橫向非均勻溫度場(chǎng)作用的FGM夾層圓板熱屈曲分析*

龔雪蓓, 趙偉東, 郭冬梅

(1. 青海大學(xué) 土木工程學(xué)院, 西寧 810016;2. 青海省建筑節(jié)能材料與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西寧 810016)

0 引 言

功能梯度材料(FGM)板殼通常是由陶瓷和金屬兩種組分材料沿厚度方向按照特定混合規(guī)則加工而成的一種新型梯度復(fù)合材料．與層壓及纖維增強(qiáng)復(fù)合材料相比較,功能梯度材料能夠明顯減弱乃至消除不同組分材料之間的界面效應(yīng),從而有效解決因熱膨脹失配和應(yīng)力集中等不利因素導(dǎo)致材料失效的問(wèn)題．陶瓷通常具有突出的耐高溫性能和良好的抗腐蝕性能,金屬通常具有優(yōu)異的延展性和機(jī)械強(qiáng)度．由于陶瓷-金屬FGM板殼結(jié)構(gòu)兼具上述諸多優(yōu)異性能,使其在諸如航空航天、熱核反應(yīng)、軍事工業(yè)和化學(xué)工程等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景．

隨著FGM板殼結(jié)構(gòu)在現(xiàn)代工程領(lǐng)域的逐步應(yīng)用,對(duì)其結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的研究吸引了諸多研究人員的注意．常見(jiàn)的分析方法有忽略橫向剪切變形效應(yīng)的經(jīng)典理論和計(jì)及橫向剪切變形效應(yīng)的各種剪切理論．經(jīng)典理論的數(shù)學(xué)形式簡(jiǎn)單、物理概念直觀,但其分析精度稍顯不足．剪切變形理論的結(jié)果更為精確,但其數(shù)學(xué)形式復(fù)雜、推導(dǎo)過(guò)程繁瑣．基于經(jīng)典板理論(CPT),Najafizadeh和Eslami[1]討論了FGM圓板軸對(duì)稱(chēng)熱屈曲問(wèn)題,推導(dǎo)得到了一般形式的平衡方程和穩(wěn)定方程,給出了用于預(yù)測(cè)FGM圓板臨界屈曲溫度的解析解．基于一階剪切變形理論(FSDT),Reddy等[2]導(dǎo)出了一個(gè)考慮三維熱傳導(dǎo)方程耦合的FGM板殼熱彈性邊值問(wèn)題,并借助有限元方法研究了FGM圓柱殼與板的動(dòng)態(tài)熱彈耦合響應(yīng)．Shen[3]基于高階剪切變形板理論(HSDT),考慮組分材料特性的溫度依賴(lài)性,推導(dǎo)了功能梯度板的廣義von Kármán大撓度方程,為FGM板殼的幾何非線性分析奠定了基礎(chǔ)．Van Do等[4]介紹了一種基于HSDT的橫向剪切函數(shù)和基于徑向點(diǎn)插值方法的精確、高效的無(wú)網(wǎng)格近似方法,分析了沿厚度具有不同溫度分布的FGM板在邊緣壓縮荷載下的后屈曲響應(yīng)．Ma等[5]基于von Kármán幾何非線理論,針對(duì)FGM圓板在熱機(jī)械荷載作用下的非線性彎曲和后屈曲行為開(kāi)展研究,并使用數(shù)值打靶法求解了非線性耦合常微分方程邊值問(wèn)題．Zhang等[6]基于HSDT和物理中面概念,研究了彈性地基上FGM矩形板的熱后屈曲響應(yīng)．Lee等[7]針對(duì)彈性地基上的FGM板,考慮厚度拉伸效應(yīng),通過(guò)修正四變量板理論的位移場(chǎng),提出了一種簡(jiǎn)單有效的高階剪切變形理論．陳明飛等[8]基于平面應(yīng)變理論,利用等幾何有限元方法分析了彈性邊界條件下面內(nèi)功能梯度三角形板的面內(nèi)振動(dòng)特性．

與FGM板殼結(jié)構(gòu)比較,由其發(fā)展得到的FGM夾層板殼結(jié)構(gòu),具有更為優(yōu)異的阻熱、防腐和力學(xué)性能．常見(jiàn)的FGM夾層板殼結(jié)構(gòu)有兩種類(lèi)型,一種為FGM面層和均勻材料(陶瓷或金屬)夾層連接而成的FGM夾層板殼結(jié)構(gòu)(下文稱(chēng)此類(lèi)結(jié)構(gòu)為A類(lèi)FGM夾層板殼結(jié)構(gòu)),另一類(lèi)為FGM夾層連接純陶瓷和純金屬面層構(gòu)成的FGM夾層板殼結(jié)構(gòu)(下文稱(chēng)此類(lèi)結(jié)構(gòu)為B類(lèi)FGM夾層板殼結(jié)構(gòu))．到目前為止,研究人員針對(duì)FGM夾層板殼結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的研究已得到了諸多研究成果．Shen等[9]基于HSDT,研究了考慮初始幾何缺陷的A類(lèi)FGM夾層板在不同熱環(huán)境下的屈曲行為．Zenkour等[10]采用正弦剪切變形板理論推導(dǎo)了簡(jiǎn)支邊A類(lèi)FGM夾層矩形板的穩(wěn)定性方程,對(duì)不同溫度場(chǎng)條件下的控制方程進(jìn)行了解析求解．Wang等[11]采用兩步攝動(dòng)法求解了置于彈性地基上的A類(lèi)FGM夾層矩形板的控制方程．Alibeigloo[12]將廣義微分求積法應(yīng)用于沿徑向的狀態(tài)空間方程,形成半解析狀態(tài)空間微分求積法,并使用這種半解析狀態(tài)空間微分求積法對(duì)不同邊界條件下的B類(lèi)FGM夾層圓板進(jìn)行了軸對(duì)稱(chēng)熱彈性分析．Mahi等[13]基于FSDT對(duì)冪律型簡(jiǎn)支邊A類(lèi)FGM夾層矩形板進(jìn)行靜力分析．Li等[14]基于靜力平衡法推導(dǎo)了B類(lèi)FGM夾層板在橫向分布荷載作用下的控制方程,研究了體積分?jǐn)?shù)指數(shù)、厚度與邊長(zhǎng)比和層厚比對(duì)板彎曲特性的影響．Van Do等[15]提出了一種簡(jiǎn)單而精確的無(wú)網(wǎng)格逼近方法,在考慮初始幾何缺陷的情況下對(duì)A、B類(lèi)FGM夾層矩形板在邊緣壓力作用下的后屈曲行為進(jìn)行了分析．

當(dāng)冪律型FGM板殼或夾層板殼沿厚度方向存在溫差時(shí),沿厚度方向的Fourier熱傳導(dǎo)溫度場(chǎng)存在無(wú)窮級(jí)數(shù)形式的解．?dāng)?shù)值計(jì)算時(shí)需要截取級(jí)數(shù)的多少項(xiàng)才能獲得精度可接受的解呢?據(jù)筆者文獻(xiàn)調(diào)閱所知,到目前為止,該問(wèn)題仍未被研究人員充分關(guān)注．Zhao[16]針對(duì)冪律型FGM圓板,考察了截取的級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)目對(duì)解的精度的影響,獲得了一些有意義的結(jié)果．本文針對(duì)夾緊邊的B類(lèi)冪律型FGM夾層圓板,考慮沿厚度非均勻溫度場(chǎng)作用,基于層間連續(xù)性條件,給出了沿厚度方向的溫度場(chǎng)分布函數(shù)的解析解,建立了基于經(jīng)典板理論的軸對(duì)稱(chēng)幾何非線性位移型控制方程與其邊界條件(兩點(diǎn)邊值問(wèn)題)．本文首先將非線性邊值問(wèn)題退化為關(guān)于撓度的四階線性邊值問(wèn)題,通過(guò)分析線性特征值問(wèn)題,得到了系統(tǒng)的有量綱臨界屈曲溫度差解析解．然后運(yùn)用數(shù)值打靶法求解非線性邊值問(wèn)題,求解時(shí)截取級(jí)數(shù)的前97項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算,得到了精度很好的熱過(guò)屈曲平衡路徑和平衡構(gòu)形數(shù)值解,并進(jìn)行了參數(shù)影響分析．當(dāng)模型退化為FGM板時(shí),通過(guò)識(shí)別屈曲平衡路徑上分支點(diǎn)的值和用解析公式計(jì)算得到的系統(tǒng)的有量綱臨界屈曲溫度差,均能與已有文獻(xiàn)結(jié)果很好一致．

1 基 本 方 程

如圖1所示的FGM夾層圓板,半徑為a;總厚度為h;hc,hF和hm分別為純陶瓷層、FGM夾層和純金屬層的厚度．為便于分析,建立圓柱坐標(biāo)系(Orθz),坐標(biāo)軸正向如圖所示．其中rOθ坐標(biāo)面位于圓板中面內(nèi),坐標(biāo)原點(diǎn)位于圓板中面形心處．中面內(nèi)任意點(diǎn)(r,θ,0)處的徑向、環(huán)向和橫向位移分別由U(r,θ)(與r軸正向一致為正)、V(r,θ)(與θ軸正向一致為正)和W(r,θ)(與z軸正向一致為正)表示．

1.1 幾何方程

在軸對(duì)稱(chēng)情況下,圓板中面任意點(diǎn)(r,θ,0)處橫向位移W和徑向位移U都是徑向坐標(biāo)r的一元函數(shù),即W=W(r),U=U(r),環(huán)向位移V恒等于0．基于von Kármán幾何非線性板理論,圓板內(nèi)任意一點(diǎn)(r,θ,z)的應(yīng)變-位移關(guān)系為[17]

(1)

式中(·),r代表(·)對(duì)r的一階導(dǎo)數(shù)．

1.2 物理方程

在軸對(duì)稱(chēng)情況下,考慮溫度應(yīng)力,FGM夾層圓板的本構(gòu)關(guān)系[18]表達(dá)為

(2)

式中T(z)表示圓板中任意點(diǎn)(r,θ,z)處相對(duì)初始無(wú)應(yīng)力狀態(tài)溫度(即參考溫度)的變溫值,為厚度坐標(biāo)z的一元函數(shù);E(z)和α(z)分別是圓板中任意點(diǎn)(r,θ,z)處材料的等效彈性模量和等效熱膨脹系數(shù);μ是Poisson比,本文假定為常數(shù)．

為得到FGM夾層板殼結(jié)構(gòu)坐標(biāo)z處的溫度應(yīng)力,需要求解如下的一維Fourier熱傳導(dǎo)邊值問(wèn)題[19]:

(3)

式中K(z)是圓板中任意點(diǎn)(r,θ,z)處材料的等效導(dǎo)熱系數(shù);Tl和Tu分別表示FGM夾層圓板金屬側(cè)表面和陶瓷側(cè)表面相對(duì)參考溫度的變溫值,用ΔT=Tu-Tl表示夾層圓板兩表面之間的溫度差．為了物理概念直觀,本文建模過(guò)程使用Tl,Tu和ΔT作為系統(tǒng)的熱荷載參數(shù)．需要指出的是,當(dāng)金屬側(cè)表面溫度相對(duì)參考溫度不變化時(shí)(即Tl=0 ℃),陶瓷側(cè)的變溫值Tu即為兩表面溫度差(即ΔT=Tu),本文熱過(guò)屈曲數(shù)值解就是在這種情況下得到的．

假設(shè)FGM層材料體積分?jǐn)?shù)為冪律分布[16],即

Vc(z)=(0.5+z/hF)k,Vm(z)=1-Vc(z), -hF/2≤z≤hF/2,

(4)

式中Vc和Vm分別指陶瓷和金屬組分材料的體積分?jǐn)?shù),非負(fù)指數(shù)k為梯度指數(shù)．

則FGM材料層坐標(biāo)z處的材料等效彈性模量E(z)、等效熱膨脹系數(shù)α(z)和等效導(dǎo)熱系數(shù)K(z)可表示為厚度坐標(biāo)z的函數(shù)[20]:

E(z)=Emψ1(ξ),α(z)=αmψ2(ξ),K(z)=Kmψ3(ξ),

(5)

式中Em,αm和Km分別為金屬組分(與金屬面層材料相同)材料的彈性模量、熱膨脹系數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù)．

ψi(ξ)是無(wú)量綱坐標(biāo)ξ(ξ=z/hF)的連續(xù)函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

ψi(ξ)=1+ηi(0.5+ξ)k,i=1,2,3,

(6)

式中ηi=ri-1,r1=Ec/Em,r2=αc/αm,r3=Kc/Km,其中Ec,αc和Kc分別為陶瓷組分材料(與陶瓷面層材料相同)的彈性模量、熱膨脹系數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù)．

本文所用組分材料特性[16]如表1所示．

表1 金屬和陶瓷組分的材料特性

將式(6)取i=3代入式(5)中的第三式,再將式(5)中的第三式代入式(3),考慮K(z)=Km(-hm-hF/2≤z≤-hF/2),K(z)=Kc(hF/2≤z≤hF/2+hc)與溫度場(chǎng)邊界條件和連續(xù)性條件,解邊值問(wèn)題(3)得到如下溫度場(chǎng)分布函數(shù):

(7)

式中Tc=[hcATl+(hF+hmB)Tu]/(hF+hcA+hmB)為FGM夾層純陶瓷側(cè)相對(duì)參考溫度的變溫值,Tm=[hmBTu+(hF+hcA)Tl]/(hF+hcA+hmB)為FGM夾層純金屬側(cè)相對(duì)參考溫度的變溫值,ΔT=Tu-Tl為圓板上下表面溫度差,無(wú)量綱系數(shù)A,B分別為

在軸對(duì)稱(chēng)變形情況下,FGM夾層圓板的薄膜力和彎曲內(nèi)力為

(8)

將式(1)、(5)、(7)代入式(2),再將式(2)代入式(8),得內(nèi)力/內(nèi)矩表達(dá)式如下:

(9)

(10)

(11)

(12)

剛度系數(shù)Si由下式計(jì)算:

(13)

NT和MT分別為熱膜力和熱彎矩,可由下式計(jì)算:

(14)

將式(5)中的第一式代入式(13),通過(guò)積分運(yùn)算得到剛度系數(shù)Si:

Si=Amhiχi,i=0,1,2,

(15)

式中Am=Emh/(1-μ2)是均質(zhì)金屬圓板的抗拉剛度,無(wú)量綱系數(shù)χi為

(16)

(17)

(18)

將式(5)的第一、第二式和式(7)代入式(14)得

(NT,MT)=-(1+μ)AmαmTl(ζ0,hζ1),

(19)

無(wú)量綱系數(shù)ζi(i=0,1)的表達(dá)式為

(20)

(21)

無(wú)量綱系數(shù)βi通過(guò)下式計(jì)算:

(22)

式中

(23)

η4=r4-1,r4=Tc/Tm,N為非負(fù)整數(shù)．

將式(6)(i=1,2)和式(23)代入式(22),得βi的表達(dá)式為

(24)

(25)

1.3 平衡方程

軸對(duì)稱(chēng)情況下,功能梯度夾層圓板的平衡微分方程為

(rNr),r-Nθ=0,

(26)

(rMr),rr-Mθ,r+(rNrW,r),r+qr=0,

(27)

其中q為橫向均勻分布荷載,與z軸正向一致為正．

2 邊 值 問(wèn) 題

2.1 控制方程

為便于數(shù)值計(jì)算,引入下列無(wú)量綱變量:

其中x為無(wú)量綱徑向坐標(biāo)變量,w,u分別為圓板中面上任意一點(diǎn)的橫向和徑向無(wú)量綱位移,λ為相對(duì)參考溫度的無(wú)量綱變溫,Q為無(wú)量綱橫向均布荷載．

將式(9)—(12)代入式(26)、(27),考慮前述無(wú)量綱變換關(guān)系,得到一組無(wú)量綱位移型幾何非線性常微分控制方程如下:

(28)

(29)

式中?2(·)=(·),x/x+(·),xx,(·)x表示關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)．

2.2 邊界條件

不可移夾緊邊界條件為

w(1)=0,w,x(1)=0,u(1)=0;

(30)

中心對(duì)稱(chēng)條件為

(31)

3 線性特征值分析

我們已經(jīng)知道,周邊夾緊的FGM夾層圓板的熱屈曲屬于分岔屈曲問(wèn)題．結(jié)構(gòu)的臨界屈曲溫度差可以通過(guò)識(shí)別結(jié)構(gòu)熱過(guò)屈曲平衡路徑上的分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值來(lái)確定,也可以通過(guò)求解線性特征值問(wèn)題得到．考慮到分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的變形是微小的,因此忽略非線性控制方程中的徑向位移函數(shù)u及其各階導(dǎo)數(shù)與全部非線性項(xiàng),得到一個(gè)關(guān)于撓度w的四階線性微分方程如下:

?4w+λ?2w=0．

(32)

方程式(32)與邊界條件式(30)中的前二式和中心對(duì)稱(chēng)條件式(31)中的前二式構(gòu)成一個(gè)線性特征值問(wèn)題．通過(guò)求解該特征值問(wèn)題,可以得到無(wú)量綱臨界屈曲溫度λcr(即特征值)．考慮到工程設(shè)計(jì)人員對(duì)該系統(tǒng)的最低臨界屈曲溫度(即最小特征值)更感興趣,而最小特征值對(duì)應(yīng)于圓板的一階軸對(duì)稱(chēng)屈曲的分岔點(diǎn)解,因此,為了得到最小特征值,可以假設(shè)一個(gè)圓板中心撓度有限的一元撓度函數(shù)如下:

(33)

式中J0為零階Bessel函數(shù),C1和C2為積分常數(shù)．

將式(33)代入邊界條件式(30)中的前二式,得到如下齊次線性代數(shù)方程組:

(34)

式中J0,x代表J0對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)．

在屈曲狀態(tài)下,積分常數(shù)C1和C2不全為零,根據(jù)Cramer法則,線性代數(shù)方程式(34)的系數(shù)矩陣的行列式必然為零,再考慮到最小特征值λ≠0,因此有

(35)

根據(jù)著名的Bessel函數(shù)關(guān)系,有

(36)

式中J1為一階Bessel函數(shù)．

對(duì)式(36),當(dāng)x=1時(shí),考慮式(35),有

(37)

基于式(37),可以得到系統(tǒng)最小的特征值為

λcr=14.684．

(38)

根據(jù)式(38),再結(jié)合前文給出的無(wú)量綱溫度與有量綱溫度變換關(guān)系,對(duì)于具有實(shí)際參數(shù)的不可移夾緊邊FGM夾層圓板,當(dāng)金屬側(cè)表面相對(duì)初始參考溫度變溫值為T(mén)l時(shí),系統(tǒng)的有量綱臨界屈曲溫度(Tu)cr為

(39)

(40)

(41)

在式(39)的基礎(chǔ)上,可進(jìn)一步定義有量綱臨界屈曲溫度差如下:

(42)

由式(42)易見(jiàn),系統(tǒng)的臨界屈曲溫度差不但依賴(lài)于系統(tǒng)本身的幾何物理參數(shù)、梯度指數(shù)和所截取的級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)目,也與變溫值Tl有關(guān)．需要說(shuō)明的是,本文僅針對(duì)Tl=0 ℃的情況進(jìn)行計(jì)算,故系統(tǒng)的臨界屈曲溫度差在數(shù)值上等于使系統(tǒng)發(fā)生臨界屈曲時(shí)陶瓷側(cè)表面的溫升值．換句話說(shuō),當(dāng)Tl=0 ℃時(shí),用式(39)計(jì)算得到的(Tu)cr和用式(42)計(jì)算得到的ΔTcr在數(shù)值上是相等的．另外需要指出,式(39)和式(42)經(jīng)退化,可用于梯度材料圓板和均勻材料圓板的分析計(jì)算．

4 熱過(guò)屈曲分析

控制方程(28)、(29)與邊界條件(30)和中心對(duì)稱(chēng)條件(31)構(gòu)成幾何非線性常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題,可以用其考察固定邊FGM夾層圓板在軸對(duì)稱(chēng)熱機(jī)械荷載作用下的幾何非線性力學(xué)行為．當(dāng)橫向荷載Q充分小時(shí),可以用其考察系統(tǒng)的熱過(guò)屈曲問(wèn)題．限于篇幅,本文僅運(yùn)用上述非線性邊值問(wèn)題討論系統(tǒng)的熱過(guò)屈曲問(wèn)題,并進(jìn)行相應(yīng)的參數(shù)影響分析．考慮到模型屬于幾何非線性?xún)牲c(diǎn)邊值問(wèn)題,因此本文運(yùn)用數(shù)值打靶法對(duì)其求解．

4.1 打靶法求解簡(jiǎn)單說(shuō)明

為了用打靶法求解上述兩點(diǎn)邊值問(wèn)題,現(xiàn)假設(shè)[21]

Y=[y1y2y3y4y5y6]T=[ww′w″w?uu′]T．

(43)

考慮方程(28)、(29)和中心對(duì)稱(chēng)條件式(31)中的第二式在x=0處具有奇異性,數(shù)值計(jì)算時(shí),可在區(qū)間[Δx,1]上(本文計(jì)算時(shí)取Δx=10-4)計(jì)算．為了運(yùn)用打靶法求解,需將原兩點(diǎn)邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以下初值問(wèn)題:

(44)

式中φi(i=1,2)可從方程(28)和(29)中得到．

由于位移函數(shù)在x=0處連續(xù)可微,當(dāng)Δx足夠小時(shí),可以用x=Δx處的值替代x=0處的值,即在x=0處的中心對(duì)稱(chēng)條件可表示如下:

Y(Δx)=[V10V2-V2/x0V3]T,

(45)

式中ζ為x=Δx處的初始撓度(賦值);Vi(i=1,2,3)為待定參數(shù),由x=1處的邊界條件確定．以上是本文數(shù)值求解過(guò)程中對(duì)打靶法使用方法的簡(jiǎn)單說(shuō)明,有關(guān)打靶法數(shù)值求解方法更為詳細(xì)的介紹和具體實(shí)現(xiàn)步驟和程序可以參閱文獻(xiàn)[22-23]．

4.2 結(jié)果驗(yàn)證

將本文FGM夾層圓板退化為FGM圓板,考慮沿厚度非均勻溫度場(chǎng)作用(取溫度級(jí)數(shù)解前7項(xiàng)計(jì)算),在金屬側(cè)表面相對(duì)參考溫度未發(fā)生變溫(即Tl=0 ℃)的情況下,表2給出了不同厚徑比和不同梯度指數(shù)的FGM圓板臨界屈曲溫度差ΔTcr(從識(shí)別過(guò)屈曲平衡路徑上分岔點(diǎn)處的值和用式(42)進(jìn)行計(jì)算兩種途徑得到),表中同時(shí)給出了文獻(xiàn)[24]的結(jié)果．可以看出,本文結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果幾乎一致．

表2 具有不同厚徑比和梯度指數(shù)的FGM圓板在Tl=0 ℃時(shí)對(duì)應(yīng)的臨界屈曲溫度差ΔTcr

4.3 熱過(guò)屈曲分析

我們已經(jīng)知道,當(dāng)冪律型功能梯度板兩側(cè)存在溫度差時(shí),其沿厚度方向的溫度場(chǎng)函數(shù)可以表達(dá)為無(wú)窮級(jí)數(shù)．由于級(jí)數(shù)收斂慢,需要取相當(dāng)多項(xiàng)才能獲得精度可接受的解[16]．在給定層厚比為2∶1∶2、底面溫度相對(duì)參考溫度不改變(即Tl=0 ℃)、梯度指數(shù)k=1和厚徑比h/a=0.05的情況下,圖2給出了一組不同的溫度級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)N對(duì)應(yīng)的FGM夾層圓板(固定邊界)的熱過(guò)屈曲平衡路徑．其中N=0為對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)的前兩項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果,此種情況下沿板厚的溫度場(chǎng)退化成了線性溫度場(chǎng)．由圖2可以判斷,當(dāng)冪律型梯度夾層板/殼在兩表面之間存在溫度差時(shí),如果將沿厚度的溫度場(chǎng)退化為線性溫度場(chǎng),數(shù)值解會(huì)嚴(yán)重失真．當(dāng)N≥1時(shí),沿梯度層厚度方向的溫度場(chǎng)為非線性溫度場(chǎng),沿均質(zhì)面層依然為線性溫度分布．從圖中可以看出,當(dāng)N=95時(shí)(對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)的前97項(xiàng)),數(shù)值解收斂到了一個(gè)很理想的程度．因此對(duì)于兩表面存在溫差的FGM夾層圓板,為了保證解具有足夠的精度,除非特別說(shuō)明,本文數(shù)值結(jié)果均為對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)前97項(xiàng)的結(jié)果．

圖2 不同的溫度級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)目對(duì)應(yīng)的FGM夾層圓板熱屈曲平衡路徑Fig. 2 Thermal buckling equilibrium paths of FGM sandwich circular plates corresponding to different numbers of temperature series terms

為了考察厚徑比對(duì)FGM夾層圓板熱過(guò)屈曲平衡路徑的影響,在給定層厚比為2∶1∶2、底面相對(duì)參考溫度的溫升Tl=0 ℃、梯度指數(shù)k=1的情況下,針對(duì)一組不同的厚徑比h/a,圖3給出了固定邊的FGM夾層圓板的一組熱過(guò)屈曲平衡路徑．從圖中可以看出,隨著厚徑比的增加,板的臨界屈曲溫度差ΔTcr增加．因?yàn)楫?dāng)厚徑比h/a增加時(shí),板的彎曲剛度隨之增大,結(jié)構(gòu)抗屈曲能力增加,該現(xiàn)象與定性結(jié)論一致．

圖3 厚徑比對(duì)FGM夾層圓板的熱過(guò)屈曲圖4 梯度指數(shù)對(duì)FGM夾層圓板的熱過(guò)屈曲 平衡路徑的影響 平衡路徑的影響 Fig. 3 Effects of thickness-radius ratios on thermal Fig. 4 Effects of gradient indexes on thermal postbuckling equilibrium paths of FGM postbuckling equilibrium paths of FGM sandwich circular plates sandwich circular plates

為了考察梯度指數(shù)k對(duì)FGM夾層圓板熱過(guò)屈曲平衡路徑的影響, 在給定厚徑比h/a=0.05、層厚比為 2∶1∶2、 底面溫升Tl=0 ℃的情況下,圖4給出了多個(gè)梯度指數(shù)k對(duì)應(yīng)的FGM夾層圓板的熱過(guò)屈曲平衡路徑．從圖可以看出,臨界屈曲溫度ΔTcr隨著k的增加而增大,這里再次表明,對(duì)于層厚比為2∶1∶2的FGM夾層圓板,當(dāng)梯度指數(shù)k增加時(shí),結(jié)構(gòu)抵抗熱屈曲的能力是增加的．另外可以看出,隨著梯度指數(shù)k的增加,其對(duì)于臨界屈曲溫度差ΔTcr的影響逐漸減小,這是因?yàn)楫?dāng)梯度指數(shù)k較小時(shí),k對(duì)組分材料體積分?jǐn)?shù)的影響更為顯著,而隨著k的增加,其對(duì)組分材料體積分?jǐn)?shù)的影響逐漸減小．

為了考察層厚比對(duì)FGM夾層圓板熱過(guò)屈曲平衡路徑的影響,圖5給出了不同層厚比對(duì)應(yīng)的FGM夾層圓板的熱過(guò)屈曲平衡路徑．從圖中可以看出,在厚徑比h/a、梯度指數(shù)k和底面相對(duì)參考溫度的溫升Tl給定的情況下,隨著梯度層相對(duì)厚度的增加,臨界屈曲溫度ΔTcr增加．

給定半徑a=120 mm、梯度指數(shù)k=1、底面溫升Tl=0 ℃、上表面溫升Tu=480 ℃和層厚比為1∶2∶1的情況下,圖6給出了不同厚度的FGM夾層圓板的熱過(guò)屈曲平衡構(gòu)形．可以看出,厚度h越小,過(guò)屈曲變形越大,該現(xiàn)象與預(yù)期結(jié)果一致．

給定半徑a=120 mm、厚度h=6 mm、梯度指數(shù)k=1、底面溫升Tl=0 ℃、上表面溫升Tu=480 ℃時(shí),圖7給出了不同層厚比下FGM夾層圓板的熱過(guò)屈曲平衡構(gòu)形．從圖中可以看出,在厚度和半徑給定的情況下,梯度層相對(duì)厚度越小,FGM夾層圓板后屈曲變形越大．該現(xiàn)象表明,在FGM夾層圓板半徑和厚度不變的情況下,通過(guò)改變層厚比,就可以顯著改變FGM夾層圓板后屈曲變形程度,為工程中的彈性元件和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了重要參考信息．

圖7 不同層厚比的FGM夾層圓板的熱過(guò)屈曲平衡構(gòu)形 圖8 不同梯度指數(shù)的FGM夾層圓板的熱過(guò)屈曲平衡構(gòu)形Fig. 7 Thermal postbuckling equilibrium configurations Fig. 8 Thermal postbuckling equilibrium configurations of FGM sandwich circular plates with different of FGM sandwich circular plates with different layer-thickness ratios gradient indices

給定半徑a=120 mm、厚度h=6 mm、 底面溫升Tl=0 ℃、上表面溫升Tu=480 ℃和層厚比為1∶2∶1的情況下,圖8給出了不同梯度指數(shù)對(duì)應(yīng)的FGM夾層圓板的熱過(guò)屈曲平衡構(gòu)形．從圖中可以看出,梯度指數(shù)k越小,FGM夾層圓板后屈曲變形越大．該現(xiàn)象表明,在FGM夾層圓板半徑、厚度以及層厚比不變的情況下,通過(guò)調(diào)整FGM層的梯度指數(shù),可以顯著改變FGM夾層圓板后屈曲變形程度,同樣為工程中的彈性元件和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了重要的參考信息．

5 結(jié) 論

本文基于經(jīng)典板理論,詳細(xì)考察了橫向非均勻溫度場(chǎng)作用的邊界夾緊的冪律型FGM夾層圓板的臨界屈曲溫度差和熱過(guò)屈曲特性,得到了如下主要結(jié)論:

給定層厚比和梯度指數(shù),隨厚徑比的增加,FGM夾層圓板的臨界屈曲溫度差單調(diào)增加．給定層厚比和厚徑比,隨梯度指數(shù)的增加,FGM夾層圓板的臨界屈曲溫度差單調(diào)增加．給定厚徑比和梯度指數(shù),隨FGM層相對(duì)厚度的增加,FGM夾層圓板的臨界屈曲溫度差單調(diào)增加．給定半徑和厚度,隨著面板相對(duì)厚度增加,FGM夾層圓板的熱過(guò)屈曲變形顯著增加;隨著梯度指數(shù)減小,FGM夾層圓板的熱過(guò)屈曲變形顯著增加．