBcosθ,tBsinθ),D(2+tDcosθ,tDsinθ),從而直線AB方程為:令x=8,得同理可得從而

故∠MFN為定值

視角4本題還可嘗試采用定比點差法來解決,這種解法往往別具一格.

解析4不妨設(shè)且直線DB上必存在點Q,使又設(shè)D(x1,y1),B(x2,y2),則由定比分點坐標公式得

因D,B在C上,故

上述兩式相減得:

3 結(jié)論一般性推廣

由上面的分析和解答,∠MFN為定值,那么此結(jié)果是偶然還是必然呢? 在考題中,a,b均為特殊數(shù)值,如果將參數(shù)a,b一般化,焦點F(2,0)及其對應(yīng)的準線x=8 也變?yōu)橐话愕腇(c,0)和會得到什么結(jié)果呢? 焦點或準線再一般化呢? 基于以上思考,可得以下幾個一般性結(jié)論:

結(jié)論1一般地,已知橢圓C:的左頂點為A,x軸上一定點S(s,0),過點S的直線l與橢圓C交于B、D(異于點A)兩點,直線AB,AD分別與直線x=t交于M、N兩點,則kSM· kSN必為定值.

證明由題意可得直線l斜率不為零,設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2),直線l:x=my+s,,將其與橢圓方程b2x2+a2y2?a2b2=0 聯(lián)立得到(b2m2+a2)y2+2mb2sy+b2(s2?a2)=0.從而,

推論1已知橢圓C:的右焦點和左頂點為F,A,過點F的直線l與橢圓C交于B,D(異于點A)兩點,直線AB,AD分別與準線交于M,N兩點,則∠MFN必為定值.

推論2已知橢圓C:的左頂點為A,x軸上一定點S(s,0),過點S的直線l與橢圓C交于B、D(異于點A)兩點,直線AB,AD分別與點S對應(yīng)的極線交于M,N兩點,則kSM·kSN為定值.

在結(jié)論1 中,取s=c,則有

推論3橢圓C:的右焦點和左頂點為F,A,過點F的直線l與橢圓C交于B,D(異于點A)兩點,直線AB,AD分別與直線x=t交于M,N兩點,則kFM·kFN為定值.

4 類比推廣

我們還可嘗試把結(jié)論類比到雙曲線和拋物線.

結(jié)論2一般地,已知雙曲線C:0)的左頂點為A,x軸上一定點S(s,0),過點S的直線l與雙曲線C交于B、D(異于點A)兩點,直線AB,AD分別與點S對應(yīng)的極線交于M、N兩點,則kSM·kSN為定值.

結(jié)論2 中令s=c,則恰有kSM·kSN=?1,即有

推論4如圖2,已知雙曲線C:0)的右焦點和左頂點為F、A,過點F的直線l與C交于B、D(異于點A)兩點,直線AB,AD分別與準線交于M、N兩點,則∠MFN為定值.

圖2

結(jié)論3一般地,已知拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點為O,x軸上一定點S(s,0),過點S的直線l與拋物線C交于B、D(異于點A)兩點,直線OB,OD分別與點S對應(yīng)的極線x=?s交于M、N兩點,則kSM·kSN必為定值.

在結(jié)論3 中,令s=p/2,則也恰有kSM·kSN=?1,即有

推論5如圖3,已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點和頂點為F,O,過點F的直線l與拋物線C交于B、D(異于點O)兩點,直線OB,OD分別與準線交于M、N兩點,則∠MFN必為定值.

圖3